基于模型预测控制的水浴锅温度控制策略

摘 要 针对水浴锅加热具有的复杂时间特性、控制物料温度难度大、部分物料达到稳定温度需要较长时间的问题，提出基于物理模型的模型预测控制策略，首先建立系统模型，考虑系统的加热功率，通过加权操作调整输出功率，动态控制系统；然后通过监测物料温度与设定温度的偏差，调整加热管功率的增量，迅速改变加热功率，从而缩短达到设定温度所需的时间。仿真结果显示：该策略能够有效跟踪设定温度，提升水浴锅加热效率，降低能源消耗，增强加热过程的稳定性和可控性。

关键词 模型预测控制策略 水浴锅 物理模型 约束处理 温度控制 加权 加热管功率

中图分类号 TP273"" 文献标志码 A"" 文章编号 1000 3932（2025）01 0010 07

水浴锅广泛应用于化学、生物、医药等相关实验和生产工艺，工作原理是通过加热水提供恒温环境，执行加热、恒温反应、样品处理等。在化学实验室中，水浴锅常用于进行化学反应、溶解、加热微量试样等，以确保反应的可控性和稳定性，对于合成、催化、萃取等研究至关重要。在药物研发和制药生产过程中，水浴锅也被广泛应用于溶解、混合、浓缩、蒸发等工序，以保证药物制备过程的安全性和有效性。

温控领域学者们提出了多种控制策略，文献［1］采用PID策略控制密炼机的加热过程，方法简单易实现、适用范围广且稳定性好，但存在对系统动态特性要求较高、需手动调整参数的缺点；文献［2］采用变论域模糊控制方法控制西瓜温室监测系统，能够处理非线性系统，具有较强的鲁棒性，但是存在模糊规则设计困难、控制器参数调整复杂等问题；文献［3］采用反向传播神经网络PID控制策略控制高功率微波炉温度，神经网络控制算法能够逼近任意非线性函数，学习能力强，但训练时间长、数据需求量大；文献［4］将遗传算法进行改进，应用于锅炉温度控制领域，算法具有全局搜索能力强、适用于多变量非线性系统的优点，但收敛速度慢、计算量大；文献［5］将自适应控制应用于高压釜温度控制中，自适应控制策略对系统参数变化具有较好的适应性且稳定性好，但对系统模型精度要求高、参数收敛速度慢。

目前，水浴锅加热过程的温度控制仍然广泛采用传统PID控制方法，随着操作条件和负荷的变化，PID参数需要重新整定，否则控制效率将会降低，而且传统PID技术无法充分考虑材料温度、加热功率等变量约束问题。因此，设计一种能够更多考虑变量约束的优化控制方法解决水浴锅加热过程的约束处理问题具有重要意义。模型预测控制（MPC）是一种有效的解决方案，能够周期性地解决当前时间范围内的优化问题，考虑约束条件，并以此来控制系统，从而提高控制效率和性能。MPC是一种滚动优化控制策略，通过周期性地解决当前时间范围内的性能指标优化问题实现控制。MPC的基本思想是利用当前时刻系统的状态和约束条件，对未来一段时间的状态、输入变量进行预测，并求解出一组最优控制输入序列，随后选取最优控制序列中的第1组结果，应用于系统，在下一个时刻，重复同样的操作，得到最新的最优控制序列，直到系统达到期望状态。这使得其在处理加热功率存在约束的温度控制问题时具有传统PID控制技术所不具备的优势。常用于模型预测控制的模型主要有过程机理模型和非参数化输入输出模型。非参数化输入输出模型是通过周期性测量系统对阶跃输入的响应值来获取参数的，从而建立动态矩阵模型。在线性系统中，可以利用叠加定理来使用单个模型较好地描述整个系统。然而，在非线性系统中，叠加定理不适用。基于水浴锅加热特性以及模型预测控制对约束问题的优势，笔者提出一种适用于水浴锅加热过程的基于物理建模的模型预测控制策略。

