全等三角形有几对呢

邱邦有

根据已知条件，结合图形，找出图中的全等三角形，是中考中的常见题型．解决此类问题的关键，是确定出图形中形状相同、大小相近的三角形，并找出使它们全等的已知条件或隐含条件．

例1如图1所示，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE交于点O，且AO平分∠BAC.

（1）图中有多少对全等三角形？请你一一列举出来（不要求说明理由）.

（2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明．

分析：要找出图中的全等三角形，既要根据已知条件，还要结合图中的隐含条件（如公共边、对顶角等）进行判断.然后，再依据三角形全等的判定方法进行探究．

解：（1）图中有4对全等三角形，分别是：△AOE≌△AOD，△BOE≌△COD，△AOB≌△AOC，△ABD≌△ACE.

（2）证明△AOE≌△AOD.

∵CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，∴∠AEO=∠ADO.

∵AO平分∠BAC，∴∠OAE=∠OAD.

∵AO=AO，∴△AOE≌△AOD（AAS）.

点评：要找图中所有的全等三角形，可以先找出图中的所有三角形，不论是基本的，还是由其他三角形组合成的（像△AOB、△ABD），然后再比较．

例2如图2，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别是AB、AC的中点，点F是BE、CD的交点．请写出图中所有的全等三角形，并选出其中一对加以证明．

分析：根据AB=AC，点D、E分别是AB、AC的中点，可得AD=AE，BD=CE.根据AB=AC，得∠ABC=∠ACB.结合三角形全等的判定方法可知，图形中共有3对全等三角形．

解：△ABE≌△ACD，△BCD≌△CBE，△BFD≌△CFE．

选择△ABE≌△ACD进行证明．

∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴AD=1/2AB，AE=1/2AC．

又∵AB=AC，∴AD=AE．

∵∠BAE=∠CAD，∴△ABE≌△ACD（SAS）.

点评：解答此类题应准确发现所有的全等三角形，一定要做到不重不漏，而证明则一般较为容易.

例3如图3，△ABC中，AB=AC，过点A作GE∥BC.三角形角平分线BD、CF相交于点H.它们的延长线分别交GE于点E、G．试在图中找出所有的全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．

分析：因为AB=AC，可知∠ABC=∠ACB．结合GE∥BC，以及角的平分线的有关知识，可以发现图中共有5对全等三角形．

解：△ABD≌△ACF，△BFH≌△CDH，△BCF≌△CBD，△AGC≌△AEB，△AGF≌△AED．现证明△AGC≌△AEB．

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．

又BD、CF是∠ABC、∠ACB的平分线，

∴∠ABE=∠ACG，∠EBC=∠GCB．

又GE∥BC，故∠G=∠GCB，∠E=∠EBC．

∴∠G=∠E． △AGC≌△AEB（AAS）．

点评：图形中包含的全等三角形比较多.解决问题的关键是从复杂的图形中分解出一对对全等的三角形，然后探究其全等的条件．全等三角形组合在一起，也可构成全等三角形，如△AGF≌△AED，△ACF≌△ABD，则△AGC≌△AEB.全等三角形也有“传递性”.若A≌B，B≌C，则A≌C.如果例3中CF、BD均为中线，则易知△AGF≌△BCF（ASA）.而△BCF≌△CBD，可知△CBD≌△AGF.