妙用不等式“Ａｘ＋Ｂｙ≥（Ａ＋Ｂ）２ｘ＋ｙ”智取一类最值

赵炜通

北京市十一学校高三(1)班 (100039)

各类资料都有如下一类二元极值：

题目1 已知x,y∈R+，且1x+4y=1，求4x+9y的最小值；

题目2 已知x,y∈R+，且2x+9y=5，求2x+1y的最小值.

此类最值，我们老师采用如下方法，以题目1为例：

4x+9y=1•(4x+9y)=(1x+4y)(4x+9y)=40+9yx+16xy≥40+29yx•16xy=64，当且仅当9yx=16xy,

1x+4y=1,即x=4

y=163时，原式取得最小值64.

但我们同学在以后遇到这类题时，老是忘了“1=1x+4y”而使解题受阻，甚至出现如下的错误解法：∵1=1x+4y≥21x•4y，所以xy≥4,从而4x+9y≥24x•9y=12xy≥12×4=48.

错因是：当且仅当1x=4y

4x=9y ① 时取等号，但方程组①无解.

有一次做题时受一道题目的启发，我发现此类最值问题可用如下定理智取：

定理：设x,y,A,B∈R+，则Ax+By≥(A+B)2x+y，当且仅当xy=AB时取等号.

证明：∵Ax+By-(A+B)2x+y=(Ax-Bx)2xy(x+y)≥0,当且仅当Ay-Bx=0即xy=AB时，取等号，证毕.

这个结论启发我们，只需要将左边的分式变形，凑出右边的分母“x+y”，使“x+y”恰好是已知的条件(定值)，就可以巧妙的求出最值，举例说明如下：

例1 见上面题目1.

分析：将4x+9y变形为41x+394y，再用定理凑出定值“1x+4y=1”.

解：4x+9y=41x+364y≥(4+36)21x+4y=64,当且仅当1x4y=436,

1x+4y=1,即x=4

y=163时，取得最小值64.

例2 见上面题目2.

分析：将2x+1y变形为42x+99y，再用定理凑出定值“2x+9y=5”进而获解.

解：2x+1y=42x+99y≥(4+9)22x+9y=5,当且仅当2x9y=49,

2x+9y=5,即x=1

y=13时，取得最小值5.

例3 求函数f(x)=33-2x+22+3x(0

分析：将33-2x+22+3x变形为99-6x+44+6x，再用定理凑出定值“(9-6x)+(4+6x)=13”进而获解.

解：f(x)=99-6x+44+6x≥(9+4)2(9-6x)+(4+6x)=2513.当且仅当9-6x4+6x=94，即x=15时，函数f(x)┳钚≈氮=2513.

推论 设常数a,b,c,d,A,B∈R+，则函数f(x)=Aa+bx+Bc-dx(-ab

例4 求函数y=32玸in2θ+1+83玞os2θ+2(θ∈R)的最小值.

分析：注意到“玸in2θ+玞os2θ=1”，将32玸in2θ+1+83玞os2θ+2变形为96玸in2θ+3+166玞os2θ+4，用定理凑出定值“(6玸in2θ+3)+(6玞os2θ+4)=13”.

解：y=96玸in2θ+3+166玞os2θ+4≥(9+16)2(6玸in2θ+3)+(6玞os2θ+4)=4913,当且仅当6玸in2θ+36玞os2θ+4=916,即玹an2θ=34时，y┳钚≈氮=4913.

推论 设常数a,b,c,d,A,B∈R+，则函数f(θ)=Aa玸in2θ+b+Bc玞os2θ+d(θ∈R)的最小值为(cA+aB)2ac+bc+ad.

例5 已知x>0,y>0,x2+y3≤4,求2x+27y的最小值.

分析：将2x+27y变形为1x2+9y3，再用定理将“x2+y3”放大为4.

解：2x+27y=1x2+9y3≥(1+9)2x2+y3≥164=4.当且仅当x2y3=19

x2+y3=4即x=2

y=9时，取得最小值4.

例6 设x>y>z.求证：1x-y+4y-z+9z-x≥0.

分析：∵x-y>0,y-z>0，只需证明：“1x-y+4y-z的最小值为9x-z”即可(假设x-z是定值)这用定理易得.

证明：∵1x-y+4y-z≥(1+4)2(x-y)+(y-z)=9x-z,所以1x-y+4y-z+9z-x≥0.当且仅当x-yy-z=14，即2x+z=3y时取等号.

从上面的例子我们看到：例1，例2，例5是一类条件最值，凑定值时，要依据所给的条件来“凑定值”；例3，例4必须挖掘“隐含条件”如：玸in2θ+玞os2θ=1,(a+bx)+(c-bx)=a+c等方能凑效；例6说明有些证明题可以转化为求最值题来解决!