对多边形内角和公式的探究

孟　坤

小刚生病在家，没能到校上课. 晚上，小亮去看望小刚，并带去了自己的数学笔记.

“小亮，我们今天又学习了什么新内容？”小亮一进门小刚就问道.

“我们学习了‘多边形及其内角和这一节，李老师引导我们探究了多边形的内角和公式.”小亮答道.

“多边形的内角和公式？快说说，怎么回事？”

“这个公式是这样推导得出的.”小亮边说边在练习本上画出了图形（如图1），“从n边形的一个顶点出发引对角线，可连（n-3）条对角线，把n边形分割成（n-2）个三角形.这样，n边形的内角和恰好等于这（n-2）个三角形的内角和之和，即（n-2）·180°.”

小刚想自己再探究一下试试，一不留神，在画图时，却画成了图2. 小亮发现了，说道：“你画错了.”

看着图形，小亮又突发奇想，利用图2是否也能推导出n边形内角和公式呢？小亮发现从点P出发与n边形的各个顶点连线，除n边形的边外可连（n-2）条线，将n边形分割成（n-1）个三角形.此时，n边形的内角和就等于这（n-1）个三角形的内角和之和再减去点P处的平角，即（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°.显然，这个结论与原来推导出的结论相同，小亮欣喜若狂，小刚也非常高兴.

小亮受此启发，对小刚说：“咱们再探讨一下，看看是否还有其他方法.你看，第一种方法出发点P在顶点，第二种方法出发点P在顶点之外的边上，可见，点P的位置与推导的方法有一定的关系.”

“若出发点P在多边形的内部行不行呢 ？”小刚问.

“那我们画图试试吧. 如图3，从点P出发与n边形各顶点可连n条线，将n边形分割成n个三角形，n边形的内角和等于这n个三角形的内角和之和再减去点P处的周角，即n·180°-360°=（n-2）·180°.你看，也可以.”小亮高兴地说.

第二天，他们把探究的情况告诉了老师.老师表扬了他们这种刻苦钻研的精神和创新意识，并说：“你们的方法称为割形法，事实上，还可以利用补形法来推导这个公式.它的思路是：适当延长一些边，可将n边形补成一个大三角形，同时在n边形外部新增（n-3）个三角形，共可得到（n-2）个三角形，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，把多边形的内角之和转化为这（n-2）个三角形内角的和.”

“那您能证明给我们看看吗？”

“好吧，我们用探究规律的方式来证明它.如图4，将四边形ABCD补成三角形，得到△PBC、△PAD，图中∠1=∠4+∠P，∠2=∠3+∠P，所以四边形ABCD的内角和为 ∠1+∠2+∠B+∠C=∠4+∠P+∠3+∠P+∠B+∠C=360°（两个三角形的内角和之和）；如图5，将五边形补成三角形，可得到3个三角形，同样地，五边形的内角和为（5-2） × 180°=540°；如图6，将六边形补成三角形，可得到4个三角形，六边形的内角和为（6-2） × 180°=720°……依次类推，可得到n边形的内角和为（n-2）·180°.”

李老师最后总结说：“综观以上各法，推导多边形内角和公式时，利用的都是转化思想，即把多边形分成若干个三角形，从而把不熟悉的多边形问题转化为熟悉的三角形问题来解决.这种转化思想对于学好数学是极为重要的，希望你们掌握好.”