新课程数学中考的走向

王继延

一、中考命题应该关注什么？

作为学业考试，数学中考要体现数学课程标准（以下简称“课标"）的评价理念，要有利于引导和促进数学教学全面落实“课标”所设立的课程目标，有利于改善学生的数学学习方式、丰富学生的数学学习体验、提高学生学习数学的效益和效率，有利于高中阶段学校综合、有效地评价学生的数学学习状况。

因此，数学中考的命题应加强试题与社会实际和学生生活的联系，注重考查学生对数学的基本知识与技能的掌握情况，特别是在具体情境中综合运用所学知识分析和解决问题的能力：既要重视对学生学习数学知识与技能的结果和过程的评价，也要重视对学生在数学思考能力和解决问题能力方面发展状况的评价，还应当重视对学生数学认知水平的评价;应面向全体学生，根据学生的年龄特征、个性特点和生活经验编制试题，使具有不同的数学认知特点、不同的数学发展程度的学生都能表现自己的数学学习状况，力求公正、客观、全面、准确地评价学生：坚决杜绝偏题、怪题。

我们认为，在命题过程中，最值得关注的有以下几点：

1.坚持义务教育的基础性，突出对学生基本的数学素养的评价。

初中阶段对基础知识和基本技能的评价，应遵循“课标”的基本理念，以本学段的知识与技能为基准，考查学生对基础知识和基本技能的理解与掌握程度。

因此无论哪个地区，数学中考都应突出对学生的基本数学素养的评价，都应关注“课标”中最基础和最核心的内容，即所有学生在学习数学和运用数学解决问题过程中最为重要的、必须掌握的核心观念、思想方法、基本概念与常用的技能。考试内容都要选自当地学生应该学习的数学内容，要有利于考查学生基础知识与基本技能的掌握情况以及学生发现问题和解决问题的能力。所有试题求解过程中所涉及的知识与技能应以“课标”为依据，不能任意扩展范围与提高要求。

必须指出，对于数学学科的基础知识和基本技能的认识有一个与时俱进的问题。我们必须看到，随着社会的发展，数学学科的基础知识和基本技能的内涵也在发生变化，“课标”已经较好地反映了这些变化。因而认真、切实地以“课标”为依据，坚持义务教育的基础性，突出对学生基本数学素养的评价是十分重要的。

2.更新传统形式，创造性地进行数学课程评价。“课标”指出，学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理和交流等数学活动。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习的重要方式。学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和充满个性的过程。

因此，对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程;要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。

显然，要达到以上的目标，是不可能继续沿用原有的模式、传统的试题形式的。更何况，在课程改革中，数学学习目标、课程内容、教学方式以及学生的学习方式等都已发生了很大的变化，有的甚至是根本性的变化。在此情况下，数学学习的评价，包括中考，必须也必然要发生相应的变化。近几年来，数学中考试卷及其试题的面貌已经发生了较大的改变，出现了各种创新的试卷形式与试题题型。我们必须坚持这种创新的思路，在加强对于数学基础知识与基本技能的考查的同时，努力更新传统的形式，使数学中考真正体现课程改革的理念。

3.体现关爱学生，以学生发展为本的理念。

义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生在获得对数学的理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。

因而我们所做的一切，都应该以学生的发展为本。脱离了学生的发展，前面所说的一切都成了空洞的理论，没有任何实际意义与价值。对于数学中考来说，以学生发展为本，就是要在选取有关考试内容和认知水平时，把学生作为公民的数学素养与进一步学习对初中数学发展水平的要求作为依据。评价的方式、要求乃至具体的评分标准，都应体现关爱学生，以学生发展为本的理念。那种人为地编造一些繁偏的试题，设置一个又一个的陷阱，超越学生的认知水平等做法都是不可取的，必须摒弃。

二、体现新课程理念的试题应该是什么样的？

下面我们就结合近几年各地数学中考中常见的试题类型及例题，探讨今后新课程数学中考命题的思路。

1.客观性试题。

这里所说的客观性试题，是指一般意义上的选择题与填空题。这类试题对于数学基础知识与基本技能的考查较为有效，还可以避免一些人为因素在评阅试卷的过程中的影响。然而由于缺乏解答过程，无法完全反映学生的思维过程，从而也难以了解学生真实的数学理解状况。因而这样的试题在整套试卷中，其總分值可以占一定的比例，但不宜过大，一般应控制在40%左右。

