巧用特殊性质 妙解竞赛试题

刘金秀　刘明玉

三角形、矩形、正方形都是同学们熟知的几何图形，教材中介绍的这些图形的有关性质，同学们也很熟悉.其实，三角形、矩形、正方形除了具有同学们所熟悉的常规性质以外，还有一些鲜为同学们所知的特殊性质.灵活运用这些特殊性质，在解题时往往能收事半功倍的奇效．下面我们对这些图形的特殊性质给予总结证明，并举例说明这些性质在解数学竞赛题中的妙用．

特殊性质1：矩形、正方形内任一点到相对两顶点距离的平方和等于这点到另外两顶点距离的平方和．

如图1，已知O是矩形ABCD内任一点，连接OA、OB、OC、OD．

求证：OA2＋OC2＝OB2＋OD2．

证明：过O作EF⊥BC于点E，交AD于点F．

∵OB2＝BE2＋OE2，OD2＝DF2＋OF2，

OA2＝OF2＋AF2，

OC2＝OE2＋CE2，

∴OB2＋OD2＝BE2＋OE2＋OF2＋DF2．

OA2＋OC2＝OF2＋AF2＋OE2＋CE2．

又∵AF＝BE， DF＝CE，

∴OA2＋OC2＝OB2＋OD2．

分析：因为P是矩形内任一点，显然，利用特殊性质1，能使问题轻松得解.

解：PA＝3，PD＝4，PC＝8，由特殊性质1得PA2＋PC2＝PB2＋PD2，故PB2＝9＋64－16．

∴PB＝．

特殊性质2：等边三角形内任一点到三边的距离之和等于它的高．

如图3，O是等边△ABC内任一点．OD⊥BC于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F．AH是BC边上的高．

求证：OD＋OE＋OF＝AH．

证明：连接OA、OB、OC．

∵S△AOB＝OF·AB，S△BOC＝OD·BC，S△AOC＝OE·AC，

∴S△ABC＝BC·AH ＝S△AOB＋S△BOC＋ S△AOC＝BC（OF＋OD＋OE）．

∴AH＝OD＋OE＋OF．

分析：由特殊性质2，我们可知这个等边三角形的高，再利用勾股定理就能轻松求出等边三角形的边长．

解：略．

特殊性质3：等腰三角形底边上任一点与顶点所连线段的平方，加上这点分底边所得的两线段之积，所得的和是定值．这个定值等于腰长的平方．

如图4，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任一点．

求证：AD2＋BD·DC＝AB2．

证明：作AE⊥BC于点E．

设BD＝m，DE＝n，则DC＝（m＋n）＋n＝m＋2n．

在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋n2．

又在Rt△ABE中，AB2＝AE2＋（m＋n）2．即AE2＝AB2－（m＋n）2＝AB2－m2－2mn－n2．

又∵BD·DC＝m·（m＋2n）＝m2＋2mn，

∴AD2＋BD·DC＝AE2＋DE2＋BD·DC＝AB2－m2－2mn－n2＋DE2＋BD·DC ＝AB2－m2－2mn－n2＋n2＋m2＋2mn＝AB2．

例3 已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，底边上有任意100个点P1，P2，…，P100．若线段APj（j＝1，2，…，100）的平方与线段BPj和PjC之积的和为kj．求k1＋k2＋…＋k100的值．

分析：显然，若按常规思路求解此题，不易找到解题切入点．我们应用特殊性质3，就能使问题轻松获解．

解：由特殊性质3得：k1＝k2＝…＝k100＝22＝4．

∴k1＋k2＋…＋k100＝4×100＝400．