补凹为凸巧求角度数和

王成法

我们知道凸n多边形内角和的计算公式为(n-2)×180°，外角和等于360°，利用凸多边形的内角和与外角和性质，可以解决有关凸多边形的边数以及角度计算问题.但有时还会遇到凹多边形的角度计算问题.解决凹多边形问题，其基本的思路是将凹多边形问题转化为凸多边形问题解决.

例1如图1，已知∠A=50°，∠3=20°，∠4=25°，求∠BCD的度数.

分析：观察图形可知，这是一个凹四边形，要求∠BCD的度数，可以连接BD或AC，从而将凹四边形问题转化为三角形问题，然后借助三角形的内角和或外角与内角的关系求解.

解：连接BD，在△BCD中，∠BCD=180°-（∠1+∠2），在△ABD中，∠A+∠3+∠1+∠2+∠4=180°.

所以∠1+∠2=180°-（∠A+∠3+∠4）=180°-（50°+20°+25°）=85°.

所以∠BCD=180°-85°=95°.

说明：本题也可以连接AC并延长，或延长BC借助于三角形外角与内角的关系求解.

例2如图2，∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E=度.

分析：要求图形中五个角的度数和，若连接BC，可得到△ABC.根据对顶角相等可得∠DOE=∠BOC，这样有∠D+∠E=∠OCB+∠OBC，此时可将∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E转化为三角形的内角和.

解：连接BC，则∠D+∠E=∠OCB+∠OBC.

所以∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E

=∠A+∠ABE+∠ACD+∠OCB+∠OBC

=∠A+（∠ACD+∠OCB）+（∠ABE+∠OBC）

=∠A+∠ACB+∠ABC=180°.

说明：本题主要借助三角形内角以及对顶角相等，将凹多边形的各角和转化为三角形内角和来解决.

例3如图3，求∠A+∠B+∠BCD+∠D+∠E+∠EFG+∠G.

分析：将多边形ABCOFG看做一个凹多边形，若连接CF，则可得五边形ABCFG.根据∠D+∠E=∠OFC+∠OCF，将∠A+∠B+∠BCD+∠D+∠E+∠EFG+∠G转化为五边形ABCFG的内角和来解决.

解：连接CF.

在△ODE和△OCF中，因为∠EOD=∠COF，所以∠D+∠E=∠OFC+∠OCF.

所以∠A+∠B+∠BCD+∠D+∠E+∠EFG+∠G=∠A+∠B+∠BCF+∠CFG+∠G=（5-2）×180°=540°.

说明：本题通过连接CF，将凹多边形问题转化为凸多边形问题，从而借助凸多边形内角和来解决问题.

例4如图4，求∠A+∠B+∠EDB+∠E+∠F+∠ACF.

分析：观察图形可知，若连接CD，则可得到一对联体三角形COD和EOF，由此可得∠E+∠F=∠OCD+∠ODC，这样∠A+∠B+∠EDB+∠E+∠F+∠ACF就可以转化为四边形ABDC的内角和.

解：连接CD，则∠E+∠F=∠OCD+∠ODC.

所以∠A+∠B+∠EDB+∠E+∠F+∠ACF

=∠A+∠B+∠EDB+∠ODC+∠OCD+∠ACF

=∠A+∠B+∠BDC+∠DCA=360°.

说明：本题主要借助联体三角形将要求角的度数和转化为四边形的内角和来求解.

例5如图5，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7.

分析：观察图形可知，若连接CG，则可以得到联体三角形COG和AOB，则有∠6+∠7=∠OCG+∠OGC，这样可将∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7转化成五边形CDEFG内角和来求解.

解：连接CG，则∠6+∠7=∠OCG+∠OGC.

所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7

=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠OCG+∠OGC

=∠1+∠DCG+∠CGF+∠4+∠5

=（5-2）×180°=540°.

说明：本题主要借助联体三角形将要求角的度数和转化为五边形的内角和求解.

从以上几例可以看出，解决凹多边形内角和问题，一般可通过连接合适的两个顶点，构造联体三角形，将凹多边形内角和转化凸多边形的内角和求解.

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