做个思维灵活的人

丁凤云

同学们都知道猴子摘桃子的方法很多.例如，直接爬到树上去，用棒子打，使劲摇晃树，跳起来摘等等.猴子吃到自己从树上摘的桃子总觉得非常甜，非常高兴.学习不也是如此吗？你遇到一道题会找到几种解法呢？成功解决一个问题，是不是特别快乐呢？下面让我们一起来享受快乐时光吧！

例如图1，在△ABC中，∠ACB、∠ABC的平分线相交于点D，∠A=100°，求∠BDC的度数.

思路1：要求∠BDC的度数，由于它在三角形BDC中，所以可以考虑先求出图1中∠1与∠2两个角的和.由于BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，因此∠1与∠2这两个角又分别是∠ABC和∠ACB的一半，故可以转而求∠ABC、∠ACB的度数.而由已知条件不能分别求出这两个角的度数，只能求出这两个角的度数之和.

解法1：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，

∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB.

∵∠A=100°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=80°.

∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=40°.

∴∠BDC=180°-（∠1+∠2）=140°.

评注：本题考查了我们如何运用三角形内角和定理来求角的大小的内容.因此本题中如果已知∠1和∠2两角之和，也能求出∠BDC的度数.另外由于∠1+∠2=(∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A，所以∠BDC=180°-90°

-∠A=90°+∠A.因此无论∠A的度数怎么变化，在本题的条件下，∠A和∠BDC的关系都是一定的，我们都能很快算出∠BDC的度数.

思路2：求三角形中的角度问题，我们还可以运用三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和来解决.但本题中的∠BDC不是哪个三角形的外角，因此我们要设法构造一个三角形使得其外角为∠BDC.

解法2：如图2，延长CD，交AB于点E.

∵∠BDC是三角形BED的一个外角，

∴∠BDC=∠1+∠3.

∵∠3是三角形AEC的一个外角，

∴∠3=∠A+∠2.

∴∠BDC=∠A+∠2+∠1.

∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，

∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB.

∵∠A=100°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=80°.

∴∠1+∠2=(∠ABC+∠ACB）=40°.

∴∠BDC=100°+40°=140°.

评注：本题同样可以延长BD，解法与解法2类似.

思路3：本题中如果连接AD再延长，便可将已知图形分成几个小三角形，也将∠BDC分成两个角，它们分别是三角形ABD和三角形ACD的两个外角，再运用三角形的外角的性质可以解决问题.

解法3：连接AD并延长，交BC于点E，如图3.

∵∠BDE和∠CDE分别是三角形ABD和三角形ACD的两个外角，

∴∠BDE=∠1+∠3，∠CDE=∠2+∠4.

∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，

∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB.

∵∠A=∠3+∠4=100°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=80°.

∴∠1+∠2=(∠ABC+∠ACB）=40°.

∴∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠3+∠4+∠1+∠2=140°.

评注：解法2、解法3都是通过构造三角形的外角来求出∠BDC的度数的.

在平时的练习中，只要我们善于运用一题多解，便能使我们的解题思路非常灵活，同时也能在解决一类问题中得心应手.另外通过多种解法来解决一个问题时，我们还能非常快地得出哪种解法最为简便，也能够选择一种最简捷的思路来解决问题，可以有效提高解题的效率.

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