何谓数学好课

安淑华 吴仲和

一提起美国教育，大家似乎早已有现成的印象。各种各样的观览、短期听课，甚至长期居于美国的华人家长，都有过不同角度的文字记叙，见诸报刊。近年来，中国课程改革的各种争论中，也有不少批评盲目引入国外（主要指美国）理论的声音，尤其是在数学教育方面，言辞颇为尖锐。

实际上，任何一个国家的改革方向总是基于它深厚的传统尤其是文化传统，因此很难以两个国家改革方向相反来简单地判定是否应当抱着某些根深蒂固的积习不放。从某种角度来说，我们对美国数学课堂的了解是十分肤浅的，也是很不专业和全面的。能不能去“拿”和“拿”什么，都应当建立在对自身的客观审视和对对方的深入研究的基础之上，从而形成对道路选择的清晰判断。

出于这样的目的，我们组织了一组美国数学课堂实录和专业分析文章，陆续刊出。课例的选择全部基于国内数学课程改革的需要和教师关注的热点，希望能对“建设性”（而不只是一味地批评）地改进中国数学课堂教学有所启示。

对于怎样评价一堂数学课的讨论，常常主要围绕以教师为中心的教学还是以学生为中心的教学的评价。此外，人们还经常讨论应当遵循怎样的模式来教学以及为什么这种模式能够提高学生的数学能力（Mathe-maticsProficiency）。这些讨论的最终目的是期望在我们日益多元化的社会中，教师能够帮助每一个学生学懂数学，学好数学，热爱数学，从而成为一个具有创造性和对社会有用的人。数学教学的核心是让每一个学生参与到学习活动中去，以取得最大的学习效果并提高学生的数学能力。如何才能提高学生的数学能力？除了学生自身的因素外，教师的教学起着很大的作用。

数学教学以谁为中心

传统的数学教学是以教师为中心的直接教学法。研究表明，以教师为中心的数学教学比较适用于低年级的课堂（幼儿园到二年级）。这种教学法能够改善学生的模仿技能（比如计算技能），其局限性在于学生较少有机会去探究和建构数学概念（Slavin，2006）。

以学生为中心的教学是以儿童认知和建构主义为基础的（Johnson，J.，Dupuis，V.，Musial，

D.，Hall，G.，&Gollnick，D.，2005）。其数学教学的基本理念是：（1）学生应有机会建构他们自己的数学思想，从建构数学的过程中懂得数学；（2）教师应该懂得每个学生对数学的理解是不一样的；（3）教师应该用学生对学习的反馈来调整教学；（4）有效教学的意义在于学生有机会探索知识而不是一味地模仿老师。基于这些基本教学理念而产生的教学策略对一个数学老师来说是十分重要的。这些教学策略包括：

（1）创造一个数学的学习环境并学会倾听学生的数学思想。

（2）提出有讨论价值的数学问题。

（3）帮助不同水平的学生建立不同的模型来理解数学。

（4）鼓励学生展示自己的数学思想并证明自己的数学结论。

在美国，由于教育发展水平的一个重要标志在于普及大众教育，因此以学生为中心的数学教学在美国教育中处于主要地位，其目的是缩小教育的差距。大量研究表明，为使学生对数学有探究的欲望和创造的动力，教师应以学生为中心，用不同的教学方法来帮助每一个学生，变被动学习为主动学习，使学生真正懂数学，热爱数学，从而提高数学能力。那么，应当采用什么样的教学模式呢？

美国盛行哪种教学模式

较早的教学模式可追溯到德国的教育家赫尔巴特（Herbart，1776～1814），他主张教学要有5个环节：

（1）准备：让学生做好准备学习新的知识。

（2）展示：教师向学生表述新的知识。

（3）联系：使新知识与旧知识融为一体。

（4）歸纳：将新知识由特例归纳为一般概念。

（5）应用：将新知识应用于实际。

这5个环节是数学教学的重点要素，但是，近年来，世界范围内教学模式的讨论围绕着提高学生的数学能力来进行。美国国家研究协会（该协会是美国国家科学院和国家工程研究院的主要研究咨询机构）和美国著名智库兰德公司主张学生的数学能力应包含以下5个方面：（1）懂得数学概念；（2）计算熟练；（3）能将所学加以应用；（4）逻辑推理和证明能力；（5）对数学学习价值有一定的认识（NRC，2001；NAND，2003）。

