概念教学中培养高中生数学抽象素养的策略

摘"要：数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中。数学抽象素养是数学核心素养的重要组成部分，对于学生的个人成长和发展具有重要作用。数学概念是根植于数学研究对象本质属性的思维产物，是整个数学知识体系中占比最大、最为重要的一部分，因此做好数学概念的教学是十分重要的。本文以高中数学人教A版教材为例，通过具体的实例说明了概念教学中培养抽象素养创设教学情景、建立知识框架、增强自主学习的三种策略。这些策略旨在帮助学生更好地理解和运用数学概念，提升他们的数学抽象思维能力和解决问题的能力。

关键词：数学抽象素养；概念教学；策略

1"概述

随着教育改革的不断深化，数学教育的重要性日益凸显。在高中数学六大核心素养中，数学抽象素养位居首位，它是学生运用数学视角和思维观察、解读世界的基石。数学概念作为数学知识体系的基础，是学生学习数学、理解数学本质的起点。数学概念教学的质量直接关系到学生对数学问题的深层次理解和对数学基本思想的领悟。因此，数学概念教学不仅传授知识，更是培养学生数学抽象素养的重要途径。

2"数学抽象素养与概念教学

2.1"数学抽象素养

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》针对抽象素养提出了具体概念：数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养［1］。主要涉及以下方面：通过对数量及其相互关系、图形及其间关系的抽象，提炼出数学概念及其相互联系；从具体事物的背景中提取出普遍的规律和结构，并采用数学语言进行描述。

史宁中教授指出数学抽象能力的核心是舍弃非本质属性，把握数学对象的本质属性［2］。从中我们可以看出抽象在数学中起着至关重要的作用，通过舍弃非本质属性，我们能够更加深入地理解数学对象的本质，进而发现新的规律和解决新的问题。在数学教学过程中，要从数学抽象素养的核心要素出发培养学生的抽象思维、逻辑推理、符号化处理、创新联想以及应用实践能力。

2.2"数学概念教学

数学概念作为数学思维的基础构件，是我们对客观世界中数量关系、空间形式的深入洞察与高度抽象的产物。数学概念教学的核心不仅在于传授知识，更在于引导学生理解概念的起源、发展和演变。学生通过教学应能准确把握概念的内涵和外延，理解概念间的逻辑关系，从而构建出一个完整、系统的概念体系。

在实施数学概念教学时，教师应采用灵活多样的教学方法、生动的实例和形象的比喻，可以帮助学生形成对概念的初步感知。通过引导学生进行深入的思考和讨论，可以进一步加深他们对概念的理解。在教学过程中教师应创设适当的情境，设计具有挑战性的问题，鼓励学生在探索中发现问题、在问题中找寻规律、在规律中提炼概念［3］。

3"数学概念教学中培养抽象素养的方法

3.1"创设教学情境，感受数学抽象过程

史宁中教授提出“研究数学的本质，即对一些抽象的事物进行理解，以简单驾驭复杂，最终可以将这些抽象的思想方法应用于实际问题之中［2］”。在现实世界中发现问题、提出问题，并利用已有知识尝试解决问题，在解决问题的过程中总结升华。下面以指数函数的概念为例，说明创设教学情景在抽象、总结出数学概念教学中的重要作用。

《指数函数的概念》是新教材人教A版普通高中课程标准教科书必修第一册第四章的知识，从内容上看它是学生学习了一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数以及函数性质基础上，通过对实际问题的探究建立起的一个新的函数模型。要引入指数函数的概念，教师可以设计具体的案例从而帮助学生抽象出函数的概念，从而画出函数图像，探究函数性质。案例1：纸张对折实验。拿出提前准备好的纸张探究能否对折9次以上，体会在对折过程中，对折次数和纸张页数的关系，总结两者之间的函数关系式，感受指数函数来源于生活并且对指数函数有一个大概的认识。案例2：在《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”利用折中对半模型，通过计算观察第一次、第二次、第三次尺子剩余的长度，总结出另外一个指数函数关系式。通过上述两个案例，师生共同归纳出指数函数的概念：将形式为y=ax（a＞0且a≠1）的函数定义为指数函数，其中x表示自变量，定义域为全体实数。并且学生也能够更加全面地探究指数函数增减性的关系，为后续学习打下基础。

