聚氨酯隔振器试验建模与参数辨识

1 引 言

利用非线性弹性和阻尼元件控制振动日益受到重视。与线性元件相比，非线性元件具有衰减大冲击和吸收宽频带振动的特征，所以更为有效。聚氨酯隔振器是一种承载范围宽的新型非线性隔振器。本文通过大量试验,对聚氨酯隔振器动态特性进行了研究。试验研究表明，聚氨酯隔振器的迟滞特性不仅与振幅有关，还与频率有关；恢复力同时受频率和振幅的影响，具有非线性滞后特性。在此基础上结合理论分析,建立了隔振器模型,该模型将恢复力分解为非线性弹性力和非线性阻尼力两部分。对比理论与试验结果表明,所建模型可靠,能够合理描述隔振器的非线性迟滞特性,为其隔振动态特性研究奠定了重要的理论基础。

2 聚氨酯隔振器动态特性试验

2.1 试验元件及测试设备

由于传统的激振方法(例如锤击、激振器和振动台)难以满足大振幅、频率和激振力变化范围的要求。为了更加方便地激发出高次非线性,提高参数识别精度,运用美国MTS公司810型液压伺服试验系统，该系统采用微机数控和电液伺服，配置的位移、载荷、应变3种传感器都很精确，精度为0.5%，有良好的频率控制和幅值控制特性，同时能由微机自动记录所有数据，是测试隔振器静态和动态性能的理想设备，完全满足测试要求。

试验装置及隔振器安装示意图如图1所示。

图1 试验元件在MTS材料试验机上安装图

2.2 试验及结果分析

在MTS材料试验机上采用位移控制方式的正弦位移加载试验,将从试验机自带的力、位移传感器反馈回来的信号进行滤波去噪，编制MATLAB程序，可得到许多相应的曲线图，如图2和图3所示。图2表示激振频率为4 Hz，振动幅值为±0.5 mm、 ±1.0 mm、±2.0 mm的恢复力—位移图。图3表示振动幅值为2 mm，激振频率分别为2 Hz, 6 Hz,10 Hz的位移恢复力图。

图2 迟滞回线随振幅变化的图形(频率4 Hz)

图3 迟滞回线随频率变化的图形(振幅2 mm)

由图2迟滞回线随振幅的变化可知:

1) 振幅不同,即使位移相同,恢复力也不同,即恢复力与变形历史有关;

2) 振幅不同,隔振器的平均刚度也略有不同；

3) 恢复力具有明显的滞后特性,迟滞回线的面积(表示隔振器所耗散的能量)随振幅发生改变,说明隔振器的阻尼与振幅有关,隔振器的动刚度和阻尼均是振幅的非线性函数;

4) 迟滞回线的形状接近椭圆,随着振幅的增大,迟滞回线的形状发生改变,说明恢复力中的阻尼成份并不单一。

由图3迟滞回线随频率的变化可知:

1) 频率不同,隔振器的平均刚度随之改变;

2) 迟滞回线的面积随着频率的改变而变化,说明隔振器的阻尼与频率有关。

综上所述,聚氨酯隔振器的恢复力同时受振幅和频率的影响,与变形历史有关, 其本构关系是一个复杂的非线性泛函。

3 隔振器动力学模型及参数识别

迄今为止,最具代表性的非线性迟滞系统数学模型主要有以下几种:双线性恢复力模型[1];Bouc-Wen模型[2,3]、迹法模型[4]。这些模型各有不同的应用场合和优缺点。

双线性恢复力模型优点是结构形式简单,各参数物理意义明确,需要辨识的参数少,缺点是将系统处理成两个线性刚度系数,无法描述强非线性高阶刚度系数的影响,将阻尼仅处理成干摩擦阻尼,不足以描述复杂阻尼情况; Bouc-Wen模型优点是可以描述大小不同、形状各异的迟滞回线,缺点是恢复力表达式中弹性力和阻尼力不明确,各参数物理意义不清晰,参数中出现了一阶微分方程不利于参数识别,这种模型多用于滞后系统的随机振动响应分析; KO[5]等提出的基于平均和等效原理的迹法模型优点是各个参数的物理意义明确,表达式简单,但是由于实际结构很复杂,可能同时存在多种阻尼,因此阻尼仅描述为等效的粘性阻尼往往反映不了实际情况。潘东[6]等在迹法模型的基础上提出了一种混合阻尼模型来描绘钢丝绳迟滞特性，结果表明该模型能够合理反映兼有不同性质阻尼的滞后非线性特性。

3.1 非线性弹性复合阻尼模型

分析由动态试验得到的图4可知，迟滞回线可以分成上下2条,分别对应速度大于零及小于零的情况。大多数情况下可以认为上下半支迟滞回线是关于位移反对称的。用幂函数多项式分别拟合上下半支迟滞回线,假设用于拟合上半支迟滞回线的幂函数多项式为:

(1)

图4 聚氨酯隔振器动态特性图(预压5 mm,振幅2 mm)

由位移反对称原理FX(x)=-FS(-x)，则用于拟合下半支迟滞回线的多项式为:

(2)

上式中，FS(x)、FX(x)分别表示迟滞回线的上下分支。其中x为隔振器变形,ai表示幂函数多项式的系数。幂函数多项式项数n,按拟合的迟滞回线形状和对表达式要求的精度而定。

