认识“三垂”

陈德前江苏省数学特级教师，江苏省兴化市教育局教研室副主任，中国管理科学研究院学术委员会特约研究员，江苏省考试研究会会员，江苏省教育学会中学数学教育专业委员会会员，泰州市教育学会数学教育委员会会员，泰州市人民政府兼职督学，泰州市数理化学会会员，泰州市教育学会副秘书长.

这里要说的“三垂”是指垂直、垂线、垂足，它们都有一个“垂”字，且都与直角有关，但又有着明显的区别.垂直是指两条直线之间的一种特殊位置关系，即两条直线相交所成的角是直角.垂线是一个名称，两条直线互相垂直，我们就可以说其中一条直线是另一条直线的垂线.只有一条直线，我们不能说它是垂线.垂足也是一个名称，互相垂直的两条直线的交点即为垂足，它是一个点.

如图1，直线AB和直线CD相交于O点，且∠AOD=90°，那么直线AB与直线CD就互相垂直，我们可以用AB⊥CD来表示.直线AB是直线CD的垂线，直线CD 也是直线AB的垂线，O为垂足.

1. 学习垂线必须要注意的几点

（1）不能认为只有水平线和铅垂线才互相垂直，两条直线是否互相垂直是由两条直线的夹角决定的，而与两条直线的放置方法无关.

（2）两条直线相交所成的角是直角，这两条直线就互相垂直. 反之，两条直线互相垂直，这两条直线相交所成的角是直角.要注意，两条直线互相垂直构成直角并不能作为直角的定义.

（3）互相垂直的概念可以扩大到线段或射线上.如果两条直线互相垂直，则在这两条直线上分别取线段或射线也必然互相垂直.两条线段或两条射线所在的直线相交所成的角是直角，这两条线段或射线就互相垂直（如图2）.

2. 画互相垂直的两条直线的方法

（1）利用方格纸画.利用方格纸可以画出互相垂直的线段，如图3，AB⊥CD，垂足为O，EF⊥GH，垂足为P.

（2）利用三角板画.当需要经过直线外一点向已知直线作垂线时，我们可以利用三角板来画.利用三角板过直线外一点画已知直线的垂线的一般步骤如下.

①靠：将三角板的一条直角边紧靠已知直线.

②移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过直线外的已知点.

③画：沿经过已知点的直角边画一条直线.

画一条线段或一条射线的垂线，就是画线段或射线所在直线的垂线.

3. 垂线的性质

（1）互相垂直的两条直线所成的4个角都是直角.

（2）在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

（3）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.可以简单说成垂线段最短.

4. 点到直线的距离

从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.如图4，垂线段PO的长度就是点P到直线l的距离，其余各线段PA、PB等的长度都不是点P到直线l的距离.

必须注意，点到直线的距离是指垂线段的长度，是一个数量，因此下列说法都是错误的：（1）垂线段PO是点P到直线l的距离；（2）画出点P到直线l的距离.

5. 注意区分两组概念

（1）垂线与垂线段.它们都具有垂直于已知直线的特征，垂线是一条直线，其长度不能度量，而垂线段是一条线段，可以度量长度，它是垂线的一部分.

（2）两点之间的距离与点到直线的距离.它们都是指线段的长度，是一个数量，都具有“最小”的特征.但前者是指连接两点的线段的长度，后者是指点到直线的垂线段的长度（可以视为这一点与垂足之间的线段长）.

6. 例题精析

例1如图5，∠1=53°，∠2=37°，则直线CD与直线CE的位置关系是.

[解析：]先求出∠DCE的大小，再根据角来判定直线的位置关系.

因为∠DCE=180°-∠1-∠2=180°-53°-37°=90°，所以CD⊥CE.

例2如图6，在铁路l旁有一个城镇A，现在要建一个火车站，使城镇A离火车站最近，请你在铁路上选一点建火车站.

[解析：]要使点到直线的距离最小，可以考虑垂线段.

过A点向直线l作垂线，垂足为B，则B点即为建火车站的地方（如图6）.

例3如图7，在平面内，两条直线l1、l2相交于O点.对于平面内任意一点M，若p、q分别是点M到直线l1、l2的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，图7中“距离坐标”是（2，1）的点共有个．

[解析：]在平面内，两条直线l1、l2相交于O点，则平面被直线l1、l2分成4部分，每个部分都有1个点到直线l1、l2的距离分别为p、q，因此这样的点有4个.根据题中的规定，“距离坐标”是（2，1）的点共有4个.应填4.

【责任编辑：潘彦坤】