教师的估算知识缺失了什么

田佩章

教师们普遍反映估算“教师难教，学生难学”，“试题难出，正误难判”。通过研究发现，问题是多方面的，除了教师对估算的教育价值认识不足、教学策略失当和经验积累不够之外，还存在关于估算的本体性知识缺失的问题。小学估算涉及的数学学科知识很多，教师比较生疏的主要有：离散量和连续量；绝对误差和相对误差。反映在小学数学教学内容中，就是对“大约”和“差不多”的认识普遍不清楚。

一、为什么“大约”不一定要“估算”？

某版本小学数学教材三年级上册有一道练习题（以下称《蚕吐丝》）为：一条蚕大约吐丝1500米，小红养了6条蚕，大约吐丝多少米？

不少学生的算式是：1500×6≈1000×6=6000（米）或者1500×6≈2000×6=12000（米）。老师问：1500×6=9000（米）不是挺好的吗？为什么要把1500米约等于1000米或2000米呢？他们异口同声：这里有“大约”！

学生为什么会这样认为？调查发现，多数老师也说不清楚。有一定认识的老师认为，《蚕吐丝》问句中的“大约”实际上是承接着前面条件中的“大约”而来的。多数老师认为这样的问句中不应该出现“大约”，这是在为难学生。因为大家都解释不清楚，于是，大部分老师的做法是回避，考试题中也不会出现这样的问题。

1.离散量和连续量。

小学生接触到的现实世界的数量（圆周率除外）可以分为两类：连续量和离散量。比如人数、课桌椅数是离散量，与自然数对应。身高、体重、温度、时间、距离、平均速度、正方形对角线的长度等是连续量，通过测量或计算得出，与正实数对应。现实世界里的所有测量数据都是近似数。比如小明身高140厘米，体重35千克，就是近似数，与身高约140厘米，体重约35千克，甚至表示为身高恰好140厘米，体重恰好35千克，没有任何区别，虽然小明的身高、体重有一个准确值，但是不可能无误差地测出———准确是相对的，误差是绝对的。离散量都是准确数，比如二（1）班有38人。但在一定的情境下，离散量也可以用整十、整百等近似数描述，比如某校有3000多名学生，3000人就是近似数。这样描述不是因为这个学生数不是一个准确值，而是因为这里只需要一个近似值。

《蚕吐丝》中的数学问题没有任何错误，关键問题是：这里的“大约”与“两个班大约多少人”的“大约”是两回事！这里的大约吐丝1500米要视同准确数———但是又确实是近似数！也就是说学生对这里的“大约”不理解。因为学生不知道“大约吐丝1500米”中不管有没有“大约”，都是大约的意思：一条蚕吐丝的长度不可能恰好是1500米，而且也不可能每条蚕吐的丝都一样长。事实上，这里的1500米就是一个统计量，用平均的方法得到。

事实上，这种错误认识不是现在才出现的，在课程改革以前就已经有过。笔者曾经在一次数学教师培训中遇到这样一个问题：求圆柱体蓄水池大约能装多少吨水，要求结果精确到十位。用计算器计算的结果是：199.3272吨，近似值应该是多少？数学教研组形成了两派意见。“去尾派”认为，结果应该是190吨。因为最多只能装199.3272吨，如果再多一点水就会溢出，因此应该用去尾法。“四舍五入派”认为，应该是200吨，只知道这里似乎应该四舍五入，但是不能说服另一派。如果明白了关于近似量和准确量的基本理论，显然，后者是正确的，因为这道题里圆柱的直径、周长、面积、体积、圆周率注入水的计量包括圆柱体本身都是近似的。

通过调查发现，大部分老师对《蚕吐丝》中“大约”的理解没有疑义，因为我们在生活中已经建构了“大约”一词的使用方法。而学生则不然，他们缺少这方面的生活经验。那么让学生正确建构“大约”的意义，能在合适的情景中正确使用“大约”就应该成为教学目标。

2.连续量的近似属性教学。

既然我们应该让学生正确建构“大约”的意义，能在合适的情景中正确使用“大约”，那么实现这个教学目标的关键期是什么时候呢？笔者认为，是小学低年级测量和计数教学过程———厘米、米、毫米、千米、克、千克、吨、时、分、秒的认识等。事实上，大多数国家及我国的香港和台湾地区，在测量教学中十分重视让学生明白所有测量的数据都是近似数这个道理。这样，学生就会知道近似是测量数据的本质属性，无需再在前面冠以“大约”二字。

这样说来，估算与测量教学关系密切，应该在测量教学中让学生正确认识测量数据的近似属性，笔者认为这既是估算教学的基础，同时也是培养数感的重要途径。因此，从课程标准制定、教材建设、教师培训上都要给予足够的重视。

现实情况是，我们的《数学课程标准（实验稿）》没有重点强调要在测量教学中关注这一点，教师对这个基本理论知之甚少，更不用说形成教学理念。即使是教材编者似乎也不十分清楚：教材上的测量教学关键提示语没有一句表达了近似这个要义，甚至有错误的理解。比如，某教材四年级上册有一习题：小明身高约140厘米，体重35千克。哪是近似数，哪是准确数？这里就把35千克错误地理解为准确数。

笔者建议，要加强数学教师基本数学知识培训，让教师明白近似量和准确量的区别。在二年级学习长度测量之初就应增加测量教学时间，改进测量教学。测量教学必须遵循“先估计、后测量、再评价是否准确”的顺序，要在测量结果的表述中让学生体会到大约的含义，初步接触四舍五入的方法，让学生明白测量数据都是近似的。重视步测和目测，体会现实情景中近似表达测量数据的必要，构建“大约”的意义，便于学生今后能明确地区分使用大约的语境。同样，周长、面积、体积、质量和时间测量的教学也应该遵循这个原则。

