妙证明 巧解题

刘晓玲

不少同学对证明题比较头疼，总感觉无从下手．其实，证明需要严密的思维．只要你掌握了其中的解题技巧，问题就会迎刃而解了．

一、添加辅助线，构造基本图形

例1 如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．（1） 求证：∠O＝∠BEO＋∠DFO．（2） 如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC将满足怎样的关系？证明你的结论．（3）若将折线继续折下去，折三次，折四次，…，折n次，又会得到怎样的结论？请你用自己的语言来描述所得到的结论．

解析：（1） 此题可以有多种解法．

方法一：条件中存在平行线，要证明的是角之间的关系，可考虑应用平行线的性质．要应用平行线的性质，需构造平行线的基本图形：两平行线被第三条直线所截．所以过拐点O构造平行线，使折线的每一段都成为平行线间的截线． 过点O作OG∥AB，如图3，由于AB∥CD，所以OG∥CD，所以∠BEO＝∠EOG，∠DFO＝∠GOF，所以∠O＝∠EOG＋∠GOF＝∠BEO＋∠DFO．

方法二：连接EF，如图4，构造平行线间的截线，同时也构造了三角形，从而可利用平行线的性质及三角形内角和定理解决问题． 由于AB∥CD，所以∠BEF＋∠EFD＝180°，即∠BEO＋∠OEF＋∠EFO＋∠DFO＝180°．又因为∠OEF＋∠EFO＋∠O＝180°，所以∠O＝∠BEO＋∠DFO．

方法三：延长EO交CD于点G，如图5，这样既构造了平行线间的截线，又构造了三角形，还构造了三角形的外角，可谓一举多得，从而可利用多个性质，使解题过程更为简单．因为AB∥CD，所以∠BEO＝∠OGF．因为∠EOF＝∠OGF＋∠DFO，所以∠O＝∠BEO＋∠DFO．

（2） 可按（1）中的方法一添加辅助线，如图6，过两拐点O、P作AB和CD的平行线OM、PN，易证得添加的两直线及AB、CD互相平行．由于每一对相邻的两平行线间的内错角相等，即∠BEO＝∠EOM，∠OPN＝∠MOP，∠NPF＝∠PFC，因此可得∠BEO＋∠OPF＝∠EOP＋∠PFC．

（3） 由（2）可得结论：如果两平行线间存在一条折线，则所有同向角的和相等．

评注：解决此类问题的关键是构造基本图形，利用其性质解决问题．构造的方法常常不唯一．

二、寻找相等关系，列方程证明问题

例2 如图7，已知△ABC的角平分线BD、CE相交于点O，OF⊥BC于点F．求证：∠BOF＝∠BEC－∠A．

解析：此题要证的是角之间的等量关系，可利用三角形内角和定理及其推论列出方程，然后消去中间角，得到所要证的等量关系． 注意要让涉及的中间角尽量少．本题中∠BOF与∠BEC都可用△ABC的内角表示出来， 因此可把△ABC的内角作为中间角．

∵ OF⊥BC，∴ ∠OFB＝90°． ∠BOF＝90°－∠OBF．

∵ BD、CE是△ABC的角平分线，

∴ ∠OBF＝∠ABC，∠ACE＝∠ACB．∠BOF＝90°－∠ABC．

∵ ∠BEC＝∠A＋∠ACE，∴ ∠BEC＝∠A＋∠ACB．

∴ ∠BEC－∠A ＝∠A＋∠ACB＝（∠A＋∠ACB）．

∴ ∠BEC－∠A＝（180°－∠ABC ）＝90°－∠ABC．

∴ ∠BOF＝∠BEC－∠A．

评注：解决此类问题，关键是用尽量少的中间角将结论中的角进行转化，然后消去多余的中间角．