突破填空题的难关

沈新权　刘　舸

考生最头痛失分最严重

很多同学觉得数学考试中填空题最令人头痛．选择题有得选，解答题还有步骤可以得分，可是填空题需按题意一步步求解，要的却只是最后的答案，一点点失误就会前功尽弃．分析历年高考数学卷答题情况发现，填空题确实是考生失分最严重的部分．从2007年开始,浙江省高考数学卷中的填空题已由4小题增至7小题，分值比例大大上升，做好填空题就显得更为重要了．

计算要细心思维不定势

做好填空题首先要非常细心．有时，一道题目你明明会做，可是因为计算差错的缘故导致结果错了，分数也就全没有了.阅卷老师无法知道也不会管你究竟会不会做这个题.有时，从草稿纸往答卷上抄答案抄错了，这样的失分就更冤枉了．

其次，还要突破思维定势．填空题的答案不一定是唯一的．比如题目要求写出函数的解析式，如果这个函数是分段函数，那就需要写出各段的表达式；又比如要求求数列的通项公式，有可能需要对项数n分奇数和偶数两种情况进行讨论．当然，也有的时候满足条件的答案有很多个，但题目只要求写出其中的一个．

解题找捷径难题不再难

要答对填空题虽然有一定的难度，但它毕竟不是大题，所以题目本身不会很难．有些同学习惯把所有的填空题都当成解答题来做，导致某些题的解题过程过于烦琐，反而使出错的可能性增大．其实填空题最忌“小题大做”．在笔者看来，解答许多题目都是有捷径可走的．要充分抓住题目本身的特点，找到巧妙的方法，尽量避免繁杂的计算推理过程，降低解题难度，节约解题时间．

一、 特征分析法

分析题目的隐含条件、内在特征，通过推理分析，寻找正确答案．

例1设F（ｘ）=ｆ（ｘ）+ｆ（-ｘ），x∈R，若-π，-是函数F（ｘ）的单调递增区间，将F（ｘ）的图像按a=（π，0） 平移得到一个新的函数G（ｘ）的图像，则G（ｘ）的单调递减区间为

．

解析： 虽然F（ｘ）是抽象函数，无法求出其具体的解析式，但由条件F（ｘ）=f（ｘ）+f（-ｘ）我们可以发现F（ｘ）是偶函数，结合-π，-是函数F（ｘ）的单调递增区间，可知，π是F（ｘ）的单调递减区间．将F（ｘ）的图像按a=（π，0） 平移得到新函数G（ｘ）的图像，则G（ｘ）的单调递减区间必定为+π，π+π，即，2π．

点评： 解题时，我们由F（ｘ）是偶函数这个隐含条件入手，根据图像的对称性，得到了F（ｘ）的单调递减区间．请同学考虑：如果F（ｘ）为奇函数，能否用类似的方法求出G（ｘ）的单调区间？

二、 特殊化法

如果命题的一般情况为真，则特殊情况也必定为真．当填空题的结论唯一或其值为定值时，我们常可把题中的参变量用特殊值代替，即可得到一般结论．解题时可取特殊值、特殊位置、特殊函数、特殊数列、特殊图像等．

例2设a>b>1，则log a b，log b a，log ab b的大小关系是．

解析： 考虑到三个数的大小关系是确定的，不妨取特殊值a=4，b=2，则log a b=，log b a=2，log ab b=， ∴ log ab b

例3如果函数ｆ（ｘ）=x2+bx+c对任意实数x都有ｆ（2+t）=ｆ（2-t），那么ｆ（1）， ｆ（2）， ｆ（4） 的大小关系是．

解析： 由ｆ（2+t）=ｆ（2-t） ，可知ｆ（x）的图像的对称轴是x=2．故不妨考虑构造特殊函数ｆ（x）=（x-2）2，即可求得ｆ（1）＝1，ｆ（2）＝0，ｆ（4）＝4， ∴ ｆ（2）< ｆ（1）< ｆ（4）．

例４已知SA，SB，SC两两所成的角均为60°，则平面SAB与平面SAC所成的二面角为．

解析： 将SA，SB，SC作为正四面体同一顶点引出的三条棱，不难得平面SAB与平面SAC所成的二面角为arccos．

三、 发现规律法

由于填空题不需要有详细的证明过程，无须对所发现的规律进行求证，因此我们可以根据一些特殊的数据、情况，利用发散思维去联想、类比、推广、转化，总结出其中蕴涵的一般规律，并以此规律解决问题．但在总结规律时需非常谨慎．

例５如图1所示，把椭圆+=1的长轴AB分成8等份，过每个分点分别作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7，已知F是椭圆的一个焦点，则P1F+P2F+P3F+P4F+P5F+P6F+P7F=．

解析： 设F2是椭圆的另一个焦点，首先我们发现P4F=a．另外，根据椭圆的对称性可知，Pi（ｉ＝1，2，

3，5，6，7）到F，F2的距离之和有同样的规律，即P1F+P1F2=P1F+P7F＝2ａ． ∴ P1F+P2F+P3F+P4F+P5F+P6F+P7F=7a=35．

例6将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如图2所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．从此三角形可以看出+＝，其中ｘ=．令ａｎ＝++++…++（ｎ≥3且n∈N），则ａｎ=．

