反比例函数的四个“忽略”

亿　农

大家对反比例函数都了解得差不多了吧.为了更好地掌握它，我来讲一下这部分内容中同学们容易忽略的问题.

[一][忽略“k≠0”，导致错误]

例1若函数y = （m + 2）x｜m｜ - 3是反比例函数，则m的值为（）.

A. 2或 - 2 B. 2 C. - 2 D. 4或 - 4

错解：根据反比例函数的定义，得｜m｜ - 3 = - 1，即｜m｜ = 2，解得m = ± 2.故应选A.

病因：错解的原因是忽略了反比例函数y = 中的“k ≠ 0”这个条件.“k ≠ 0”是反比例函数定义的一个不可分割的部分，解题时应同时考虑.本题中的m不仅要满足 ｜m｜ - 3 = - 1，而且要满足m + 2 ≠ 0.

正解：由题意，得｜m｜ - 3 = - 1，

m + 2 ≠ 0.从而得m = 2，故应选B.

[二][忽略不同“k”值，导致错误]

例2已知y = y1 + y2，y1与x成正比例，y2与x - 1成反比例，且x = 2时，y = 1，x = - 2时，y = - .求y与x之间的函数关系式.

错解：因y1与x成正比例，故可设y1 = kx（k ≠ 0）.同理，可设y2 =（k ≠ 0）.所以y = kx + .把x = 2，y = 1代入，求得k = .所以所求函数关系式为y = x + .

病因：错误原因是把y1表达式中的k值与y2表达式中的k值混为一谈了，实际上y1表达式中的k值与y2表达式中的k值不一定相同.应设为y1 = k1x（k1 ≠ 0），y2 = （k2 ≠ 0），然后分别把x，y的值代入得到关于k1，k2的方程组，再求出k1，k2的值.

正解：设y1 = k1x（k1 ≠ 0），y2 = （k2 ≠ 0），则y = k1x +.由题意得2k1 + k2 = 1，

- 2k1 -

= -

. 解得k1 = 1，

k2 = - 1.所以所求函数关系式为y = x- .

[忽略“在不同的象限内”，导致错误][三]

例3在函数y = （a为常数）的图象上，有三点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），且x1 < x2 < 0 < x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）.

A. y2 < y3 < y1 B. y3 < y2 < y1 C. y1< y2 < y3 D. y3 < y1 < y2

错解：∵ y = 是反比例函数，且k = - a2 - 1 < 0，

∴ y随着x的增大而增大.

∵ x1 < x2 < 0 < x3，

∴ y1 < y2 < y3.故应选C.

病因：讨论反比例函数的增减性时，必须说明是在同一象限内.如果笼统地叙述为“k < 0时，y随着x的增大而增大”就是错误的.对于此题，点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）不在同一象限内，因而不能由x1 < x2 < x3得到y1 < y2 < y3.

正解：因k = - a2 - 1 = - （a2 + 1） < 0，故在每一个象限内y随着x的增大而增大，且函数图象分布在第二、四象限内.

∵ x1 < x2< 0，

∴ y1 < y2.

又（x3，y3）在第四象限内，而（x1，y1）和（x2，y2）在第二象限内，

∴ y3 < y1，y3 < y2 .

∴ y3 < y1 < y2 .故应选D.

[四][忽略自变量取值范围，导致错误]

例4在路程s一定的情况下，速度v与时间t的关系式v = 的图象所在的象限是（）.

A. 第一、三象限 B. 第二、四象限

C. 第一象限 D. 第三象限

错解：因v = 是反比例函数，且s > 0，即k > 0，故它的图象处在第一、三象限，故应选A.

病因：错误原因是忽略了自变量的取值范围，在v = 中，时间t大于0，因此，其图象只能处在第一象限.对于与实际问题有关的函数图象，解题时一定要考虑自变量的合理取值范围.

正解：由剖析知，函数图象只能处在第一象限，故应选C.L