逆用不等式解集

汤　慧

在中考或平时练习中，同学们经常遇到已知不等式（组）的解集，求不等式中字母的值或取值范围的题目．很多同学对此类题束手无策，原因主要是对不等式的解集理解不清．下面给同学们介绍三种行之有效的解法．

一、解集对照法

例1如果关于x的不等式（a－1）x＞a－1的解集是x＜1，那么a的取值范围是（）.

A． a≤1B． a＞1C． a＜1D． a＜0

解析：观察发现，解集不等号与原不等式的不等号方向不同，这意味着不等式两边同时除以了一个负数．由此可判断a－1＜0，所以a＜1．选C．

例2 关于x的不等式组x＋2a＞4，

2x－b＜5的解集是0＜x＜2，那么a＋b的值等于．

分析：要求a、b的值，必须建立关于a、b的方程组．分析给出的不等式组及解集，可将a、b看成已知数，求出不等式组的解集后，与已知的解集进行对照，从而建立关于a、b的方程组，即可求出a、b的值．

解：由第一个不等式得x＞4－2a，由第二个不等式得x＜．当4－2a＜时，原不等式组的解集为4－2a＜x＜．而已知原不等式组的解集为0＜x＜2，所以必有4－2a＝0，

＝2．解得a＝2，

b＝－1．所以a＋b＝1．

二、数形结合法

例3已知关于x的不等式组30x－a≥0，

8x－a＜0的整数解仅为1、2、3，求整数a的值．

分析：先求出原不等式组的解集，再利用数轴就能直观地得出a所满足的不等式．解这个不等式即可确定a的取值范围，进而确定整数a的值．

解：解不等式组得≤x＜．在数轴上画出这个不等式组的解集的可能区间，如图1．观察图1不难发现，a的取值满足不等式组0＜

≤1，

3＜

≤4．解得24＜a≤30．所以整数a的值为25、26、27、28、29、30．

例4已知关于x的不等式组x－3（x－2）≤4，

＞x无解，求a的取值范围．

分析：不等式组的解集是不等式中各个不等式的解集的公共部分，而无解的含义就是各个不等式的解集无公共部分．先在数轴上画出不等式组中每个不等式的解集，再结合数轴进行讨论．

解：将原不等式组化为x≥1，

x＜a ．因为不等式组无解，所以两解集x≥1与x＜a在数轴上表示时无公共部分（如图2）．观察数轴可知a＜1，当a＝1时，两解集也无公共部分．所以a≤1．

点评：数形结合是数学中的重要思想．所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的数学思想．利用数轴来解决与不等式（组）有关的问题，往往可起到化难为易、化繁为简的作用．

三、分类讨论法

例5已知关于x的不等式组x－a≥0，

3－2x＞－1的整数解共有5个，求a的取值范围．

分析：解原不等式组得a≤x＜2．因不等式组有5个整数解，由整数解的意义可知这些整数解应为1、0、－1、－2、－3．先确定a的大致范围，再通过分类讨论即可求出a的取值范围

解：根据以上分析可知，a的取值在－4与－3之间，因而a的取值有三种情况：

（1）当a＝－3时，原不等式组的解集为－3≤x＜2，其整数解恰有5个，符合题意；

（2）当a＝－4时，原不等式组的解集为－4≤x＜2，其整数解有6个，不符合题意；

（3）当－4＜a＜－3时，原不等式组的整数解有5个，符合题意．

综上可知，a的取值范围为－4＜a≤－3．

点评：分类讨论也是一种重要的数学思想方法．所谓分类讨论，就是当一个数学问题用统一的方法不能继续解下去的时候，将研究的问题分成若干类情况进行研究的思想方法．分类要以事物某种特征为标准，并且分类要做到不重不漏．要使被分类的对象中每一对象都能归入某一类，不能无类可归（不漏）；并且每一对象不能既可归入甲类，又可归入乙类，即只能归入一类（不重）．

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文