基于高等几何思想的初等几何解题应用

摘 要：从高等几何的重要知识出发，结合初等几何中的题目，深入探讨高等几何中的仿射变换、德萨格定理、完全四点形的调和性等知识对初等几何的重要指导作用.通过学习高等几何知识，帮助师范生和中学教师深入理解初等几何中的概念和原理，从而拓展他们的数学思维能力.

关键词：高等几何；仿射变换；德萨格定理；完全四点形

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）19-0026-03

高等几何是比初等几何更深层次的学问，它以初等几何、解析几何等知识为基础，不仅可以培养师范生的几何素养，还能提高中学教师以高等几何方法指导初等几何教学的水平.所以要求师范生及中学教师掌握高等几何的重要思想，站在更高的观点下审视初等几何.

1 高等几何与初等几何的关系

1.1 高等几何在初等几何中的地位

初等几何是运用最简单直接的方法来讨论问题，即在基本定理公式的基础之上，通过简单的逻辑推理得出很多关于图形的性质（定理），利用得到的性质进行计算.然而这种讨论问题的方法具有很高的技巧性，对于复杂的问题往往束手无策.

高等几何是初等几何的进一步延伸.虽然高等几何对抽象性、逻辑性要求较高，但是初等几何和高等几何联系密切，掌握高等几何的必要知识，对解决初等几何学习中的问题有着必不可少的作用.

1.2 高等几何对初等几何的指导意义

高等几何是利用变换群的观点定义的几何学，掌握了高等几何，可以在研究初等几何问题时居高临下，思维更加开阔，进一步加深对几何学的理解.高等几何拓展了研究初等几何的方法，高校师范专业学生或在职教师通过对高等几何的学习，能够提高自己对几何学的认知和业务水平，更好地把握几何教材，有利于搞好教学工作.

高等几何知识对初等几何学习的影响并不是要提供具体的公式和解题方法，而是要从其自身的知识结构出发，来类比分析初等几何的问题.相对于初等几何而言，高等几何有着许多的特有知识结构，例如正交变换、仿射变换、射影变换等[1].此外，深入理解初等几何与解析几何之间的联系也具有重要意义.因此，在高等几何的学习中，除了掌握课本内容，还需要追溯与初高中已学知识的内在联系，进一步深化对初等几何理论与实际应用的探究.

2 高等几何在初等几何解题中的应用2.1 初等几何题中的仿射变换

仿射变换是一种向量空间之间的线性变换[2]，经过仿射变换，图形间的相对位置关系不会发生变化，例如平行线变换后还是平行线、直线变换后还是直线，并且同一条直线上的点的位置顺序和长度的比例关系不变.但向量的夹角可能会发生变化，垂直关系可能会发生变化.

例1 设直线l：y=kx+m（|k|≤12）与椭圆

x24+y23=1相交于A，B两点，以线段OA，OB为邻边作

OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点.求|OP|的取值范围.

解析 图1经过仿射变换后椭圆转化成圆，平行四边形转化成菱形，如图2，由题意知|kAB|≤12，所以得|kDE|≤13.又因为菱形的对角线相互垂直，所以|kOF|≥3，从而|xF|≤1，得到|xP|=|xF|≤1.于是OP2=x2P+y2P=x2P+3（1-x2P4）=x2P4+3∈［3，134］.因此OP的取值范围是［3，132］.

例2 已知△ABC，点D，E分别在边AB，AC上，使得AD=13AB，AE=13AC，分别连接BE，CD相交于点F，证明：S△FBC=12S△ABC.

证明 将原来的三角形（如图3）仿射变换成等边三角形如图4，知A1D1=13A1B1，A1E1=13A1C1.又因为B1E1交D1C1于点F1，连接A1F1并延长交B1C1于点G1，所以A1G1

⊥B1C1.作F1H1∥B1C1交A1C1于点H1，连接D1E1，得到D1E1=13B1C1.又因为△E1F1D1∽△B1F1C1，所以F1D1=13C1F1，C1D1=43C1F1.又△E1C1D1∽△H1C1F1，E1D1=43F1H1.故F1H1C1G1=2·F1H1B1C1=2·1/33/4=12.所以F1H1=12C1G1.所以F1是A1G1的中点.所以S△F1B1C1=12S△A1B1C1.而两个三角形面积之比是仿射不变量，即S△FBCS△ABC=S△F1B1C1S△A1B1C1=12.所以S△FBC=12S△ABC.

类似于这样的初等几何题都可以利用仿射变换的性质，将一般的图形转化成特殊图形，化难为易，让学生解决容易理解的特殊题目，培养学生的类比思想，启发学生的解题思路，从而解决一般的初等几何题.

