浅析电磁感应综合问题的解题方法

摘 要：电磁感应综合问题不仅可以考查有关电磁感应的知识，还可以考查力学中的物理规律.因此，电磁感应综合问题综合性强、难度大.如何有效解答此类问题，是物理教学中的一个重要课题.

关键词：电磁感应；感应电流；感应电动势；电量；热能

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2025）01-0093-06

收稿日期：2024-10-05

作者简介：成金德，本科，中学高级教师，从事物理教学研究.

电磁感应综合问题不仅考查法拉第电磁感应定律、楞次定律和闭合电路的欧姆定律等电学知识，而且还考查力学中的牛顿运动定律、动能定理、动量定理、动量守恒定律和能量守恒定律等重要规律；不仅考查学生运用所学知识解决问题的能力，而且还考查学生的综合分析能力.如何顺利解答电磁感应综合问题，成为物理教学中的一个热门课题，本文就此问题做些粗浅的探讨.

1 解题五大要素

1.1 电路处理——三大主角搭台唱戏

主角1：在电磁感应电路中，由于穿过电路的磁通量发生变化，产生的感应电动势由法拉第电磁感应定律E=nΔΦΔt求出.

主角2：若是导体棒在磁场中做切割磁感线运动而产生感应电动势，则由法拉第电磁感应定律的推论E=BLv求出.

主角3：电路中的电流由闭合电路的欧姆定律I=ER+r求出.分析电路时，注意抓住产生感应电动势的这部分导体或电路即为等效电源，应用楞次定律或右手定则判定电路中的感应电动势的方向，并分清内、外电路，画出等效电路图.

1.2 求电量——三种方法协力助攻

方法1：由电流强度的定义式I=qt可得求电量的计算式q＝I·t.其中I为电路中的恒定电流，t为时间；若I不是恒定电流，则电量为q=I-·t，I-是在时间t内的平均值.

方法2：若某一回路的总电阻R保持不变，当穿过回路的磁通量发生变化，且回路中只有磁通量的变化为回路提供电动势，则有q=I-·Δt=E-R·Δt=n（ΔΦ/Δt）R·Δt=nΔΦR.

方法3：由电容器和导体棒构成回路，不计一切电阻，导体棒做切割磁感线运动时，电容器两端的电势差等于导体棒切割磁感线产生的感应电动势E＝BLv，则在Δt时间内电容器两端电势差的变化量为ΔU＝BLΔv，可见在Δt时间内通过导体棒的电量为Δq＝CBLΔv［1］.

1.3 求热能——三条途径广开贤路

途径1：如果电磁感应产生的电流是恒定电流，由焦耳定律Q=I2Rt可求出某个电阻产生的热能.

途径2：如果导体棒在磁场中做切割磁感线运动，且电路中只有纯电阻性用电器，则导体棒克服安培力所做的功，在数值上等于电路中所产生的电能，电能又通过电阻转化为热能，则所求的热能Q=W克服安培力.

途径3：从能量守恒和转化定律出发，在发生电磁感应的电路中，所产生的热能必定由其他形式的能量转化而来，即Q=ΔE其他形式的能量.

1.4 辅助工具——五大规律严阵以待

在分析做切割磁感线运动的导体棒或者导线框的受力以及运动情况后，如何选择合适的力学规律处理问题是解题的一个重要环节.1.4.1 牛顿第二定律的选用

如果题目中涉及加速度的问题时，那就必须选用牛顿第二定律求解.

1.4.2 动能定理的选用

在电磁感应现象中，安培力往往是变力，如果其他外力不做功或做的功可以求解，对于这样的问题往往可以用动能定理建立方程.1.4.3 动量定理的选用

导体棒或导线框在磁场中做非匀变速切割磁感线运动时，如果题目中涉及速度、电荷量、时间和位移等物理量时，应选用动量定理求解，其中q=I-·Δt，x=v-·Δt，t=∑Δt.

1.4.4 能量守恒定律的选用

在电磁感应的电路中，如果能量转化的情况比较清晰，而在问题中又需要求解某个变力的功（如电路中产生的热能），这样的问题就可以应用能量守恒定律求解.