1 系统建模

水浴锅的加热模型为：

c ρv=W+cρv（T-T）+U（T-T）+U（T-T）

W=Ku（1）

式中 c——水的比热容，J/（kg·m3）；

K——系统增益常数；

T——外锅中的最终水温，℃；

T——流入电热管水的温度，℃；

T——铝锅的表面温度，℃；

T——环境温度，℃；

u——系统的输入功率，W；

U——铝的热导率，W/℃；

U——空气的热导率，W/℃；

v——水的体积，m3；

W——电热管产生的热量，W；

ρ——水的密度，kg/m3。

对式（1）进行Laplace变换：

c ρv［sT（s）-T］=Ku（s）+c ρv［T（s）-T（s）］+U·

［T（s）-T（s）］+U［T（s）-T（s）］（2）

式中 s——Laplace变换的复数频率变量；

T——T在系统运行时间t=0时水的温度，℃；

u（s）——控制输入在Laplace变换域中的表示。

设T=T=T，则有：

c ρv［sT（s）-T］=Ku（s）+（c ρv+U+U）·

［T（s）-T（s）］（3）

求解T：

T=au（s）+bT（s）+cT（4）

U=U+U

a=

b=

c=

引入时间延迟，则有：

T（t）=T（t-τ）（5）

其中，τ是时间常数，表示系统响应的延迟特性。

对式（5）进行Laplace变换：

T（s）=Te（6）

其中，K为系统的热传递系数；W为系统传递路径的热阻。

将式（4）代入式（6）中变换为：

"" =e（7）

设α=，β=，ε=，可得传递函数H（s）：

H（s）=e（8）

根据热力学公式在Simulink中对水浴锅模型物理建模如图1所示，温度输入从Oil storage tank的A端进入，从T端进行温度测量。

加热管的能量守恒方程为：

V=Q++（9）

其中，V为管道流体体积；ρ为管内液体密度；u′为内部能量密度；t为时间；Q是通过管道内壁的热流率；和是通过A端、B端进入管道的总能量流率。

管道内壁热流率计算式为：

Q=Q+（T-T）（10）

Q=||·c（11）

其中，Q是净热流率；Q是在非零流速下归因于对流的热流率的一部分；k是管内热液的导热系数；S是管壁的表面积，即管道周长与管道长度的乘积；D是管道直径；T是管壁温度；T为管内液体的温度；为从端口A到端口B的平均流量；c为在平均温度下计算的比热容。

2 MPC控制器设计

MPC是一种基于模型的控制技术，使用过程模型，通过最小化成本函数来优化控制向量，而不违反输入或输出约束，其基本结构如图2所示。

优化器是一种数学函数，在约束下通过最小化成本函数来优化控制信号。在系统模型中呈现温度方面的输出或过去的输入以获得预测输出。预测输出和参考值间的差异以误差形式发送到优化器，优化未来输入，并且该过程保持连续。

MPC控制中的滚动优化如图3所示，系统从k时刻开始，初始状态x［k］，滚动优化控制会通过求解预测区间的最优化问题（令N=5时性能指标最小）计算出最优控制序列u［k|k］，u［k+1|k］，

u［k+2|k］，u［k+3|k］，u［k+4|k］。同时，根据系统模型预测出系统在这样的控制序列下状态值的变化

x［k+1|k］，x［k+2|k］，x［k+3|k］，x［k+4|k］，x［k+5|k］。在完成控制量的计算和模型预测后，只对系统施加u［k|k］，而舍去其余控制序列。

在k+1时刻，系统将重复k时刻的操作，如图4所示。此时的系统状态在u［k|k］的作用下达到了

x［k+1］，x［k+1］将作为k+1时刻的初始状态。预测区间将向前移动一个离散步长，计算出最优控制序列u［k+1|k+1］，u［k+2|k+1］，u［k+3|k+1］，

u［k+4|k+1］，u［k+5|k+1］，并预测系统在这样的控制序列下状态值的变化x［k+2|k+1］，x［k+3|k+1］，x［k+4|k+1］，x［k+5|k+1］，x［k+6|k+1］。同样，在k+1时刻只对系统施加u［k+1|k+1］这一项输入。重复操作，预测控制随着时间的前进不断反复在线运行，在每一个新时刻都需计算与分析预测区间内发生的情况。在每一次优化开始时，系统状态变量会作为初始条件用于系统模型预测。