当然，近几年来，客观性试题也出现了一些新的变化，渗透了开放、探究的成分，使这类试题呈现出新的面貌，增强了适用性。

例1要判断如图△ABC的面积是△PBC面积的几倍，只用一把仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少是（）。

点评：“课标”指出，必须恰当评价学生的基础知识与基本技能，对基础知识与基本技能的评价应结合实际背景和解决问题的过程，更多地关注对知识本身意义的理解和在理解基础上的应用。这道考查基础知识的填空题，就突破了传统套路，呈现了运用数学基础知识解决具体问题的一种情境，让学生在理解问题所提供的两个三角形面积之比的实质的基础上，得到最后的结果。

例2剪纸是中国的民间艺术。剪纸方法很多，下面是一种剪纸方法的图示（先将纸折叠，然后再剪，展开即得到图案）：

下面四个图案中，不能用上述方法剪出的是（）。

点评：这一试题让学生通过自己所熟悉的剪纸情境，得到一些特定图形的信息，考查学生对图形的轴对称与中心对称性质的理解与掌握的程度。这样的评价符合“课标”所提倡的方式，对空间与图形学习的评价之一就是考查学生对基本几何事实的理解。对于最后选项的判断，学生只要能从题目自身所提供的剪纸情景中获取图形的内含信息并数学化，便能做出正确的选择。

例3已知AD是△ABC的角平分线，E、F分别是边AB、AC的中点，连结DE、DF。在不再连结其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是_

点评：该题是一道条件开放的客观性试题，涉及三角形与四边形的基本数学知识内容，给学生创造了一个自主探索的机会，考查学生对基本图形的认识以及不同知识之间的转换能力。这正是“课标”所要求的，重视对学生发现问题、解决问题能力的评价。这种评价方式有助于改变学生的学习方式，培养学生的数学思维能力。

2.开放性试题。

开放性试题是近几年，特别是在数学课程改革的进程中所涌现出来的一类新颖的试题，开放条件，开放结论，开放评分标准，彻底改变了传统试题的封闭形式，为学生的数学学习活动创造了一种充满活力、富有挑战性的新环境，让数学学习活动真正成为一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。实践也证明了这种类型的试题在数学学习评价过程中的有效性，得到了越来越多的教师和学生的认可。这样的试题应该在数学学业考试中占有一定的地位，当然还须恰当地把握开放的度，并选择合适的载体。

例4右图是由16个边长为1的正方形拼成的，所要求的长度为有理数和无理数的线段并不惟一，学生只需对有理数和无理数有一定的理解与认识，依据图形和数学的基本知识，观察分析所给的图形，即能画出符合要求的线段。这种建立在基础知识之，上的开放，完全符合新课程的理念，形式新颖，活跃了学生的数学思维，提升了学生的数学能力。

例5苏学美同学为班级“学习专栏”设计了报头图案，并用文字说明图案的含义，如图①。请你用基本的几何图形（如直线、射线、线段、角、三角形、四边形、多边形、圆、圆弧和函数图象等）中若千个，为“环保专栏”在图②方框中设计一个报头图案，并简要说明图案的含义。（有创意的另加1分）

点评：该试题形式新颖，让学生利用基本的几何图形，自行设计具有一定含义的图案，并且提出“有创意的另加1分”。这种形式的开放引起各方面的关注，试题的条件或结论的开放，评分标准的开放，实现了“课标"所提出的评价理念：“评价的手段和形式应多样化”，要充分“发挥评价的激励作用”，鼓励学生进行探索，产生更具创意的结果，让学生有更多的发展。

例6此题有A、B、C三类题目，其中A类题4分，B类题6分，C类题8分。请你任选一类证明，多证明的题目不记分。

（A类）已知：如图7，AB=AC，AD=AE。求证：∠B=∠C。

（B类）已知：如图8，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE交于点0，且AO平分∠BAC。求证：OB=OC。

（C类）如图9，△BDA、△HDC都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延长线与AC交于点E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程。