1.4.5 动量守恒定律的选用

当两根导体棒在磁场中沿相互平行的光滑水平轨道做切割磁感线运动时，若这两根导体棒受到的安培力大小相等、方向相反，且两根导体棒不受其他外力或者所受其他外力的合力等于零，则两根导体棒的总动量守恒.因此，对于这样的问题可应用动量守恒定律求解.对于两根导体棒（或者一根导体棒与一根绝缘棒）在磁场中发生直接碰撞时，考虑到内力远大于外力，也可以应用动量守恒定律求解［2］.

1.5 解题步骤——五个程序顺势而为

1.5.1 抓“源”

紧紧抓住产生感应电动势的那部分电路或导体棒即为电路中的等效“电源”，电源的电动势由法拉第电磁感应定律E=nΔΦΔt或法拉第电磁感应定律的推论E=BLv确定，再由楞次定律或者右手定则确定感应电动势的方向.

1.5.2 找“路”

仔细分析电路的结构，弄清各个电阻的连接方式，画出等效电路图，求出总电阻，再由闭合电路的欧姆定律求出总电流.

1.5.3 析“力”

对导体棒或导线框受力分析，在涉及电磁感应的问题中，导体棒受到的安培力是所受力中的主角.

1.5.4 知“动”

在正确受力分析的基础上，由牛顿运动定律确定导体棒或导线框的运动状态，若

导体棒或导线框做匀变速直线运动，则可选用牛顿第二定律和匀变速运动规律解题；若导体棒或导线框做非匀变速运动，则考虑选用动量定理或动能定理解题.

1.5.5 观“能”

盯住那些做功的力，明确能量的转化方向，从而确定是用动能定理求解，还是用能量守恒定律求解.

2 集萃六种题型

2.1 单棒切割型

例1 如图1所示，两条相距为L、足够长的光滑平行金属导轨与水平面间的夹角为θ，其上端接有阻值为R的电阻，虚线PQ以下有磁感应强度为B、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场，现将一根质量为m，阻值也为R的金属棒从距离PQ上方x0处由静止释放，金属棒进入磁场后再运动一段距离d后开始匀速下滑，导轨电阻不计，重力加速度为g，求：

（1）金属棒刚进入磁场时，通过电阻R的电流大小；

（2）金属棒做匀速运动时的速度大小；

（3）金属棒从静止到刚开始匀速下滑的过程中，金属棒产生的热量;

（4）金属棒从静止到刚开始匀速下滑的过程中，通过金属棒的电量.

解析 （1）设金属棒刚进入磁场时的速度大小为v1，对棒应用动能定理得mgx0sinθ=12mv21，感应电动势为E1=BLv1，由闭合电路的欧姆定律得I1=E1R+R，解得I1=BL2gx0sinθ2R.

（2）设此时金属棒的速度为v2，通过金属棒的电流为I2，由平衡条件得 mgsinθ=BI2L，金属棒产生的感应电动势为E2=BLv2， 由闭合电路的欧姆定律得I2=E2R+R，则金属棒做匀速运动时的速度为v2=2mgRsinθB2L2.

（3）由能量守恒定律得mg（x0+d）sinθ=12mv22+Q，金属棒产生的热量为Q金=12Q ，解得Q金=12mg（x0+d）sinθ-m3g2R2sin2θB4L4.

（4）通过金属棒的电量为

q=I-·Δt=E-R+R·Δt=（ΔΦ/Δt）2R·Δt=ΔΦ2R=BLd2R.

点评 求解单棒切割型的问题时，要紧紧抓住“单棒”——等效电源这个核心，再结合法拉第电磁感应定律、闭合电路的欧姆定律和动力学规律，就可以求出相关的物理量.

