消点法的运用（一）

张景中　彭翕成

几何题千变万化，解无定法，这似乎已经成为两千年来人们的共识.但人们还是没有放弃，一直都在寻找一种“通法”.这里所说的通法，并不是说它能够解决所有的几何问题，而是指它能够解决几何中的很大一类问题.下面我们要介绍的就是这样的一种通法——消点法.一般说来，只要题目中的条件可以用尺规作图表示出来，并且结论可以表示成常用几何量的多项式形式（常用几何量包括面积、线段及角的三角函数），那么，就总可以用消点法一步一步地做出解答.

首先，我们用一个例子来介绍什么是消点法.

例1如图1，在▱ABCD中，E、F分别为AD、CD的中点.连接BE、BF，它们分别交AC于点R、T.求证：R、T分别为AC的三等分点.

很多人在做几何题的时候，即使书本上已经画好了几何图形，仍然会在草稿纸上重新画一遍.这样做，一是担心添加辅助线的时候把书本上的图形搞乱了，二是重新作图也有利于理解题目意思.其实，几何题难就难在不知道如何作辅助线.作辅助线属于人类独有的高级智慧，既需要平时大量的积累，更需要解题时的“灵机一动”.能不能避开作辅助线呢？也是可以的.消点法就不需要作辅助线，但要求深入理解题目意思.

下面我们来重新作图，要特别注意作图的顺序哟！

第一步：在平面上作A、B、C三点.这三个点是任意画的，不受约束.当然，A、B、C三点不能在一条直线上，否则下面的图形就没法画下去了.

第二步：作点D，使得AD∥BC，DC∥AB.

第三步：连接AC，并作出AD中点E和CD中点F.

第四步：连接BE交AC于点R，连接BF交AC于点T.

在该图形中的所有点中，我们把A、B、C三点称之为“自由点”，而将其他点称之为“约束点”.之所以这样划分，是因为一旦A、B、C三点位置确定，那么其他点的位置也随之确定，没有变动的可能了.

为了证明点T是AC的三等分点，从图形可以看出需要证明=2.我们的思路是：要证明的等式左端牵涉到好几个点（A、C、T），但右端却只有数字2，如果想办法把字母A、C、T都消掉，不就水落石出了么？在这种思想的指导下，我们首先着手从式子中消去最晚出现的点T.