点评：新课程的评价理念提出，对学生数学学习的评价，“既要关注学生数学学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展”，应当“充分关注学生的个性差异”。该题正是从这样的角度进行了创新的设计，以学生的发展为本，体现了评价标准的层次性，对于不同层次的学生，在评价的内容与方法，上，给予层次不同的评价，实现让“不同的人在数学上得到不同的发展”的理念，让一些优秀学生有更好的发挥，让那些学习暂时感到有些困难的学生也有所收获与成功，获取信心。对此，我们可以作更多的尝试与实践，如设置不同水平的试卷，或配置一定数量的试题，供学生自行选择，实行多样化的评价方式。

3.信息性试题。

我们生活在一个充满信息的时代，数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断，同时为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段。数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。因而努力提高学生获取信息、解决问题的能力，是数学教学的重要目标，课程评价自然也应注重这方面的考查。近几年来涌现的信息性试题就是比较适宜考查学生获取信息、解决问题的能力的题型。

例7甲、乙两人（甲骑自行车，乙骑摩托车）从A城出发到B城旅行。如图表示甲、乙两人离开A城的路程与时间之间的函数图象。根据图象，你能得到关于甲、乙两人旅行的哪些信息？

答题要求：

（1）请至少提供四条信息。如，由图象可知：甲比乙早出發4小时（或乙比甲迟出发4小时）;甲离开A城的路程与时间之间的函数图象是一条折线段，说明甲作变速运动。

（2）请不要再提供“（1）”中已列举的信息。

点评：该题依据现代信息社会对人们的基本要求，让学生观察实际模型所对应的函数图象，要求学生从中获取一定的信息，是一种开放性的图象信息题。考查学生从图表、数据、文字等各种相关的材料中获取信息、解决问题或进行决策的数学能力。

例8甲乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示。

（1）分别求出两人得分的平均数与方差;

（2）根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价。

点评：该题要求学生从所给的数据图表中获取必要的信息，进而评价两人的训练成绩，着重考查学生的读图与识图的能力，考查学生对于基本的统计概念与一些统计量及其蕴涵的统计思想的理解与运用水平，而这些正是学生终身发展所必需的重要能力。这样的试题让学生将统计的思想方法运用于实际情景，改变了传统的统计试题的模式，体现了“课标”的评价理念。

例13小明在一些格点图中，画了各种各样的多边形，他发现这些多边形的内部所含的点的个数有多有少，请你与他一起探索如下的问题：

（1）如下的各个多边形的内部都有而且只有1个点。

将各个多边形的面积S与它四周各边上点的个数X填入下表，你能发现S与X之间存在什么关系？

再画几个类似的多边形，它们的面积S与四周各边上点的个数X是否还符合这一关系？

（2）在如图的格点图中，画出几个多边形，使其内部都有而且只有2个点，再按第（1）小题的做法，你发现此时各个多边形的面积S与四周各边上的点的个数X之间又有什么样的关系呢？这一关系式与第（1）小题的关系式有什么异同？试试看，提出你的看法。

（3）若画出的多边形，其内部都有而且只有3个点，又会怎么样呢？

点评：该题让学生对于格点图中各种各样的多边形进行观察、分析，探索多边形的面积与其四周各边上点的个数之间所存在的关系与规律，通过探索、猜想、类比、归纳等数学活动过程，认识其所隐含的一次函数与图象的平移的关系。这样的试题所体现的评价理念，就是新课程所倡导的：要考查学生的基本的数学知识与技能，而更重要的是要考查学生的自主探究问题、分析探索规律的数学能力。

三、新课程拒绝什么样的试题？

在试题的编制过程中，我们必须注意克服一些不利于新课程推进的问题，比如，客观性试题的设计的合理性、试题的难度配置以及试题新题型的有效性等各种问题，都值得我们进一步思考与研究。稍有不妥，就会出现一些有悖于新课程理念、有悖于“课标”基本思想的试题。