3 模型预测控制算法

MPC是一种先进的控制策略，它利用系统的动态模型进行预测，并据此制定系统最优的控制，以达到所需性能指标。目前，MPC已在各领域广泛应用，文献［6］在混合气动电动执行器系统中应用了MPC，通过预测和优化控制电动执行器，实现了对执行器位置和速度的精确控制；文献［7］利用MPC优化了能量管理，从而改善了混合动力电动车的燃油效率和性能；文献［8］提出一种非线性MPC方法，用于控制气流，以确保充足的氧气供应，研究结果表明MPC方法的性能优于所对比方法。

MPC算法的主要目标是获得最优的控制变量，以最小化与系统性能指标相关的成本函数。MPC利用过程内环动态模型、历史数据和预测区间内的最优方程来计算最优控制变量。相比于传统PID控制，MPC能够同时考虑输入、输出和状态变量的约束。

3.1 系统模型

系统模型描述如下：

x（k+1）=Ax（k）+Bu（k）

y（k）=Cx（k）（12）

其中，x（k+1）为系统在第k+1时刻的状态向量；A为系统的状态转移矩阵；x（k）为系统在第k时刻的状态向量；B为输入矩阵；u（k）为系统在第k时刻的输入向量；y（k）为系统在第k时刻的输出向量；C为输出矩阵。

经变换可得增广状态空间模型：

Δx（k+1）" y（k+1）=" A" oTCA1 Δx（k）"" y（k） +"" BC BΔu（k）

y（k）=Δx（k）" y（k）（13）

其中，Δu（k）为控制输入的变化量；o=

。

笔者将使用上述增广状态空间模型设计预测控制器。

3.2 状态和输出变量的预测

状态和输出变量的预测模型如下：

Y=Fx（k）+ΔU

Y=［y（k+1|k） y（k+2|k） y（k+3|k） … y（k+N|k）］

ΔU=［Δu（k） Δu（k+1） Δu（k+2） … Δu（k+Nc-1）］

F= CACACA CA

="" CB"""""" 0"""""""" 0""""""" …"""""" 0 CAB"""" CB""""""" 0""""""" …"""""" 0 CAB"" CAB""""" CB"""""" …"" """"0" """""""""""""""""""""""""""""""""""CAB" CAB" CAB" …" CAB

