上期〔测测你的智力〕答案

1.当A、B距离小于固定半径的二倍时，解答出人意料地简单，只要画五个圆就能把所要的等边三角形第三个顶点F找出来。

方法如下:如图，以A、B为圆心作两圆交于C、C′，取C为圆心作圆分别交前两圆于四点，取下方的两点D、E为圆心作圆，所得的不同于C的交点F即为所求。

证明也并不难，设∠ACB=∠AC′B=θ，则根据“三角形内角和为180°”以及△ADC、△BEC为等边三角形的事实可知∠DCE=∠DFE=360°-120°-θ=240°-θ，故∠CDF=180°-(240°-θ)=θ-60°，故∠ADF=∠BEF=θ，因而△C′AB≌△DAF≌△EBF，故AF=BF=AB，证毕。

年逾七旬的匹多教授对图一的性质大为惊讶，这个图是匹多的一个学生没怎么动脑筋就画了出来的，画出来之后，他发现△ABF是正三角形，但不知道为什么，匹多教授花了几个小时，才找到了证明的方法，但是用的是坐标法，不是上面的简单证法。

匹多教授惊奇的是:在长达两千多年的几何学的发展史上，居然还没有人发现过这样一个精采的作图!

如果A、B离得很远，以A、B为圆心作的两个圆不相交，能不能完成这个作图呢?匹多把这个问题在加拿大的一个刊物《Crux》(《难题》)上提了出来，相当长时间找不到答案，不少人认为这是不可能作出的。最后，出乎匹多的意料之外，中国科技大学的三位数学工作者找到了这一难题的两种解法，这两种解法由我国访美学者常庚哲副教授写信告诉了匹多，匹多十分赞赏，在最近一篇题为《数学经验》的文章中说，这件事是他非常满意的数学经验，他还亲自撰文给《Crux》杂志，介绍中国学者关于这一问题的解法。

匹多还提出另一个问题:能否用生锈圆规作出AB的中点?这个问题至今尚未解决。

2.有不少同学用列方程的方法解这个题，但有一个十分简单的解法，由于重砝码下降和轻砝码上升的速度相同，加速度也相同，故此问题相当于问，一公斤的力能使5公斤的质量产生多大的加速度?根据牛顿第二定律F=ma，可知所求加速度是g，此处g是重力加速度，g=980厘米/秒2。

3.没有恢复原价。设甲商品原价100元，减价10%，变成90元，又提10%，成了99元。比原价低。

如果先提价10%，再减10%呢?100元提10%，变化110元，减10%，即减11元，仍是99元。

因为减价10%是原价乘以0.9，提价10%是原价乘以1.1，而0.9×1.1=0.99<1。

这个道理对研究生物的增长率很有关系。如果自然界的某种生物，死亡率和出生率相同，这种生物必然会越来越少，直至灭绝，要保持生物数量不变，出生率要略大于死亡率。

4.不可能使桌面上的四个瓶盖两两等距。如图一，若A、B、C三者距离相等，D又和A、B三者距离相等，那末，D的位置只有两种可能:或者和C重合，或者位于和C(关于AB)对称的位置，这时D到C的距离比到A、B的距离要远。

一般说来，平面上任意四点A、B、C、D之间，可以连6条线段，这6条线段中最长的和最短的长度之比，至少是，如果你学过平面几何，就不难证明这个规律。

(2)可以，方法如图二。A、B、C三个瓶子，瓶口向上，瓶底中心在一个正三角形的三个顶点上。而第四个瓶子D则倒立在这个正三角形的中心。

关键是这个正三角形的边长有多大?

以A′、B′、C′记A、B、C三瓶瓶底中心，A、B、C、D记瓶口中心，设瓶高为h，△A′B′C′的边长为x，则A′D是△A′B′C′的高线的2/3，即