将式(1)、式(2)的幂函数多项式按奇、偶项分开写为:

(3)

(4)

两式合并为:

(5)

迟滞恢复力中弹性恢复力Fk(x)为弱非线性,因此取前两阶展开式即可。构造非线性弹性恢复力Fk(x)的数学模型为:

Fk(x)=k1x+k3x3

(6)

图5 迟滞回线拟合分解图

由于产生阻尼的因素较多,恢复力中存在多种阻尼成份,若仅用一种阻尼描述,则与实际情况相差较远。因此,在模型中引入反映阻尼组成的阻尼成份因子,构造非线性阻尼力数学模型为:

(7)

式中,c为阻尼系数,α为阻尼成份因子。由上式可以看出:α越大,阻尼力对速度的变化越敏感;反之阻尼力对速度的变化就比较迟钝。当α=1时,上式实际上就简化为线性粘性阻尼;当α=0时,阻尼力仅与速度符号有关,上式表示的是干摩擦阻尼;当α在(0,1)范围内变化时,表示的是既有干摩擦阻尼特性，又有粘性阻尼特性的混合型阻尼。由此可以看出,阻尼成份因子α可以很好地描述多种阻尼成份,且物理意义明确。

综上所述,描述聚氨酯隔振器动态特性的非线性弹性复合阻尼模型为:

(8)

3.2 参数分解识别算法

针对该模型可采用非线性最小二乘最优化方法进行参数识别。基于最优化方法的参数识别，就是通过不断调整参数向量使残差和最小，即

(9)

式中，r(y)为残差，y为待识别参数向量。解非线性最小二乘问题的牛顿迭代公式为[7]：

yk+1=yk-(J(yk)TJ(yk)+S(yk))-1J(yk)r(yk)

(10)

然而，在用MATLAB程序中的非线性最小二乘函数进行参数识别时发现，不仅计算周期长，而且计算过程中会出现矩阵病态，导致识别效果不甚理想。分析问题的产生可能存在以下原因：S(y)含二阶算子，计算的工作量很大，甚至是难以计算；矩阵逆运算非常容易出现奇异，导致计算不能继续进行。为了尽量避免非线性最小二乘法计算矩阵病态问题的出现，可采取的方法是尽量减少最优化识别时的参数数量。为此，本文采取参数分解识别方法。

1) 用动态试验测量到的隔振元件位移、恢复力采样信号xk,fk(k=1,2,3,…,n)对迟滞回线进行最小二乘多项式拟合,得到的多项式中奇数项系数即为待识别的非线性弹性恢复力刚度系数k1,k3。

2) 用已识别出的k1,k3及测量得到的位移采样信号xk, 重构非线性弹性恢复力Fk(xk)。

Fk(xk)=k1x(t)+k3x3(t)

(11)

(12)

根据非线性阻尼力模型式(7),用Gauss-Newton非线性最小二乘参数识别算法[7],编制MATLAB程序, 即可识别出阻尼系数c及阻尼成份因子α。

3.3 参数识别算例

为验证所建模型的可靠性与参数识别算法的准确性,我们利用隔振器动态试验中测量的振幅2 mm,频率4 Hz的位移及恢复力数据,对隔振器模型进行了参数识别,结果如表1所示,并用识别出来的参数进行了模型重构。模型重构结果与试验曲线的比较见图6,可以看出,两者拟合得较好,说明所建模型可靠。

表1 模型参数识别结果(振幅2 mm,频率4 Hz)

4 结 论

1) 通过隔振器动态试验可知,聚氨酯隔振器的恢复力同时受激励频率和振幅的影响,并且和变形历史有关,具有明显的非线性迟滞特性，且隔振器中存在多种阻尼成份。

2) 通过试验及理论分析建立了隔振器的动态数学模型,通过引入阻尼成份因子,使得该模型能较好地拟合隔振器中存在的各种复杂的阻尼成份。

3) 通过对比试验曲线与仿真结果,验证了数学模型和参数识别的准确性,下一步可利用该隔振器恢复力模型研究其隔振动态特性。

图6 模型重构结果与试验曲线对比(振幅2 mm,频率4 Hz)

参考文献:

[1] MASRI S F. Forced vibration of the damped bilinear hysteretic oscillator[J]. The Journal of the Acoustical Society of America, 1975,57(1): 106-112.

[2] BOUC R. Forced vibration of the mechanical systems with hysteresis[C]∥Proceedings of the fourth conference on nonlinear oscillation, Prague, Czechoslovakia, 1976：315-315.

[3] WEN Y K. Method for random vibration of hysteretic system[J]. Journal of the Engineering Mechanics Division, 1976,102(2):249-263.

[4] BADRAKHAN F. Rational study of hysteretic systems under stationary random excitation[J]. Int J Nonlinear Mechanics, 1987,22(4): 315-325.

[5] KO J K, NI Y Q, TIAN Q L. Hysteretic behavior and empirical modeling of a wire-cable vibration isolator[J]. Int J Anal Exp Modal Anal, 1992, 7(2):111-127.

[6] 潘东.滞后非线性弹性元件的试验建模与参数辨识[D].上海:上海交通大学,1995.

[7] 袁亚湘,孙文瑜.最优化理论与方法[M].北京:科学出版社, 2001.