《角的平分线的性质》测试题

苏　华

恰恰是数学，给精密的自然科学提供了无可置疑的保障.没有数学，它们便无法达到这样可靠的程度.——爱因斯坦

一、填空题（每小题3分，共27分）

1． 到三角形三边距离都相等的点是三角形__的交点.

2． 如图1，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC.DE⊥AB，垂足为E.（1）若BC=8，BD=5，则DE=__；（2）若∠B=45°，CD=4，则BE=__.

3． 如图2，△ABC中，∠C=90°.AD平分∠BAC，交BC于点D.已知AB=10 cm，CD=3 cm，则△ABD的面积为__.

4． 如图3，DB⊥AB，DC⊥AC，DB=DC，∠BAC=80°，则∠BAD=__.

5． △ABC中，AB=AC.∠B、∠C的平分线交于点O，连接AO.若S△AOC=8 cm2，则S△AOB=__cm2.

6． 如图4，已知AB∥CD，O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点.OE⊥AC于E，且OE=2，则两平行线AB、CD间的距离为__.

7． 如图5，在△ABC中，外角∠CBD、∠BCE的平分线交于点O.OF⊥AD，OG⊥AE，垂足分别为F、G.则OF__OG（填“＞”、“＜”或“=”）.

8． 王师傅用角尺平分一个角（如图6（1）），学生小明则用三角板平分一个角（如图6（2））.他们在∠AOB两边上分别截出OM=ON.王师傅使角尺两边的相同刻度分别与M、N重合，角尺顶点为P；小明分别过M、N作OA、OB的垂线，交于点P.则可由△OMP≌△ONP得知射线OP平分∠AOB.他们证明全等的依据分别是__和__.

9． 如图7，已知点C是∠AOB平分线上的一点，点P和点P′分别在边OA、OB上.给出条件：①∠OCP=∠OCP′；②∠OPC=∠OP′C；③PC=P′C；④PP′⊥OC.如果要得到OP=OP′，只需要添加以上条件中的某一个即可.请你写出所有可能的条件的序号：__.

二、选择题（每小题3分，共27分）

10． 尺规作图中角平分线的作法的理论依据是全等三角形判定方法（）.

A. SASB. SSSC. AASD. ASA

11． 如果要作∠AOB的平分线OC，合理的顺序是（）.

①作射线OC；②在OA、OB上分别截取OD、OE，使OD=OE；③分别以D、E为圆心，大于1/2DE的长为半径作圆弧，两弧在∠AOB内交于点C.

A. ①②③B. ②①③C. ②③①D. ③②①

12． 如图8，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是边AB、AC上的点，则DE和DF（）.

A. 一定相等

B. 一定不相等

C. 不一定相等

D.只有当DE⊥AB、DF⊥AC时相等

13． 在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D.若BC=32，且BD∶DC=9∶7，则D到边AB的距离为（）.

A. 18B. 16 C. 14 D. 12

14． 如图9，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为20、30、40.其三条角平分线的交点为O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于（）.

A. 1∶1∶1B. 1∶2∶3 C. 2∶3∶4D. 3∶4∶5

15． 如图10，点P到BE、BD、AC的距离相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B、∠DAC、∠ECA的平分线的交点.上述结论中，正确的有（）.

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

16． 在△ABC中，∠B=90°，AB=7，BC=24，AC=25.在△ABC内有一点P，P点到各边的距离相等，则这个距离是（）.

A. 1B. 3C. 6D. 无法求出

17． 三条公路a、b、c的位置如图11所示.现决定在三条公路之间修建一个购物超市.若使超市到三条公路的距离都相等，则超市应建在（）.

A. 在AB、BC两边高线的交点处

B. 在BC、AC两边中线的交点处

C. 在∠α的平分线上

D. 在∠α、∠β的平分线的交点处

18． 如图12，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E.若△BCD与△ABC的面积之比为3∶8，则△ADE与△ABC的面积之比为（）.

A. 1∶3B. 1∶4C. 1∶5D. 1∶6

三、解答题

19． （8分）要在图13所示的两条公路中间建一座加油站，位置选在距两条公路的距离相等，并且到两条公路的交叉点A处的距离为2 cm（指图上距离）的地方.那么图中加油站的位置应在哪里？请说明理由.

20． （9分）如图14，点P是∠AOB内一点，PD⊥OB于D，PC⊥OA于C，且PD=PC.点E在OA上，∠AOB=50°，∠OPE=30°.求∠PEC.

21． （9分）如图15，AD是△ABC的角平分线.DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.BD=CD.

求证：∠B=∠C.

22． （12分）在学习角平分线的一节课上，老师要求同学们做一道练习题.题目图形如图16，图中BD是∠ABC的平分线，且AC⊥BC，DE⊥AB.在同学们忙于画图和分析题目时，小玉同学忽然大声地说：“我有个发现！”原来，她觉得自己创造了一个在直角三角形中画锐角平分线的方法.她的方法是这样的：在Rt△ABC斜边AB上取点E，使BE=BC，然后作DE⊥AB交AC于点D，那么BD就是∠ABC的平分线了.有的同学对小玉同学的画法表示怀疑.你认为她的画法正确吗？请说明理由.

四、拓展题

23． （14分）如图17，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，则∠B与∠ADC互补吗？为什么？

24． （14分）如图18，四边形ABCD中，AD∥BC.AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，点P恰在DC上.

（1）求证：AP⊥BP.

（2）若∠D=90°，猜想AB、AD、BC之间有何数量关系？请证明你的结论.