四种相等关系的妙用

刘海庆

对于圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，我们有以下定理和推论.

定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.

推论：在同圆和等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

上述定理和推论共同的特点是：命题结构简明，题设含一个判断，容易找出，结论有三个判断，选择应用，灵活方便．应用上述定理和推论，可简捷地证明和解决有关圆中的角、弧、弦及弦心距的相等关系问题.

例1 如图1，已知O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F.

（1）求证：CD与⊙O相切.

（2）若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的半径.

（3）从五边形AEMNF的边的相等关系考虑，你可以得出什么结论？请给出证明.

解析：（1）（2）解略．

（3）从五边形AEMNF的五条边的相等关系考虑有：①AE=AF=MN；②EM=FN.

①连接OE、OF，

则有∠OFA=∠OAF=∠OAE=∠OEA=45°．

∴∠AOE=∠AOF=∠MON=90°．

故有AE=AF=MN（同圆中，相等的圆心角所对的弦相等）．

②∵∠EOC=∠FOC=90°, ∠COM=∠CON=45°，

∴∠EOM=∠NOF=45°．

即有EM=FN（同圆中，相等的圆心角所对的弦相等）．

评析：直接应用定理“同圆中相等的圆心角所对的弦相等”一次推理到位，干脆利落.

例2 已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且点O2在⊙O1上.

（1）如图2，AD是⊙O2直径，连接DB，并延长交⊙O1于C.求证：CO2⊥AD．

（2）如图3，如果AD是⊙O2的一条弦，连接DB并延长交⊙O1于C，那么CO2所在的直线是否与AD垂直？并证明你的结论.

解析：（1）证明略.

（2）如果AD是⊙O1的一条弦，那么仍有CO2⊥AD．

如图4，连接AC交⊙O2于E，过O2作O2P⊥AC，O2Q⊥DC,垂足分别为P、Q.

∵AO2=BO2，

∴∠1=∠2，且O2P=O2Q．

∴AE=DB（同圆中，相等的弦心距所对应的劣弧相等）．

于是有 = ，∠A=∠D，AC=DC，即有CO2⊥AD．

评析：将⊙O1中圆周角的相等关系∠1=∠2，转化为⊙O2中的弦心距的相等关系O2P=O2Q，问题迎刃而解.

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