笔者在教学及研究中发现，为了量化学生的数学能力以及便于检测他们的学习效果，学生的数学能力可以由3个核心方面组成（由此形成MSA教学模式，其中，“M”指模型；“S”指解题策略；“A”指应用）：（1）懂得数学概念；（2）计算熟练；（3）能将所学加以应用。其逻辑推理和证明能力贯穿于懂得数学概念、计算熟练和应用之中；对数学价值的认识是随着对数学思想的真正理解而提高的（Wu，2006；Wu&An，2006）。这3个核心方面组成了学生能力的检测模型（如图1）。

由以上图形可以看出，学生对数学的理解是多方面的。这种多方面的理解能够帮助学生把数学与实际结合起来，并灵活运用数学概念，因此，在数学教学中教师应当设计不同的、从可视到抽象的表达方法来帮助学生懂得数学概念。

计算熟练是指掌握不同层次的计算方法和技能（Strategy），运用基本的数学概念达到熟练计算的目的。计算熟练包括三个方面：（1）基础算法；（2）基本计算技巧，这是一般学生所必须掌握的；（3）特殊计算技能，这是在（1）和（2）的基础上教师帮助学生掌握的一些特殊计算技能，或为基础较好的学生设计的。

应用（Application）是指将所学的知识与实际相联系以解决实际问题。如何有效地让学生能够应用所学的知识？教师应当重点把知识与生活的经验联系起来。例如，应用题是一种较快的应用，然而不是每个学生都能解应用题。教师应当帮助学生对应用题进行分类，培养学生分析应用题的能力，选择合适的解题技巧和解决策略，使学生能举一反三。

数学的“有机平衡”是指教学要力求使学生理解数学概念、计算熟练和具有应用能力。如果学生具备这3点，他们将建立对数学的信心，从而相信自己的能力并开始喜爱数学。数学教学中，如何使这3个方面达到有机平衡（例如教学时间和教学内容的分配）是教学的关键。好的数学课应当体现这3个方面的平衡。单方面地强调任何一个方面都不利于学生数学能力的培养。MSA教学法不但与加州新的数学课程标准（2005）的原理相一致，而且，在全美其他地区也是大力提倡的，因为它是著名的兰德公司的研究报告和美国国家研究协会对全美数学教育的研究所得出的结论。

另外，MSA3个核心的每一方面都有金字塔式的学习规律。例如我们可以用下列的金字塔把数学学习分成基本类和特殊类。

以上3个图中，每层之间都有密切的有序联系，每层建立在下层之上。最底层是每个学生必须掌握的基本知识。如果在教学中有跳跃或断层，教学会达不到预期的目的（An，2004）。例如，在教新的数学概念和技能时，如果直接用数学语言及数学式来表达数学概念，学生通常会产生只会做题却不懂数学的现象。只会做题并不表明有数学能力。好的数学能力具备以上3点。它产生于每天的课堂教学中。

教师拥有怎样的备课大纲

为帮助学生获得应有的数学能力，全美50州都制定了相应的教师备课大纲来指导数学教学。这些教学备课大纲一般包含以下8个方面：

（1）课程目标：新课要有明确的教学目标，即上完新课后学生能学到什么知识。

（2）课程标准：所有的新课都要和特定的课程标准有联系。

（3）开始新课：新课的开始要有联系性，即把学生的已知與新课的内容联系起来，把新课的内容和学生的实际生活联系起来。复习已知的并与新课内容有联系的知识，以此为新课做好准备。

（4）新课教学：用不同的表达方法（抽象的和直观的）及多种例子讲解新课（概念和技能）和范例，并用不同的教学法如分类法、比较法、问题法等以帮助不同学生形成对数学的不同理解。

（5）评估学生的掌握程度：讲课中用不同的方法了解学生掌握新知识的程度，并调整讲课的内容及速度。

（6）课堂练习：包括两种：老师指导下的练习和学生的独立练习。前者强调老师的指导性；后者指学生及时应用所学的新知识独立完成练习。

（7）分级指导：对不同数学能力和背景的学生（如第二语言学生、天才学生或特殊学生）的不同指导。

（8）结束新课：是以检测不同数学能力的学生对新课理解的程度为目的的。新课的结束可以有多种形式：提问法、考评法（小测验）及学生的书面反馈等。学生和老师都可以参与讨论。例如，有的老师会这样问：如果校长问你，你今天学到什么，你该如何回答？