1.合理设计客观性试题。

客观性试题在数学学科的评价中有着一定的地位

和价值。它表面上看似乎很容易编制，但实际上，这类试题一直存在设计的合理性问题，比如，选择题的选项应如何配置，填空题的数学知识载体和难度应如何把握，等等。

例1下列说法或解法正确的个数有：

（1）用换元法解方程x2+x+1=2/x2+x设y=x2+x，则原方程可化为y+1=2/y;

（2）平分弦的半径垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧;

（3）平面直角坐标系内的点与实数一一对应;（4）“对顶角相等”的逆命题是真命题。

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

点评：这样的选择题，人为痕迹非常明显，几个命题所涉及的知识点无任何关系，硬性将其拼凑在一起，其本意可能是想加大知识的覆盖面，但无形之中增加了学生的负担，这是陈旧的教学观在作祟。

2.必须克服的繁偏问题。

随着数学课程改革的推进，数学教学和课程评价等各方面都已发生了巨大的变化。然而繁而偏的评价试題还是时有所见，究其原因，可能是命题技术层面上的问题，但归根结底还是一个观念上的问题

例2反比例函数的表达式为y=（m-1）xm2-2，则m=_______：

点评：这样的试题，将二次代数式与反比例函数强扭在一起，是一道典型的传统题型。表面上看似乎有利于综合考查反比例函数的概念，但这种形式显然是人为的、硬性拼凑的。这样的试题极其容易使数学教学丢掉函数的本质属性而舍本逐末，注重形式而忽视本质，使教学走向死记硬背和模式化的道路

例3已知：如图，矩形ABCD，AD=a，AB=b，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，点C落在C处，BC'交AD于E，sin∠ABE=3/5关于x的方程x2-8（b-1）x+4a2-48=0两实根差的平方小于128，求a、b都为整数时，反比例函数y=a+b/x的解析式。

点评：这道题是那种单纯追求综合性、人为拼凑的传统试题模式。将代数中的方程、函数，几何图形的性质，解直角三角形等等各种知识牵强附会地交叉叠合，似乎综合，实为压缩，无助于学生能力的提高，与数学的本质内涵相违背，更有悖于新课程理念。

3.试题新题型的有效性。

近几年来，数学课程评价中所涌现的新题型越来越为教师和学生所接受。但我们还必须对它们进行更为深入的研究和实践，并注意随之产生的新问题。

例4某基金在申购和赎回时，其费率分别按下表计算：

本基金的申购金额包括申购费用和净申购金额，其中：

申购费用=申购金额x申购费率

净申购金额=申购金额-申购费用

申购份额=净申购金额/申购当日基金单位资产净值

赎回费=赎回当日基金单位资产净值x赎回份额x赎回费率

赎回金额=赎回当日基金单位资产净值x赎回份额-赎回费

甲某于某日持申购金额10355.10元申购本基金，当日基金单位资产净值为1.0148;一段时间后，甲某在赎回本基金时，当日基金单位资产净值为1.0868。则甲某在此基金的申购和赎回过程中赚了______元。

点评：数学教学的确应该密切结合学生生活实际，结合现代社会实际，使学生的学习活动具有生气与活力，使学生感到数学就在他们的身边，有趣而又有用。但由于他们的认知水平与社会实践经验还十分缺乏，数学知识还处于一个较为基础的阶段，不可能让学生在一场考试中突然提高。该题是一道与当前社会的经济问题相关的应用性问题，但由于试题中出现了过多的经济学术语及其解释，对学生而言，实在不易理解，从而影响了学生数学能力的发挥。这提示我们，必须控制试题的难度，适当选择试题的载体，以提高开放性试题的有效性。

例5现规定一种运算：a*b=ab+a-b，其中a、b为实数，则a*b+（b-a）*b等于（备选项略）。

点评：该题是某些课外书中常见的类型，先规定一种运算，然后再进行一些相关的计算。其中的问题之一是公平性，这种试题有一定的模式，见过的与从未见过的学生就会产生较大的差距，会造成考试的不公平。若大量使用此类试题，必将对教学导向不利，教师可能会一味地通过扩充知识来求得高分，从而加重学习负担。现在实际上已经出现了这样的倾向，我们必须认真对待。另外，由于该题在规定新运算后，对于新运算与原来运算交杂在一起时没有约定优先运算的顺序，因而还是一道缺乏数学意义的题目。