数感教学何以必要

吴仲和

背景

凯瑟林老师是美国加州具有12年教龄的小学三年级老师。她对数学教学的信念是：探索学习能够使学生真正懂数学，老师应该提供学生探索的机会来启迪他们对数学的想象。全班共32名学生。本课授课时间为45分钟。

课例

凯瑟林老师首先告诉学生们这节课的目的：“同学们，我们在生活中经常会遇到许多大的数。比如，你家房子的贷款、足球场的观众数、我们地球的重量以及华尔街每天股票的交易量，等等。今天的课，我们就来讨论大数的意义。”

凯瑟林老师的课从提问开始：

凯瑟林：同学们，请你们告诉我我们的教室里有多少学生？

（学生们数教室里的学生。）

学生：32个。

凯瑟林：非常好。我再问你们：请你与你邻座的同学讨论并估计一下，如果每个学生都有一张书桌，那么我们的教室可以容纳多少学生？

（学生们讨论。）

塔米：我觉得可以容纳64个学生。

凯瑟林：为什么呢？

塔米：我觉得这个房间可以容纳两倍的学生。

凯瑟林：很好。同学们请注意了，她说了两倍。其他同学呢？

尼克：我觉得可以容纳100个学生。

凯瑟林：请你解释一下。

尼克：我觉得我们现在32个学生只占了一小部分，所以我估计整个教室可以容纳100个学生。

凯瑟林：很好。同学们请注意他说了“估计”这个词。现在，我们来继续我们的问题。

凯瑟林：如果我们学校每个年级有3个班，那么，我们学校有多少人呢？为什么？

（学生们讨论。）

卢比达：我觉得大约有600人，因为每个年级大约有100个人，六个年级就有大约600人。

凯瑟林：很好。同学们请注意，卢比达用了几次“大约”，这是非常好的估算技巧。其他同学有没有不同想法？

艾迪：我觉得大约有700人，因为学生有600人，而我们还有老师和校长以及其他工作人员大约100人，所以共计700人。

凯瑟林：艾迪有非常好的想象。但是，我们的工作人员没有100人，所以我们学校的学生大约有600人，如果加上工作人员，我们应该有大约650人。虽然如此，我仍然感谢艾迪的美好想象。

此刻，凯瑟林老师把教学内容转换到100，1000，10000等大数上。她还是用提问的方式。

凯瑟林：同学们，你们能用100这个数举个生活中的例子吗？比如，你有100个什么东西，等等。

（学生们讨论。）

杰夫：我有100个玩具汽车。

克里斯：我有100张篮球卡。

凯瑟林老师又继续问：什么东西价值100元钱？

（学生们讨论。）

马克：我的游戲机价值100元钱。

苏珊：我哥哥的自行车价值100元钱。

凯瑟林老师继续向学生提出有关数感方面的问题。这些问题包含学生日常生活中与大数有关的例子。为了使学生对大数有深刻的理解，凯瑟林老师给出了大数与日常生活结合的例子。她让同学们猜想一下，如果他们用一秒钟数一个数，那么数1，000（一千）需要多长时间呢？数1，000，000（一百万）需要多长时间呢？数1，000，000，000（十亿）又需要多长时间呢？凯瑟林老师进一步解释说：一分钟等于60秒，一小时等于3600秒（60分），一天等于86，400秒（24小时），一个月等于2，592，000秒（30天），一年等于31，104，000秒（12个月）。因此，数1，000（一千）约需要17分钟（因为1000÷60≈17）；数1，000，000（一百万）约需要12天（因为100，000÷86，400≈12）；数1，000，000，000（十亿）约需要32年（因为1，000，000，000÷31，104，000≈32）。她重复这个数以便让学生记忆深刻：数1，000约需要17分钟，数1，000，000约需要12天，而数1，000，000，000约需要32年。

凯瑟林老师在确认学生们对大数有一定的认识后，开始让他们参与数学活动来进一步理解和应用大数。她把学生按照座位的顺序组成四人一组，让每组学生们选择一个各数位数字不同的五位数，比如，23，456、34，567等，告知每组学生讨论以下问题并由每个学生分别承担不同角色来向全班汇报。

（1）将这五个数字重新排列顺序使之成为最大的数，说出几个万、几个千、几个百、几个十、几个一以及你的最大数与100，000的差距。

（2）将这五个数字重新排列顺序使之成为最小的数，说出几个万、几个千、几个百、几个十、几个个以及你的最小数与10，000的差距。

（3）将这五个数字重新排列顺序使之成为介于最大数和最小数之间的中间数，说出几个万、几个千、几个百、几个十、几个个以及这个数与100，000的差距。

（4）创造一个实际情景来使用最大数、最小数和中间数。

在学生们讨论期间，凯瑟林老师在各小组间走动，与学生们交流，回答学生的问题，并适时提出问题来挑战学生的错误。学生讨论了大约10分钟，凯瑟林老师确认各组有了结果后，让学生们开始汇报他们讨论的结果。

小组1选择的数是12，345。

学生1：最大的数是54，321，这个数有5个万，4个千，3个百，2个十，1个一，这个数与100，000的差距是45，679。

学生2：最小的数是12，345，这个数有1个万，2个千，3个百，4个十，5个一，这个数与10，000的差距是2，345。

学生3：中间数可以是21，345。

凯瑟林：等一等，杰米，你为什么说“可以是”？

学生3（杰米）：因为有很多个中间数。

凯瑟林：谢谢你，同学们请注意中间数有很多个数。杰米，请你继续。

学生3（杰米）：中间数可以是21，345，这个数有2个万，1个千，3个百，4个十，5个一，这个数与100，000的差距是78，655。

学生4：垒球场的观众有54，321人，篮球场的观众有12，345人，足球场的观众有21，345人。

凯瑟林：很好。第一组的同学显然喜欢运动。虽然他们的数字与实际还有些差距，但他们对大数的理解还是很好的。一般来说，垒球场的观众大约有60，000人，篮球场的观众大约有18，000人，足球场的观众有70，000人。