需要指出的是，美国之所以有以上方面的教学结构，是因为美国是个多元化的社会，数学教育面临的挑战除了提高学生的数学能力，还包括在教学中要考虑多元文化（表现在不同语言、不同种族、不同地区）的因素，不同智障（比如聋、哑）以及语言障碍的学生（比如新移民的第二语言学生）。根据法律规定他们有权与一般学生在同一教室接受教育。据统计，全美大约有13%的在校（12年级以下）学生属于不同智障的学生。新移民的孩子在语言上有障碍的，就更不计其数了。此外，美国教育强调平等性，不允许按照成绩的好坏来区分学校和班级。因此，对如何上好一堂能够满足不同学生不同需求的课，无疑给数学教师增加了新的挑战，因为它要求教师能够设计不同的方法来帮助这些有特别需求的孩子，而且不让一个孩子掉队。加德纳（Gardner）的多元智能研究也使老师们相信学生的智力是多方面的，只要在课堂中给学生提供多种学习方法，他们的数学能力就会提高。这就是为什么我们通常总能见到美国数学课堂上学生都在非常轻松地学习。老师们帮助学生在活动中学习数学，在游戏中学习数学，在玩各种实物中学习数学，在读故事中学习数学，在探索研究项目（project）中学习数学。在中国教师看来，美国数学课太简单、松散。虽然美国的数学课比不上中国数学课的高节奏、高强度，但是美国数学课使学生感到数学有趣、数学和实际生活有联系、人人都能学会数学。

中国课堂里学生的差异可能小些，但是根据吴仲和2006年关于中国六年级学生数学学习的研究报告，中国学生基本上处于计算能力强、概念理解能力和应用能力差的状态（Wu，2006）。另外，中国的社会结构也在变化，单纯的城市教育结构已不能适应日益变化的新型城市结构，比如，城市里日益增长的流动人群将构成中国教育的多元化。这需要老师有坚信每一个人都能成功的信念并且能够设计不同的教学方法帮助不同学习能力的学生。显然，这对中国数学教师来说也是一个新的挑战。

如何评价一堂数学课

虽然有教学备课大纲作为指导，但究竟如何把教学备课大纲的内容体现在教学中是一个值得探讨的问题。好的备课大纲并不表明会产生一堂好的数学课；反之，一堂好的数学课一定需要在好的备课大纲基础之上。这两者之间的桥梁是大量观察好的数学课并且懂得如何评价一堂好的数学课。通过不断学习评课，老师们会在学习中成长并提高教学技能。在此过程中，老师们会发现最好的教学方法以及应当改进的方面。这种评课的学习也将帮助老师们自我反思从而发现自己教学中的长处和不足。

评价一堂数学课的关键是从积极的批评的角度来分析此课的各个方面，从而发现哪些有效地达到了课程目标，还存在哪些不足。不论是以教师为中心的直接教学法还是以学生为中心的教学法都有一个共识：数学教学的核心是让每一个学生参与到学习中去，以取得最大的学习效果并提高学生的数学能力。达此目的的关键是尽可能为学生提供有效的数学课堂教学。为了比较方便地测评一堂好的数学课并使之量化，根据美国多种评价数学课的方法，我们总结出下列12个重要方面：

（1）相关性：明确的教学目的包含在课程标准中。教学内容与学生水平相关。

（2）联系性：联系已知与新内容，联系新内容和实际生活及其他学科。

（3）平衡性：帮助学生懂得数学概念，能熟练计算并将所学加以应用，使三者之间达到平衡。

（4）有序性：有层次地引进知识（由浅入深），逻辑推理由易到难。

（5）多元性：用不同的方法教授不同数学能力的孩子。

（6）评价性：用不同的方法了解学生掌握新知识的程度并依此调整讲课的内容。

（7）创新性：教学法、活动、材料有新意，有吸引力，并鼓励学生在探究中学习。

（8）互动性：促进学生在学习中互动、自主参与、选择。

（9）反思性：引导学生自我指导、自我反思、自我评价。

（10）公平性：创设公平的、尊重不同智力学生的、宽容的学习气氛。

（11）责任性：促进学习中的集体的发展及增强个人的责任感。

（12）有效性：将大部分的时间用在数学教学内容上。

因此，在这个数学案例分析系列里，我们将从小学一年级到初中八年级8个不同年级中选择一些比较有意义的课例，展示美国老师是如何贯彻数学教学大纲的基本要求及结构的，他们如何平衡懂得数学概念、计算熟练和应用三项内容，以及如何用不同的教学方法来帮助不同数学能力的学生，等等，同时做出相应的分析。这些美国老师的数学课例来源于我们2005～2006年教学能力的研究。

我们希望通过这些案例和国内的同行交流。在系列案例中，我们将介绍：（1）老师的专业背景、他们对数学教学的信念和班上学生的基本情况；（2）他们所上的一节数学课；（3）我们对此课的评价。希望此案例分析能够起到互补的作用，以推动中国数学教学的发展。

（参考书目略。作者分别系美国加州州立大学教育学院数学教育副教授和美国加州国立大学教育学院数学教育助理教授）