解析： 在题目中有“看出”二字，所以我们可以直接观察图2中的三角形，发现三角形中任意一个数是它“脚下”两数之和．如=+．由这个规律可得x=r+1．而an=++++…++=-+-+-+-=-， ∴ ａｎ=-=．

四、 构造新模型法

根据题目的具体情况设计新的模型，可以帮助我们方便地解决一些情形较复杂的问题．

构造新模型时要注意从整体考虑．如果要构造函数，则需注意观察所给函数的结构特征，要建立在对函数的性质的深刻理解的基础上．

在立体几何中，正方体是最基本的几何体之一，其中蕴涵着大量的空间线线、线面、面面的位置关系，因此在求解三棱锥、三棱柱等问题时，经常可根据几何体的结构特征构造相应的正方体，将问题转化为正方体中的问题进行求解．

例7已知函数ｆ（ｘ）=

的最大值为M，最小值为m，则M+m＝．

解析： 函数ｆ（ｘ）可以化为ｆ（ｘ）=1+，令g（ｘ）=ｆ（ｘ）-1=． ∵ g（ｘ）为奇函数， ∴ m-1=

-（M-1），即M+ｍ＝2．

例8在三棱锥O-ABC中，三条棱OA，OB，OC两两互相垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB的中点，则OM与平面ABC所成角的大小是

（用反三角函数表示）．

解析： 求OM与平面ABC所成角的大小时，我们可以有三种思考方法：①利用体积变换求出三棱锥的高，然后通过解OM与高构成的三角形进行求解；②建立空间直角坐标系，通过求解向量与平面ABC的法向量的夹角进行求解；③构造正方体，将三棱锥置放在正方体中，利用正方体的性质进行求解．对于填空题来说，方法③最为简便．

将三棱锥O-ABC放进如图3所示的棱长为a的正方体中，由正方体的性质知，三棱锥O-ABC的高为a，而OM=a，所以本题的答案为arcsin．

五、 数形结合法

借助图形的直观性，结合数据迅速作出判断．文氏图、三角函数曲线、函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形．

利用数形结合思想解题时，要学会“构造图形”，精心联想“数”与“形”，从而使代数问题几何化，或使几何问题代数化．要熟知以下代数式所表示的几何意义：①表示动点P（ｘ，ｙ）与点M（ａ，ｂ）连线的斜率；②z＝ax+by表示一动直线；③（ｘ-ａ）2+（ｙ-ｂ）2表示动点P（ｘ，ｙ）与点M（ａ，ｂ）间的距离的平方．

例9若关于x的方程＝ｋ（ｘ-2）有两个不等实根，则实数ｋ的取值范围是．

解析： 令y1=，y2=k（ｘ-2）．方程有不等实根，即两函数图像有两交点.由图4可知ｋAB＜ｋ≤0，其中AB为半圆的切线，计算得ｋAB＝

-， ∴ -＜ｋ≤0．

例10已知向量a=（1，1），ｂ=（1，-1），ｃ=（cosα，sinα）（α∈R），实数ｍ，ｎ满足ｍａ+ｎｂ＝ｃ，则（ｍ-3）2+ｎ2的最大值为．

解析： 由已知可得m2+n2=1，则（ｍ-3）2+ｎ2表示单位圆上的点到点（3，0）的距离的平方，结合图形可知，其最大值为16．

六、 类比转化法

类比转化法是指比较两个（类）对象，找出它们在某一方面（特征、属性）的相似点，进而把其中一个对象的有关性质移植到另一个对象中去进行解题．类比推理是从特殊到特殊的思维方法．

类比转化法是编制新命题、发现新定理以及开拓解题思路的重要方法．类比转化主要包括不同知识结论间的类比（见例11），以及解题思想方法间的类比（见例12）两大类．

例11已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB和AD所成的角分别为α，β，则cos2α+cos2β=1．若把它推广到空间长方体中，试写出相应的命题形式：

．

解析： 在平面图形中，此命题是关于矩形的对角线与矩形的边所成角之间的余弦关系的，把它类比到空间，我们可以考虑长方体的对角线与长方体的棱或者是与长方体的面所成的角度之间的余弦（正弦）关系：

①长方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与棱A1A，A1B1，A1D1所成的角分别为α，β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=1，sin2α+sin2β+sin2γ=2；②长方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面A1B，A1C1，A1D所成的角分别为α，β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=2，sin2α+sin2β+sin2γ=1；③长方体ABCD-A1B1C1D1中，对角面A1ACC1与平面A1ABB1，A1ADD1所成的二面角分别为α，β，则cos2α+cos2β=1．

例12从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（1

解析： 由题意，我们可以把左边的式子归纳为从n+k个球（n个白球，k个黑球）中取出m个球，分为：没有黑球，1个黑球，……，k个黑球，共k+1类，类比题目中的解题思想，这样的取法共有种，即+·+…+·=．

总结： 从以上方法中我们可以看到，填空题的解答确实是有一定的捷径可走的．但这个捷径是建立在数学概念清晰、算法合理、运算熟练的基础上的，同时还要能进行合理的分析和判断．在具体应用时，既要看到上述解题方法的优势，也要看到各类常规题的解题思想的指导作用．优化思路、正确推理、少算多思是快速、准确地解答填空题的基本要领．