第三届五四青年智力竞赛部分试题解答

本届智力竞赛，试题全部是智力题，不少试题有多种解法，但有的解法却巧妙而简捷。从这期起，本刊将公布部分试题解答。如有比本刊公布的解法更巧妙、更简捷的解法，欢迎把解法寄到编辑部来。对于本届竞赛这样命题，读者有什么看法，参加竞赛的青年有什么感受，都欢迎写信告诉我们。

第32题

题目:有一堆桃子和甲、乙两组猴子，甲组有3只猴子，乙组有5只猴子，它们都以为这堆桃子是自己的。当甲组猴子来到时，便把桃子均分为3堆，总是剩两个，它吃两个，拿一堆便走了。当乙组猴子到来时，便把桃子均分为5堆，总是剩下一个，它吃一个，拿一堆走了。这样，8只猴子都来过之后，至少还剩下多少个桃子，原有桃子至少有多少个?

猴子分桃问题是一个老题目，在世界上已流传六十多年了。这道题就是根据老题目改变过来的。

老题目是这样的:

五猴公有一堆桃。第一个猴子来了，动手把桃均分成五堆，正好剩一个。它把这一个吃掉，拿走了五堆中的一堆。

第二个猴子来了。它不知道刚才的情形，又把桃子均分成五堆，还是多了一个，它吃了这一个，拿一堆走了。

以后，每个猴子来一次，都如此办理。

问:原来至少有多少桃?最后至少剩多少?

此题解法多种多样。一个巧妙而简单的方法是:借给猴子们4个桃。这样，第一个猴子来到时，桃子虽然多了4个，但它并没有捞到便宜。因为桃子刚好可以均分成5堆。它分到的一堆，恰巧等于你没借给它们4个桃子时，它连吃带拿的数目。

这样，第二个猴子到来时，桃子还是比你没借给它们时多了4个，又正好均分成5堆。所以，第二个猴子所得，和原来一样。

第三、四、五个猴子来时，也是如此。

设原有桃x0个，借给它们4个之后是x0+4个，

来过之后，剩下桃子数目为

可见(x0+4)应当是55的整倍数。由于x0是正数，故x0十4至少是55=3125，故x0至少为3125—4=3121，而剩下的桃子至少是

改变后的题目解法也不止一个。最巧妙而简单的解法也是借给猴子们几个桃子，使每个猴子来时恰巧分净，并且每个猴子并不比没借给桃子时多得。设想借给它们4个桃子。这样，不管哪组猴子到来，都可以分净，而且每个猴子都不比原来多得。设原有桃x0

何，最后总是剩下

个桃子。故(x0+4)是5533的整倍数。x0至少应当是5533-4=84371。最后剩下的至少是4523-4=8188个桃子。

想到借桃给猴这一招并不容易。能不能老老实实地把题目做出来呢?这也是可以的。

设目前有x个桃子。甲组猴子来一次，x就被改造成f(x)，f(x)是x的函数，具体地:

如果不是甲组而是乙组猴子来了，x就变成了g(x)，g(x)是x的另一个函数:

设初始桃子数为x0，甲乙两组八个猴子都来一遍，相当于f和g在x0上连续共作用8次，其中f是三次，g是五次。关键是:最后的结果和f、g作用的先后顺序有没有关系呢?如果和顺序有关，题目就太复杂了。你应当猜到:与顺序无关，即f(g(x))=g(f(x))。验算一下:

果然f与g可交换——最后剩下桃子个数与猴子来到的顺序无关!不妨设甲组三个先来，乙组的五个后来，耐心地计算下列复合式

g5f3(x))=g〔g〔g〔g〔g〔〔f〔f〔f(x)〕〕〕〕〕〕〕这个复合式可以硬算，也可以巧算。巧算方法是把f(x)，g(x)改个形式:

你试试，用这种形式去算，很快可以算出

这就可以得出和刚才一样的结论。

井中

第33题

题目:有许多大小、形状都相同的长方形的砖:厚5厘米，宽10厘米，长20厘米。一个叠一个，使上面的砖向前伸出一点来，这样越叠越高，能伸出多长距离呢?

最后的答案是出人意料的:只要砖够多，理论上可以算出，要伸出多长，就能伸出多长。

应当从最简单的情形开始考虑。

先看看两块砖的情形，当然至多只能伸出半砖长，即伸出10厘米。

最上面的砖叫做第一块砖，它的重心记作G1G1正在第二块砖的右端上方，G1到第一块砖右端的水平距离记作a1，a1也就是第一块比第二块多伸出来的长度。a1=10厘米(如图)

想在上面再添砖是不行了，但是可以把第三块砖放在第二块的下面，设第一、第二两块砖的共同重心

这也是G2与G1的水平距离，记以a2即:a2=5(厘米)。

设上面几块砖的共同重心为Gn，记Gn+1与Gn的水平距离为an+1，我们看an+1至多是多大?

为了稳定，过Gn的铅垂线不能超出下面一块砖的底面，即:Gn与第n+1块砖的重心的水平距离不超过半砖长。这样，Gn正好和第n+1块砖右端在同一铅垂线上时，Gn+1与Gn的水平距离应当是半砖

设共有n+1块砖，则伸出的总距离为

这里R=〔1og2〕，因而2k≤n这说明，和数

井中