换元突破一道二元最值强基题

摘 要：“换元”是高中数学解题中一种常用的思维方法，其核心是等量代换.在强基测试中，二元条件最值问题因其形式变化多、综合性强，能很好地考查学生的数学思维能力，一直备受强基命题者的青睐，而换元法则是求解这类问题的最为常用且有效的方法之一.

关键词：换元；突破；二元；最值

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2025）01-0052-03

收稿日期：2024-10-05

作者简介：王怡凡，本科，二级教师，从事数学教学研究.

下面从几个不同的“换元”视角来求解一道清华强基题，说明几种常见的换元法在解题中的应用.

1 试题呈现

题目 （清华大学2024年自强计划笔试第1题）已知x，ygt;0，（x+y+xy）（x+y-xy）=xy，求x+y+xy和x+y-xy的最小值.

3 结束语

以上对一道二元代数式的条件最值强基试题从五个不同的“换元”视角进行了求解，可以说换元法是求解这类问题的最有效方法.通过“换元”，可以将问题转化为新的形式，换一个角度来看待问题；通过“换元”，可以抓住“牛鼻子”，解决核心问题.相比于“消元”，“换元”更贴近实用操作，在数学解题中有很强的存在性，它几乎渗透在高中数学的各个章节中.当然，“换元”不是凭空产生的，而是通过洞察、分析试题的结构特征，然后抓住其特征进行“换元”.而且所有的“换元”思路其实都是基于两者：一是知识的储备，二是对试题几个特征的观察. 运用换元法解答问题要有利于简化计算，同时注意换元后要关注新“元”的取值范围，依据并结合原来“元”的取值范围来确定，一定要使新“元”的取值范围对应于原来“元”的取值范围，既不能缩小也不能扩大［1］.

参考文献：

［1］ 尹承利，范正和.换元法在求解二元最值问题中的应用［J］.理科考试研究，2019（01）：14-16.

［责任编辑：李慧娇］