2.2 初等几何题中的德萨格定理

德萨格定理是指如果两个三点形三对对应顶点的连线交于一点，则三对对应边的交点在一条直线上.而德萨格逆定理是指如果两个三点形三对对应边的交点在一直线上，则三对对应顶点的连线交于一点.

例3 已知D，E，F分别是△ABC三条边BC，CA，AB的中点，证明AD，CF，BE相交于点G.

证法1 （初等几何法）如图5，连接BE，CF交于点G1，连接AG1并延长交BC于点D，连接EF，所以EF∥BC，从而△G1EF∽△G1BC.又由三角形相似对应边成比例，所以G1FG1C=FECB=EG1BG1.又因为BC=2EF，所以BG1=2EG1，G1C=2G1F.设AD和BE相交于点G，依旧可以证明BG=2EG，GA=2GD.所以G1和G都是BE上从B到E三分之二点处，故G1和G重合，AD，CF，BE相交于点G，三条中线共点.

证法2 （德萨格定理法）因为D，E，F分别是三角形三条边BC，CA，AB的中点，所以由三角形中位线定理可知

EF∥BC，ED∥AB，FD∥AC.根据

德萨格逆定理，△ABC和△DEF这两个三角形，它们每一条对应边都相交于一点，而每一个交点都在无穷远直线上，所以它们对应顶点的连线AD，CF，BE相交于一点G.

例4 已知点P，O，Q分别是△ABC的垂心、重心、外心，证明P，O，Q三点共线.

证法1 （初等几何方法）如图6，作BC的中点D，AC中点E，连接AP并延长交BC于点F，连接BP并延长交AC于点G，连接AD，DE，DQ，EQ.因为点Q是△ABC的外心，D是BC的中点，E是AC中点，所以DQ是BC的垂直平分线，EQ是AC的垂直平分线，从而DQ⊥BC，EQ⊥AC.又因为点P是△ABC的垂心，所以AP⊥BC，BP⊥AC，因此AP∥DQ，BP∥EQ.又由D是BC的中点，E是AC中点，得到DE∥AB.所以△ABP∽△DEQ.所以APDQ=ABDE=2.因为O是△ABC的重心，AD是BC边的中线，所以点O在AD上且OAOD=2.因为AP∥DQ，所以∠PAO=∠QDO.又因为APDQ=OAOD=2，得到△AOP∽△DOQ.所以OPOQ=OAOD=2，∠AOP=∠DOQ.因为A，O，D共线，所以∠AOQ+∠DOQ=180°，即∠AOQ+∠AOP=180°.所以P，O，Q三点共线.

证法2 （德萨格逆定理法）在△ABP和△DEQ中，因为AP∥DQ，BP∥EQ，DE∥AB，我们发现对应的边都是平行关系，也就是说△ABP和△DEQ三组对应边的交点都是无穷远点，所以我们也就可以利用德萨格逆定理的知识，得出AD，BE的交点O与P，Q共线这个结论.

2.3 初等几何题中的完全四点形

不是所有的共点共线问题都可以用德萨格定理解决，完全四点形也是重要的方法之一.平面上四个点（其中无三点共线）及其两两连接的六条直线所组成的图形称为完全四点形.完全四点形包含四个顶点，六条边，而它的对边没有共同的顶点，对边点就是对边的交点，三对边点所构成的三点形称为它的对边三点形（或中心三点形）.

完全四点形的性质应用有两方面：首先，在完全四点形的对边三点形的每条边上有一组调和共轭点，其中两个点是对边点，另两个点是这条边与通过第三个对边点的一对对边的交点；其次，在完全四点形的每条边上有一组调和共轭点，其中两个点是顶点，另一个对偶点里，一个点是对边点，另一个点是这个边与对边三点形的边的交点.

例3应用德萨格定理证明三角形的三中线共点，也可应用完全四点形的调和性.证明如下：

如图7，AFGE是完全四点形，连接BE，CF交于点G，连接AG并延长交BC于点D1，由EF∥BC知EF和BC相交于无穷点Q∞，所以由完全四点形的调和性可知（BC，D1Q∞）=-1，所以D1是BC中点，即D1和D重合，即AD，CF，BE共点G.图7 三角形中线图

3 结束语

通过上述几种高等几何中的方法，为中学几何的教育提供了更具有深度、广度的教授方法和学习方法.我们可以将中学几何中的特殊命题和图形与普遍意义下的几何概念建立联系，这种联系有助于学生更深入地理解几何的本质和性质.

参考文献：

［1］ 马丽君.浅谈高等几何在初等几何中的应用[J].长春教育学院学报，2013，29（23）：146-147.

[2] 梅向明.高等几何[M].北京：高等教育出版社，2008.

［责任编辑：李 璟］