2.2 转动切割型

例2 如图2所示，水平面内固定一半径为r=0.5 m的金属圆环，长度为r、电阻不计的金属杆a沿半径放置，一端与圆环接触良好，另一端与过圆心的固定导电竖直转轴OO′连，并随轴以角速度ω=2 rad/s匀速转动，环内的匀强磁场为B1=1 T，方向竖直向下，圆环边缘和转轴分别通过电刷与水平导轨AB、CD良好接触，在B、D端分别连接有与水平面成30°角的两倾斜导轨MN、EF，在NF间连接一个阻值为R=0.5 Ω的电阻，在倾斜导轨上平行于底边放置一金属棒b，其质量为m=0.2 kg，电阻也为R=0.5 Ω，其距离NF为L1=5.4 m.水平轨道部分有一开关S，倾斜导轨部分存在一垂直于斜面向下的匀强磁场B2，（B2未知），导轨间距均为L=

0.5 m，（除题中电阻外其他电阻均不计，不计一切摩擦，g取10 m/s2）.

（1）开关S闭合，b棒恰能静止在斜面上，求B2的大小；

（2）若B2=4 T，断开开关，b棒由静止开始下滑，已知从静止加速到最大速度的过程中通过b棒的电量为q=0.8 C，求：

①棒b在下滑过程中达到最大速度时所发生的位移x；

②棒b从静止开始运动到NF底边所需的时间t.

解析 （1）金属杆a产生的感应电动势为

E1=B1rv-=12B1r2ω ，感应电流为I=E1R/2=2E1R，对金属棒b由平衡条件得mgsin30°=B2·12I·L ，解以上方程得B2=4 T.

（2）①设金属棒b的位移为x，金属棒b产生的平均感应电动势为E-=ΔΦΔt=B2LxΔt，感应电流的平均值为I-=E-2R，通过b棒的电量为q=I-·Δt=0.8 C，解得x=0.4 m.

②金属棒b速度达到最大时，由平衡条件得

mgsin30°=B2I2L，此时电路中的感应电流为I2=B2Lvm2R，此过程应用动量定理得mgsin30°t1-

B2I2L t1=mvm，电量q= I2t1，解得t1=1.6 s.

接着，金属棒b沿倾斜导轨做匀速直线运动，即

L1-x=vmt2，解得t2=20 s.可见，金属棒b从静止开始运动到NF底边所需的时间为t= t1+ t2=21.65 s.

点评 对于导体棒在匀强磁场中做匀速转动切割磁感线时，产生的感应电动势可运用E=BLv-求解，其中v-是导体棒两个端点的速度的平均值.

2.3 双棒切割型

例3 如图3所示，足够长的固定光滑平行金属导轨abcde-a′b′c′d′e′，其中abc-a′b′c′部分间距为d1=0.2 m，de-d′e′部分间距为d2=0.1 m，bcde-b′c′d′e′部分水平且所在的空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B=0.4 T，ab-a′b′部分倾角为θ=30°.质量为m=0.01 kg、长度为d2=0.1 m、阻值为R2=0.1 Ω的导体棒N静置在导轨的de-d′e′部分上.另一质量也为m=0.01 kg、长度为d1=0.2 m，阻值为R1=0.4 Ω

的导体棒M从导轨的ab-a′b′部分由静止释放，经过时间t=1.0 s，导体棒M恰好运动到bb′进入水平轨道部分，重力加速度g取10 m/s2，导体棒M经过bb′时损失的机械能忽略不计，两导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻忽略不计.从导体棒M由静止释放到两导体棒运动状态达到稳定的过程中（导体棒M没有运动到cc′处），求：

（1）导体棒N加速度的最大值；

（2）稳定时导体棒M和N的速度大小；

（3）导体棒N中产生的焦耳热.

解析 （1）对导体棒M，由牛顿第二定律得mgsinθ=ma1，由速度公式得v0=a1t，解得v0=

5 m/s.导体棒M产生的感应电动势为E1=Bd1v0，由闭合电路的欧姆定律得I1=E1R1+R2.对导体棒N应用牛顿第二定律得F安=BI1d2=ma2，解得a2=3.2 m/s2.

（2）当电路中的电流为零时，两导体棒分别以v1、v2的速度做匀速运动，即达到稳定状态，此时Bd1v1=Bd2v2，对导体棒M应用动量定理

-BId1t=mv1-mv0；对导体棒N应用动量定理BId2t=mv2-0.联立解得v1=1 m/s，v2=2 m/s.

