四边形知识解读

2008-06-06邓明凤

中学生数理化·八年级数学人教版 2008年4期

作者简介邓明凤，湖北航天中学高级教师，市学术带头人，学校团委书记、党群办副主任.曾在省、市优质课比赛中获一等奖，多次在各级论文比赛、教案评比中获奖；辅导学生多人次在各级数学竞赛中获奖；在报刊上发表论文十余篇；参与了人教社新课标教师教学用书《数学》八年级分册有关内容的编写；参与了新课标数学《金牌教案》的编写工作；先后获得市优秀教师、优秀班主任、青年岗位能手等荣誉称号；多次承担省、市教师示范课讲授任务.

[一、主要知识点]

1.平行四边形的性质和判定

（1）平行四边形的性质：①对边平行；②对边相等；③对角相等、邻角互补；④对角线互相平分；⑤中心对称图形（两条对角线的交点是对称中心）.

（2）平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形；②两组对边分别相等的四边形；③一组对边平行且相等的四边形；④两组对角分别相等的四边形；⑤对角线互相平分的四边形.

2.特殊平行四边形的性质和判定

3.特殊平行四边形与平行四边形的关系

平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系如图1所示.

[二、例题讲解 ]

例1如图2，在▱ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．

（1）试证明：四边形AFCE是平行四边形．

（2）若去掉条件“∠DAB=60°”，（1）的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

思路分析：（1）由条件可知EC∥AF，要证四边形AFCE是平行四边形，只需证明EC=AF即可，即只需证明ED=BF.而利用条件可证明△AED、△CFB都是等边三角形，从而命题得证.（2）要探讨四边形AFCE是否仍然是平行四边形，只需使用（1）中的解决办法，但在证明ED=BF时，必须证明它们所在的三角形全等.

解：（1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD ， ∠DCB=∠DAB=60°，所以∠ADE=∠CBF=60°.

因AE=AD，CF=CB，故△AED和△CFB都是等边三角形.因EC=CD+DE=CD+AD，AF=AB+BF=AB+BC，故EC=AF.

又AB∥CD，故EC∥AF，所以四边形AFCE是平行四边形.

（2）上述结论依然成立，证明如下：

∵AE=AD，CF=CB，∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF.

又∵∠ADE=∠DAB=∠BCD=∠CBF，

∴∠AED=∠CFB.

又∵AD=BC，∴△ADE≌△CBF（AAS）.ED=FB.

下同（1），四边形AFCE是平行四边形.

方法规律：要证明一个四边形是平行四边形，方法有五种，要结合题设，做出恰当选择.本题中已有一组对边平行，那么只需再证明这一组对边相等即可（证明另一组对边平行也可以，但难度较大）.

例2如图3，在四边形ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF.

（1）若四边形AECF是平行四边形，试证明：四边形ABCD是平行四边形.