二、什么是“差不多”？

数学新课程中有“多（少）些”，“多（少）得多，差不多”等准确程度表述词的使用教学，目的应该是让学生能根据实际判断准确程度和误差大小。学生正确使用这些词语的必要性从下面这个案例中可见一斑。

在四年级“可能性”学习中，老师让各学习小组从装有5个红球、5个白球的口袋中有放回地摸球20次，预测并记录红、白球出现的次数，判断其是否与预期（数学期望：摸出红球、白球各10个）“差不多”，最后统计全班的数据，分析红、白球出现的次数是否和预期的次数差不多。学生在判断中，对红、白球个数的差十分敏感，只要红球与白球的次数存在差别，比如13次红球、7次白球，95次红球、105次白球，一概判断说“与预期不符”，对老师期望学生表述的“红球、白球差不多，白球大概占一半”不认可。究其原因，学生长期擅长精算，对“差不多”一词的用法还远没有达到预期水平。学生根本没有体会到95个和105个已经非常接近预期（100个）了。

1.绝对误差和相对误差。

“差不多”的背后是模糊数学的思想，与概率论和集合论有密切关系。还是以上面摸球为例，在装有5个红球、5个白球的口袋中有放回地摸球200次，预期摸出红球、白球各100次，结果摸出红球95次、白球105次，与预期100次的绝对误差是100-95和105-100，都是5次。而相对误差则是5÷100=5%。在摸球次数较大的时候，判断摸球次数是否与预期“差不多”要看相对误差。很可能绝对误差（指纯数据）比较大，但相对误差很小。显然，这个“差不多”———相对误差不大———对于学习估计、统计和可能性是至关重要的关键性知识。

那么，教师对这个词的准确用法是否明白呢？笔者在一次市级新课程教学观摩会上，听了一堂三年级“时分秒”课，其中有一个体验“秒”的环节，老师让学生闭上眼睛，听老师发令后默数30秒再回头，看估计30秒是否准确。结果，这些同学回头时间大约是28秒。笔者正惊叹这些学生估计得真准时，老师却很遗憾地对他们说：“真可惜，不准！”学生一片沮丧！那么，28秒对于30秒真的不准吗？这和上述摸到红球、白球的次数是否差不多是同一个道理，28秒和30秒的相对误差只有7%，已经相当准了！这里本来应该听到的是老师的惊叹和孩子们的欢呼的！显然，老师对这个“差不多”不理解，让学生失去了学习“差不多”的好机会。我们知道，市观摩课的执教者是素质较高的年轻骨干教师，而且观摩课往往经过了一个教师群体长时间的“磨课”过程，所以这也反映出一个教师群体对“差不多”理解的偏差。

2.誤差的相对性观念教学。

既然这个“差不多”如此重要，那么应该在什么时候让学生开始正确建构“差不多”的概念，让学生在合适的语境中正确使用“差不多”呢？笔者认为，有两个关键时期：第一个关键期是第一学段的测量和数的认识，第二个关键期是第二学段的百分数应用。

第一学段的测量教学要遵循“估测———实测———评价”的顺序，让学生体会“很准确”、“多（少）得多”和“差不多”等词语在实际情景中的用法；在“物价情景”中让学生体会“便宜得多”、“贵得多”、“贵一点”、“便宜一点”和“差不多”的用法。类似于下面的教学活动就能较好地实现这个目标。

①同样的铅笔盒，小商品市场每个10元，超市20元。同样的旱冰鞋，超市每双200元，精品店每双210元。用“贵得多”、“差不多”、“便宜一点”和“便宜得多”评价一下三种商店的商品价格。

②舅舅从巴黎回来，给明明买了一辆赛车（价格是200元）和一盒法国巧克力（价格是50元）。舅舅让明明猜，明明猜赛车150元，巧克力20元。你评价一下明明猜得怎样。

③小组内每个同学估计一下橡皮多少克，然后测量一下，再评价自己测量的准确性。

④明明估测了教室的长和讲台的长，教室9米，讲台3米。实测结果是，教室8米50厘米，讲台3米50厘米。请你评价一下明明估测得怎样。

⑤掷硬币50次，估计出现正面的次数，评价估计的准确性。

教师可以让学生在上述活动中，通过估测和判断自己的估测是否差不多，体会直至逐步正确建构“差不多、差多了”等表示准确性的词语的使用方法，获得数感，发展估算能力。

到第二学段在学习百分数之后，将第一学段习得的“差不多”的感性认识用绝对误差是实际量的百分之几来进行准确描述（比实际多或少百分之几）。

那么究竟怎样的百分比对应于“贵得多”和“差不多”呢？我们可以结合生活实际分析，设置问题可以把握这样一个度：大数比小数多的百分数小于30%和大于70%时，分别用“差不多”和“多得多”描述。我们小学数学中还可以将这个百分比更进一步特殊化处理，比如小于20%和大于80%。

“大约”和“差不多”的正确使用应该是小学估算教学的显性目标，它应该是检验学生数感发展水平的重要指针。教师正确理解估算背后的数学基础知识，是正确认识估算价值、选择估算教学策略的前提。小学数学教师本体性知识的缺失已经成为小学数学课程改革的重要障碍。如果以“教研员、教师都弄不清楚”为理由，对数学课程改革中与估算相类似的统计与概率、统筹、组合数学等领域的教学内容不作要求，不考查，那么数学课程改革将只能是一句空话。因此，小学数学教师的数学本体性知识的补充和数学素养的提高应该成为当前小学数学教师培训的重要内容。