其中，x（k）是k（k＞0）时刻的状态变量向量；Y为预测的输出变量向量，其维度为Np；ΔU为未来的控制轨迹向量，其维度为Nc。

代价函数J定义为：

J=（R-Y）（R-Y）+ΔURΔU（14）

其中，R=，R为对角矩阵，R=

rI（r≥0），r为闭环性能调整参数，I为单位矩阵。

控制信号的最优解如下：

ΔU=（+R）（Rr（k）-Fx（k））（15）

其中，R=；r（k）为k时刻的设定点信号。

式（15）所示控制信号的最优解与设定点信号和状态变量相关联。

3.3 对约束问题进行处理

控制变量增量变化的约束：

Δu≤Δu（k）≤Δu

对控制变量幅度的约束：

u≤u（k）≤u

输出限制：

y≤y（k）≤y

传统上，约束施加在整个控制向量上，所有约束都用向量ΔU表示：

设C、C分别对应相应的矩阵，可将式（16）改写为紧凑矩阵形式：

-（Cu（k-1）+CΔU）≤-U

（Cu（k-1）+CΔU）≤U（17）

其中，U与U为列向量，均有Nc个元素。

对于控制信号的增量有如下约束条件：

-ΔU≤-ΔU

ΔU≤ΔU（18）

其中，ΔU与ΔU为列向量，均有Nc个元素。

对于输出约束用ΔU表示：

Y≤Fx（k）+ΔU≤Y

最优化的参数向量ΔU，受到的不等式约束表示为：

MMMΔU≤NNN（19）

M=-C C

N= Cu（k-1）-U-Cu（k-1）+U

M=-I I

N=-ΔU ΔU

M=-

N=-Y Y

将式（19）转化为如下更紧凑的形式，在不违反约束条件的情况下解出最优控制：

MΔU≤γ（20）

其中，M是表示约束条件的矩阵，其行数等于约束条件的个数，列数等于ΔU的维数。

4 控制器MATLAB仿真验证

4.1 一般信号的算法验证

用MPC、PID控制器对信号进行控制，使其到达设定条件，如图5所示，可以看出，在稳定时间相近的情况下，PID控制器的超调量明显大于MPC控制器。

4.2 在不同工作温度下使用MPC/PID进行温度控制

在温度控制过程中，选择加热棒的输出功率作为控制变量，由MPC、PID控制器直接控制。功率的快速响应是温度快速稳定的保证。图6展现了MPC与PID控制下的温度控制效果。图6a中，设定温度为40 ℃，在MPC控制策略下，水温在110 s时达到设定温度，没有超调量，PID控制策略与MPC控制策略相比，所需稳定时间明显更长。图6b中，设定温度为50 ℃时，PID控制策略与MPC控制策略相比，超调量明显更大。图6c中，设定温度为60 ℃时，PID控制策略与MPC控制策略相比，控制稳定时间与超调量明显更大，水温随着功率的波动，最终随时间趋于稳定，证实MPC控制策略在控制水浴锅温度方面效率更高。

5 结束语

针对水浴锅加热过程具有复杂的时间特性，而难以直接进行温度数学建模的现状，提出一种适用于水浴锅加热过程的模型预测控制策略，并在Simulink中进行仿真验证。实验结果表明，MPC能够有效控制水浴锅的温度和加热管的输出功率，相较于传统PID控制，MPC控制器器在温度和功率控制方面表现出较小的超调和较短的稳定时间；在不同的温度场景下，MPC控制器在超调量和稳定时间方面均表现出更优越的性能。

参 考 文 献

［1］"" 荆中亚，陈为.基于STM32的密炼机自整定PID温控系统设计［J］.电子设计工程，2024，32（5）：51-55.

［2］"" 舒俊杰.基于变论域模糊控制的西瓜温室监测系统设计［D］.武汉：武汉轻工大学，2023.

［3］"" 王威，李少甫，吴昊，等.基于反向传播神经网络PID的高功率微波炉温度控制［J］.强激光与粒子束，

2024，36（1）：59-65.

［4］"" 李蕾，赵涵.基于改进遗传算法的超临界机组锅炉温度控制研究［J］.自动化应用，2023，64（21）：36-38.

［5］"" 郑骁健.基于模型参考自适应控制的高压釜温度控制［D］.杭州：中国计量大学，2018.

［6］"" BONE G M，XUE M，FLETT J.Position control of hybrid pneumatic electric actuators using discrete valued model predictive control［J］.Mechatronics，2015，25：1-10.

［7］"" ZHANG S，XIONG R，SUN F C，et al.Model predictive control for power management in a plug in hybrid electric vehicle with a hybrid energy storage system［J］.Applied Energy，2017，185：1654-1662.

［8］"" OUYANG Q，CHEN J，WANG F，et al.Nonlinear MPC controller design for AIR supply of PEM fuel cell based power systems［J］.Asian Journal of Control，2017，19（3）：929-940.

（收稿日期：2024-04-07，修回日期：2024-05-22）

Water Bath Temperature Control Strategy

Based on Model Predictive Control

AI Xue zhong， LI Ze yi， XU Chun bo

（School of Information and Control Engineering， Jilin Institute of Chemical Technology）

Abstract"" Considering the fact that water bath heating has characteristics of complex time， difficulty in controlling the materials temperature and a long time needed for the materials to reach a stable temperature， a model predictive control strategy based on the physical model was proposed. In which， having the system model established， the system heating power considered and the output power adjusted by weighting operation to dynamically control the system; and then， having the deviation between the material temperature and the set temperature monitored and the increment of heating tube power adjusted to change the heating power rapidly and shorten the time required to reach the set temperature. The simulation results show that， the strategy proposed can effectively track the set temperature， improve heating efficiency of the water bath， reduce the energy consumption， enhance the stability and controllability of the heating process and provide an effective solution for optimizing the heating process of the water bath.

Key words"" model predictive control strategy， water bath， physical model， constraints handle，temperature control， weighting， heating power