3.2"建立知识框架，设计完整知识单元

在进行教学设计时应该统观整个高中数学的知识体系，构建知识框架，将前后知识内容进行有效的联系，使新旧知识能够在一定的范围内进行有效的转换，体会数学知识系统呈现出的是一种螺旋式的结构。以函数思想与数列的结合为例，建立知识框架，将其与其他数学知识相结合，从而增加学生的学习与解题效率。

我们熟悉的等差、等比数列是一类自变量不连续的特殊函数，与函数思想是密切相关的。而当今的数列问题中，比如一些数学竞赛、高考题目，将数列知识和函数思想结合起来的题目也越来越多。针对某些情况下不能用简单的数列知识直接解决的数列问题，我们可以尝试利用函数的相关知识来解决。可利用函数解析式、图像、单调性等性质解决数列相关题目。

例1：数列an的前n项和是Sn=23n2+12n+3，求an。

分析：该题目没有明确说明此数列是哪一类数列，因此不能直接求解。我们可以观察题目，其给出了数列an的前n项和公式，因此我们猜想可以运用递推关系式an=Sn－Sn－1来求解此题，但应注意等式成立的条件是当n≥2时，需要验证n=1时是否满足，用到了分段函数思想。

解：当n=1时，a1=S1=23+12+3=256，当n≥2时，有an=Sn-Sn-1=23n2+12n+3-23（n-1）2+12（n-1）+3=43n-16。

验证：当n=1时，不满足上式，所以an=256，n=143n-16，n＞1。

注意：当我们运用递推关系式an=Sn－Sn－1求解数列通项公式的问题时，应注意n的范围。若当n=1时不满足所求公式，此时应该想到用分段函数的思想去解答。

例2：等差数列an，设它的前n项和为Sn，如果有Sk－1=－2，Sk=0，Sk+1=3，则k等于多少？

分析：此类问题可以由数列的常规解法求解出d，进而通过列方程求出k，显然采用这样的方式能够求解此问题，但求解过程较为复杂，很容易出现计算错误。如果我们利用函数思想，借助函数图像，由Snn=a1+n－12d=d2n+a1－d2，容易知道数列Snn为n的一次函数，由函数的图像直观可得点Ann，Snn共线，使问题简单明了，较常规解法更易快速且准确地得到答案。

解：因为an为等差数列，则Snn=a1+n－12d=d2n+a1－d2为n的一次函数，在几何画板中构造出此函数图像，如图1所示：

由图可见，点A1，A2，A3共线，即A1k－1，－2k－1，A2k，0k，A3k+1，3k+1三点共线，则有－2k－1－0（k－1）－k=3k+1－0（k+1）－k。

解得k=5。

例3：存在数列an，它的通项公式为an=83×18n－3×14n+12n（其中n∈N），且该数列中最大项为ap，则p等于多少？

分析：因为它不与等差数列的通项公式、等比数列的通项公式直接联系，而且它的格式也比较新颖，因此，学生很难入手。如果代入用数字来计算，计算量很大。但是，如果我们深入研究上式指数式的底数之间的关系，把它们转化为同底的量，然后把相应的函数写出来，再进行求导，就可以得出这个函数的单调性。

解：将数列an的通项公式化归到同底的形式：

an=83×123n－3×122n+12n

此时我们可以认为该数列对应的函数为：

fx=83x3－3x2+xx∈0，12

再求其导数：

f′x=8x2－6x+1=8x－12x－14

则可得该函数在0，14上单调递增，在14，12上单调递减。

故有x=14为其极大值点，即n=2时，该数列取得最大值，所以有p=2。

3.3"增强学习自主性，培养抽象概括能力

随着教育理念的进步，学生的学习方式也正经历着深刻的变革。传统的“填鸭式”教学已逐渐被淘汰，取而代之的是以学生为中心的自主学习模式。这种转变不仅体现在教学方法上，更体现在学生的学习态度和思维方式上。数学学科的特点在于其概念的抽象性和理论知识的丰富性，这使得学生在学习过程中往往感到困难重重，难以提起兴趣，然而这并不意味着数学是一门枯燥无味的学科，相反，数学中蕴含着无尽的奥秘和美感，只待有心人去发掘。因此，教师在教学过程中应该注重引导学生发现数学中的乐趣，激发他们的学习兴趣。

