学好概念不犯错

朱元生

刚刚接触几何说理，有的同学常因概念不清，主观臆断，思维混乱，导致各种各样的错误.本文仅以平行线为例进行剖析，以引起同学们的注意.

例1如图1，直线AB与直线CD不平行，∠1与∠2是同位角吗？∠3与∠4是对顶角吗？

错解：由于直线AB与直线CD不平行，所以∠1与∠2不是同位角，而∠3与∠4是对顶角.

[剖析：]直线AB与直线CD虽然不平行，但∠1、∠2分别是直线AB、直线CD被第三条直线EF所截而成的同一方位的角，故它们是同位角.

∠3与∠4虽然有公共顶点，但∠3的边NP与∠4的边NQ并不共线，所以∠3与∠4不是对顶角.

正解：∠1与∠2是同位角，∠3与∠4不是对顶角.

例2如图2，直线AB、CD分别与直线MN相交于点E、F，EG平分∠BEN，FH平分∠DFN.若AB∥CD，你能说明EG和FH平行吗？

错解：因为EG平分∠BEN，所以∠1=∠BEN.

因为FH平分∠DFN，所以∠2=∠DFN.

又因为AB∥CD，所以∠BEN=∠DFN.

从而有∠1=∠2，故EG∥FH.

[剖析：]能在复杂的图形中正确找出同位角、内错角和同旁内角，是运用平行线的判定定理和性质的前提.认清同位角、内错角和同旁内角的关键是弄清截线和被截线，它们的公共边在截线上，其余两条边在被截线上.而∠1和∠2不是直线EG、FH被直线MN所截得到的同位角，错解由于找错了同位角而导致错误.

正解：因为EG平分∠BEN，所以∠3=∠BEN.

因为FH平分∠DFN，所以∠4=∠DFN.

又因为AB∥CD，所以∠BEN=∠DFN，从而有∠3=∠4.

而∠3、∠4是直线EG、FH被直线MN所截得到的同位角，所以EG∥FH.

例3如图3，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断直线DE与直线BC的位置关系，并说明理由.

错解：因为∠1+∠2=180°，所以EF∥DB.故∠3+∠BDE=180°.

又因为∠3=∠B，所以∠B+∠BDE=180°.所以DE∥BC.

[剖析：]虽然∠1和∠2是直线EF和直线DB被直线DC所截得到的角，但它们不是同旁内角，所以尽管有∠1+∠2=180°，我们也不能推出EF∥DB.

这是由于思维混乱，胡拼乱凑导致错误.

正解：如图4，延长线段EF，交直线BC于点G.

由对顶角相等，可得∠1=∠4.

又∠1+∠2=180°，所以∠4+∠2=180°.

∠4和∠2是直线EG和直线DB被直线DC所截得到的同旁内角，且∠4+∠2=180°，所以EG∥DB.故∠3+∠BDE=180°.

因为∠3=∠B，所以∠B+∠BDE=180°.

∠B和∠BDE是直线DE和直线BC被直线AB所截得到的同旁内角，且∠B+∠BDE=180°，所以DE∥BC.

[说明：]在得到结论EG∥DB后，下面还可按照以下方法来说明.

因为EG∥DB，所以∠B=∠EGC.

又因为∠3=∠B，所以∠3=∠EGC.

∠3和∠EGC是直线DE和直线BC被直线EG所截得到的内错角，且∠3=∠EGC，所以DE∥BC.

【责任编辑：潘彦坤】