（3）由能量守恒定律得12mv20=12mv21+12mv22+Q，导体棒N中产生的焦耳热为QN=R2R1+R2·Q=0.02 J.

点评 求解双棒问题，除了应用E=BLv求感应电动势外，还要弄清楚两棒之间所受安培力的关系，若安培力不相等（如本题），则两棒总动量不守恒，要求速度只能应用动量定理；若两棒所受安培力相等，要求速度就可以应用动量守恒定律；若某棒受到外力的作用，则肯定不能应用动量守恒定律求速度.

2.4 线框切割型

例4 生活中常见的减速带是通过使路面稍微拱起从而达到使车减速的目的.其实也可以通过在汽车底部安装线圈，通过磁场对线圈的安培力来实现对汽车减速的目的.现用单匝边长为L的正方形线圈代替汽车来模拟真实情境.如图4所示，倾角为θ的光滑斜面上平行等间距分布着很多个条形匀强磁场区域，方向垂直斜面向下，磁感应强度大小为B，条形磁场区域的宽度及相邻条形无磁场区域的宽度均为L；线圈的质量为m，电阻为R，线圈ab边与磁场边界平行，线圈ab边刚进入第一个有磁场区时的速度大小为5v1（v1未知）；线圈ab边刚进入第七个有磁场区时，开始做匀速运动，速度大小为v1；重力加速度g.

（1）线圈匀速运动时速度v1为多大；

（2）从线圈ab边刚进入第一个有磁场区到线圈ab边刚进入第七个有磁场区的过程中，线圈产生的焦耳热Q；

（3）线圈ab边刚进入第一个有磁场区到线圈ab边刚进入第七个有磁场区的过程所用的时间t.

解析 （1）ab边刚进入第七个有磁场区时，ab边产生的感应电动势为E=BLv1，线圈中的电流为I=BLv1R，由平衡条件得mgsinθ=BIL，解得v1=mgRsinθB2L2.

（2）线圈ab边从刚进入第一个有磁场区到线圈ab边刚进入第七个有磁场区的过程中，重力做功为WG=12mgLsinθ，对此过程应用动能定理得WG-Q=12mv21-12m（5v1）2 ，

解得Q=12mgsinθ（L+m2R2gsinθB4L4）.

（3）应用动量定理得mgtsinθ-I安= mv1-5mv1 ，线圈进入一个有磁场区的过程中，安培力产生的冲量为I′安=BI-L·Δt，而平均电流为I-=BLv-R，由于v-·Δt=L，解得I′安=B2L3R.

线圈ab边刚进入第一个有磁场区到线圈ab边刚进入第七个有磁场区的过程中，安培力的冲量为I安=12B2L3R，解以上各式得t=12B2L3mgRsinθ-4mRB2L2.

点评 导体线框在磁场中运动的问题，本质上与导体棒在磁场中做切割磁感线运动问题没有区别，求解时要注意弄清是哪部分导体做切割磁感线运动，这部分导体就是等效“电源”，再结合相关物理规律建立方程即可.

2.5 磁场变化型

例5 如图5（a）所示，足够长倾斜导轨间距L=1 m、倾角θ=37°，导轨顶端连接一个定值电阻R=

1 Ω.左侧有一个磁感应强度为B、面积为S=

0.6 m2的圆形磁场区域，磁场方向垂直于斜面向下，大小随时间变化如图5（b）所示，右侧存在着方向垂直于斜面向下的恒定磁场B1=1 T，一根长为L=1 m，电阻r=1 Ω的金属棒ab与导轨垂直放置.t=0至t=1 s，金属棒ab恰好能静止在右侧的导轨上，之后金属棒ab开始沿导轨下滑，经过一段时间后匀速下滑，已知导轨光滑，取g=10 m/s2，不计导轨电阻与其他阻力.求：

（1）t=0至t=1 s内流过电阻的电流和金属棒ab的质量；

（2）金属棒ab匀速时的速度大小.

