构造平行四边形解题

王竞进

平行四边形是基本的几何图形之一，它的应用十分广泛.在解题时，如能根据图形特征，添加辅助线，构造平行四边形，常可化难为易，使问题快速获解.

例1如图1，▱ABCD中，E、F为对角线AC上的两点，且AE=CF.M、N分别为边AD、BC上的点，且MD=NB.MN与EF相交于O.求证：EF和MN互相平分.

分析1：据图形特征，要证明EF和MN互相平分，易于联想到平行四边形对角线的性质，于是可连接EM、MF、FN、NE，证明四边形MENF为平行四边形即可.

证明1：如图2，连接EM、MF、FN、NE.因四边形ABCD为平行四边形，由∠MAE=∠NCF，AM=CN，AE=CF，可得△AEM≌△CFN.

∴EM=NF，∠MEA=∠NFC.所以∠MEF=∠NFE.

∴EM∥NF，四边形MENF是平行四边形.

∴EF和MN互相平分.

分析2：结合已知条件，若连接AN、CM，易证四边形ANCM亦为平行四边形（一组对边平行且相等），从而可得AC、MN互相平分.再由AE=CF可知OE=OF，进而结论获证.

证明2：如图3，略.

例2如图4，已知AC= AB=BD，AE=BE，求证：CD=2CE．

分析：由结论，可延长中线CE至点F，使EF=CE，连接AF、BF，则构造了▱AFBC（因对角线互相平分），再证明△DBC≌△FBC，进而推得结论．

证明：如图5，延长CE到F，使EF=CE，连接AF、BF.又因AE=BE，

∴四边形AFBC是平行四边形.

∴AC∥BF，AC=BF．

∵AC=BD，∴BD=BF．

∵AC= AB，∴∠ACB =∠ABC．

又∠DBC=∠ACB+∠BAC=∠ABC+∠ABF=∠FBC，BC= BC，

∴△DBC≌△FBC．故CD=CF=2CE．

点评：本题也可证CD的一半等于CE.设CD中点为F，连接BF.易知BF=AC=BE.因BF∥AC，故∠FBC=∠ACB=∠ABC.故△CBE≌△CBF.

例3如图6，李家庄有一个四边形的池塘ABCD，在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵树.李家庄准备开挖池塘养鱼，想使池塘面积扩大一倍，又想保持四棵树不动，并且扩建后仍为四边形.请问：能否实现这一想法？试说明理由.

分析：先把这个不规则的四边形通过连对角线，分割成四个三角形，然后再分别构造平行四边形把其面积扩大一倍，使问题得以解决.

解：如图7所示，连接AC、BD，分别过点A、C作BD的平行线，分别过点B、D作AC的平行线，得▱EFGH，即为扩建后符合要求的池塘.

点评：利用平行四边形面积是一条对角线所分割出的三角形的面积的2倍，可帮助解决这类构造性问题，如前文中的例4.

不能看书

一群年轻人在一家旅馆的客房内豪饮狂欢.旅馆的招待员走过来对他们说道：“你们不要这样大喊大叫了！隔壁那位先生说他不能看书了.”“你去告诉他，”一个毛头小伙子说，“他应该感到惭愧，我五岁就能看书了.”