以《椭圆的标准方程》为例，可以将“椭圆”的定义划分成四种不同的形式并举例说明，让同学们对其有一个明确的认识，进而对椭圆的标准方程进行抽象总结，建立起几何和代数之间的关系。

椭圆的第一种定义为距离之和，即平面内与两个定点F1，F2（焦点）的距离之和等于常数2a（2a＞|F1F2|，长轴的长度）的点的轨迹叫作椭圆。教师可基于这一定义，提出如下问题：在平面直角坐标系中，对于图2所示的椭圆，应该如何建立它的标准方程？

对于这个问题，设点A的坐标为（x，y），椭圆的焦距为2c，两焦点坐标为F1（－c，0），F2（c，0），距离之和（即F1A+F2A）为2a（a为长轴的一半），可以推导出b=a2－c2（b为短轴的一半）。根据定义，我们可以得到椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）（焦点在x轴上）。

椭圆的第二种定义是指平面内到定点F与到定直线距离d之比为常数e（0＜e＜1）的点的轨迹，e为椭圆的离心率。用数学语言表示为|MF|d=e（0＜e＜1）。其中定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线。在此基础上，通过引入相应的例子，借助“几何画板”等数学工具，使其对这一定义有一个更直观的理解。

椭圆的第三种是“截面定义”。截面定义是指用不过圆锥的顶点且与圆锥轴线的交角大于圆锥半顶角的平面截圆锥得到的截线为椭圆。根据这一定义，教师通过展示圆锥曲线与平面各个角度的截面图，不仅可以帮助学生加深对椭圆定义的理解，还能直观观察出高中课程中椭圆、抛物线、双曲线这三种圆锥曲线的区别与联系，从而探究圆锥曲线的本质。

椭圆的第四种定义是“压缩定义”。压缩定义指出椭圆是圆沿着任意直径方向均匀压缩所形成的曲线［4］。这一定义将椭圆与圆联系了起来，在后续性质的学习过程中，教师可以引导学生将椭圆的性质与圆的性质相联系，通过类比推理得出椭圆性质。

这四个定义构成了《椭圆的标准方程》大单元的中心部分，分别从代数和几何两个角度对椭圆进行了概念的提炼，为整个课程的学习奠定了一个明确的框架。在今后的学习中，学生可以从这四个定义出发，具体问题具体分析，以此来了解椭圆的实质，进而改善其教学效果，并加深对概念的认识。

结语

本文通过详细阐述数学概念教学策略，并结合具体案例，清晰地展现了数学抽象素养在概念教学中的实际应用与效果。在新课标的指引下，我们认识到，数学教学不仅是知识的传授，更是思维能力的培养。教师在课堂上的角色也应从单纯的知识传授者转变为学生思维发展的引导者和促进者。教师通过引导学生进行丰富的互动与交流，激发学生的积极性，使他们在参与中感悟数学的魅力，提升抽象思维能力，进而培养全面的数学学科核心素养。综上所述，数学抽象素养的培养是数学概念教学的核心任务之一，也是提高学生整体数学素养和解决实际问题能力的关键所在。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］史宁中.《义务教育数学课程标准（2022年版）》的修订与核心素养［J］.教师教育学报，2022，9（03）：9296.

［3］段会敏.基于数学抽象素养培养的高中数学概念教学策略研究［D］.武汉：华中师范大学，2023.

［4］王晗.新课标背景下高中数学大单元教学设计：以“椭圆的标准方程”教学为例［J］.数学大世界：下旬，2023（02）：35.

基金项目：延安大学研究生教学改革研究项目（YSZ"202213）

作者简介：倪新元（2001—"），女，汉族，陕西咸阳人，硕士研究生，研究方向：数学学科教学；段雨欣（2000—"），女，汉族，山西运城人，硕士研究生，研究方向：学科教学（数学）。

*通信作者：王小霞（1978—"），女，汉族，陕西商洛人，副教授，硕士生导师，主要从事模糊拓扑和数学教育理论研究。