解析 （1）在t=0至t=1 s内，回路中的感应电动势为E=ΔΦΔt=ΔB·SΔt=0.6 V，由闭合电路欧姆定律求得通过电阻的电流为I=ER+r=0.3 A，当金属棒ab处于静止状态时，由平衡条件得mgsinθ=B1IL，解得m=

0.05 kg.

（2）当金属棒ab匀速运动时，金属棒产生的感应电动势为E1=B1Lv ，电路中的电流为I1=E1R+r，由平衡条件得mgsinθ=B1I1L，解得v=0.6 m/s.

点评 当穿过回路的磁通量（如磁感应强度变化）发生变化时，必须用法拉第电磁感应定律求感应电动势，且要注意弄清等效电源和电路结构，再应用相应的物理规律就可以解决相应的问题了.

2.6 含电容器型

例6 如图6（a）所示，相距L＝1 m的两根足够长的光滑平行金属导轨倾斜放置，与水平面夹角θ＝37°，导轨电阻不计.质量m＝1 kg、接入电路电阻为r＝0.5 Ω的导体棒ab垂直于导轨放置，导轨的PM两端接在外电路上，定值电阻阻值R＝1.5 Ω，电容器的电容C＝0.5 F，电容器的耐压值足够大，导轨所在平面内有垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场.在开关S1闭合、S2断开的状态下将导体棒ab由静止释放，导体棒的v-t图像如图6（b）所示，重力加速度g＝10 m/s2.

（1）求磁场的磁感应强度大小B；

（2）在开关S1闭合、S2断开的状态下，当导体棒下滑的距离x＝5 m时，定值电阻产生的焦耳热为21 J，此时导体棒的速度与加速度分别是多大？

（3）现将开关S1断开、S2闭合的状态下，由静止释放导体棒，求经过t＝2 s时导体棒的速度大小.

解析 （1）从图6（b）中可知，导体棒的最大速度为vm＝3 m/s.此时，导体棒产生的感应电动势为E＝BLvm，由闭合电路的欧姆定律得I=ER+r，由平衡条件得BIL＝mgsinθ，解得B=mg（R+r）sinθL2vm=2 T.

（2）在导体棒下滑距离x＝5 m的过程，应用能量守恒定律得mgxsinθ=12mv21+Q.由于通过导体棒和定值电阻的电流大小相等，则它们产生的焦耳热关系为Qab∶QR＝1∶3，即导体棒产生的焦耳热为Qab=13QQ=7 J，则电路中产生的焦耳热有Q=Qab+QR，解得v1＝2 m/s.此时导体棒产生的感应电动势为E1＝BLv1，由闭合电路的欧姆定律得I1=E1R+r，对导体棒应用牛顿第二定律得mgsin θ-BI1L＝ma1，解得a1＝2 m/s2.

（3）在某时刻对导体棒应用牛顿第二定律得mgsin θ-BI2L＝ma2，设经过Δt时间，电容器增加的电量为Δq，则电路中的感应电流为I2=ΔqΔt. 对电容器有Δq＝CΔU ，在Δt时间内，电容器两端电势差的变化量为ΔU＝ΔE＝BLΔv.由加速度定义式得a=ΔvΔt，解得a2＝2 m/s2.可见，导体棒ab下滑过程中做匀加速直线运动，则t＝2 s时导体棒的速度大小为v2＝a2t＝4 m/s.

点评 处理涉及电容器问题时，要注意熟练应用电容的定义式C=ΔQΔU和电路中电流强度的计算式I=ΔqΔt，并注意电容器两端的电势差与导体棒切割磁感线运动产生的感应电动势之间的关系.

3 结束语

在解答有关电磁感应的综合问题时，要努力掌握解题的五大要素，熟悉相关的知识；要熟练掌握六种基本题型的解题方法，领会其中的奥秘.这样，才能思路顺畅，方法得当，水到渠成.

参考文献：［1］ 成金德.法拉第电磁感应定律的理解和应用［J］.中学生理科应试，2024（5-6）：70-72.

［2］ 成金德.力学规律在电磁感应中的应用［J］.数理化学习，2020（7）：51-56.

［责任编辑：李 璟］