小组2选择的数是13，579，他们在回答了问题1至问题3后，举例说：在城市的百货商场，周六和周日最忙，每天接待97，531人，周四和周五比較忙，每天接待51，379人，周一到周三不忙，每天接待13，579人。

凯瑟林：很好。第2组同学显然很有生活经验。他们从日常生活中发现线索，同学们如有机会可以去百货商场核实一下这些数据。

小组3选择的数是56，789，小组4和小组6选择的数也是12，345，小组5选择的数是23，456，他们都能正确回答问题1到问题3，举例都很有想象力：

小组3：一个袋子，如果装米能装98，765颗，如果装大豆能装56，789颗，如果装玉米能装78，956颗。

凯瑟林：很好。第3组同学将视线转移到农村。感谢你们丰富的想象力。同学们如有机会可以亲自数一数。

小组4：教室里最厚的书大约有54，321个字，最薄的书大约有12，345个字，中间那本书有45，321个字。

凯瑟林：很好。第4组同学显然很富有想象力。他们从教室里发现线索。

小组5：一本书有65，432个字符，23，456行和43，256个字。

凯瑟林：很好。第5组同学举了一个同样的书的例子，但他们的想象力却与第4组同学不一样。

小组6：尔湾市有54，321户居民，41，325辆汽车，12，345户居民家里有宠物。

凯瑟林：很好。第6组同学给了一个城市居民的例子。你们的想象力很好，但是，汽车好像少了点。如果改成41，325户居民家有互联网，你们看怎么样？

第6组学生表示同意凯瑟林老师的建议。

凯瑟林：通过这节课，我希望大家对大数有个深刻的概念。就像我们已讲过的数数一样，在我们的生活中，我们会时常用到大数。

作为这节课的结束，凯瑟林老师让学生回家查看报纸、杂志、互联网，然后举出一个例子来说明何时用百万（million）、十亿（billion）和兆（trillion），作为明天课开始的讨论。

评述

凯瑟林老师在这节课采用数字与日常生活相结合的教学方法来使学生掌握“大数”的基本思想，其目的是提高学生的“数感”。那么，什么是“数感”呢？数感就是人们对数和数的关系的一种感觉，它体现人们对什么是数、数的关系、数的大小和数的运算的一种懂得的程度以及一种无意识的对数的感知。需要指出的是，数感不是一个数学内容单元，也不是一个单纯的课堂活动或游戏，它是一种关于数的思想方法。培养学生的数感，尤其是低年级学生的数感对学生理解数学以及数的应用有极大的帮助。我们知道，儿童在学习数时，他们的理解程度是不一样的。有的儿童对数的理解深刻，有的则不深刻。比如，对数23的理解，不一定所有的儿童都知道数23是由两个“10”和3个“1”组成；再比如，对23×35，不一定所有的学生都知道23×35的结果是由4个数组成的：即20×30，20×5，30×3和3×5（其答案是23×35=600+100+90+15=805）。儿童对数字的深刻理解（数的表达、数的关系以及数的系统）对他们今后进一步学习数学是有意义的和有帮助的。另外，儿童在学习数字的时候，不一定所有的儿童都能够感受到数字的大小与他们的日常生活有关系，即什么时候用大的数字，什么时候用小的数字。显然，培养数感对提高儿童对数的理解和应用是有意义的。可以这么说，没有数感的数学学习，可能只会解题，而不懂数学概念和应用。

凯瑟林老师的这节课有3个特点。（1）通过有关大数的具体例子，使学生们对大数究竟有多大有一个具体的了解。例如，凯瑟林老师解释数1，000需要约17分钟，数1，000，000需要12天，数1，000，000，000需要32年。这个例子形象地表现大数1，000、1，000，000和1，000，000，000的不同。正如课后笔者与学生交谈，问他们这节课学到了什么？有相当多的学生提及这个例子并说明他们从这个例子里知道了数大小的不同。凯瑟林老师借用这些学生们日常生活里熟悉的事物来帮助学生直观理解数的大小以增强数感。可以说，凯瑟林老师的这个例子能够有效地唤起低年级学生对大数的理解和记忆。（2）让孩子们学习重要的数学知识，使他们对所学的数学知识加以发展延伸，刺激孩子们的想象（对大数的想象），让孩子有一个“迷茫”和醒悟的过程。（3）虽然数感在许多时候包含数的估算和心算，但近年来数感的研究趋势朝着对数的认识和数的使用场合的方向发展。因此，课堂上关于数感的一个重要的教学内容就是鼓励学生运用估算，选择和想象他们自己对数的使用的理解，特别是对大数的使用的理解。其目的是让学生对大数有一个感觉的过程。凯瑟林老师的课贯穿着学生的想象和估算。让学生分组活动，其目的不仅让学生们对“数位”的概念有进一步的理解，更重要的是让学生通过自己创造的具体例子来进一步理解大数的意义。从学生们报告的例子里，我们很容易感觉到这一点。另外，对大数应该从日常生活中不同方面的数感来理解。从学生们举出的各方面的例子，所有的学生可以感受到大数在不同场合的应用。综上所述，“数感”的教学应基于数字本身、数字的运算和数字的联系。数字本身是指数字的关系和大小；数字的运算包含心算和估算；数字的联系是指数字与真实世界的联系。凯瑟林老师的这节课贯穿了这三个方面的教学内容。