数列问题中闪烁的数学智慧

摘 要：高中数学数列问题的考查既可以检验必备的数学知识，又可以聚焦数学的重点思维.文章将集中关注数列解题中出现的解题思想，观察思维模式在数列问题中应用的具体步骤及注意事项.

关键词：高中数学；数列解题；构造法

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）19-0016-03

收稿日期：2024-04-05

作者简介：赵帅（1986.2—），男，山东省平阴人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

高考数学中数列作为我们必须掌握的基础知识，其中的解题方式不仅包含常用的三种方法，还有着与最基础知识结合的巧妙做法.

数列问题中求数列通项公式是被重点关注部分，与数列求和并驾齐驱.解决这类问题的过程中衍生出的各种数学方法，在其他板块解题中也是可以迁移应用的.这就是数列作为高中数学必备知识的原因之一，它与其他部分看似割裂，但蕴含的方法却紧密相连.

1 同型构造法解数列

构造数列的本质是什么？它对我们的解题有着怎样的帮助？其实它的关键在于同构，同构又是什么？就是相同的结构，相同的形式，从而求出数列的通项[1].这种解题方式的本质就是利用了同构的数学思想，可是构造数列从何开始，在过程中又该注意什么问题呢？

1.1 形如an+1=pan+指数函数+常数类型构造例1 已知数列an满足an=2an-1+2n+1（n≥2），a1=5，求数列an的通项公式.

解析 已知具有一个an与前一项的递推式，可以发现前一项具有系数2，尝试将其余部分与an-1结合，得到an+1=2（an-1+1）+2n，出现了一个相同的结构，但是还存在一个指数函数需要解决，构造新数列bn=an+1，再次观察bn=2bn-1+2n，只需令相邻两项间的关系满足特殊数列便可求解.两边同除2n，得bn2n=bn-12n-1+1，此时递推式可以满足等差数列，故令cn=bn2n，所以cn=cn-1+1，这是等差数列标志性的递推式，c1=b12=a1+12=62=3.

所以数列cn是首项为3，公差为1的等差数列，得到cn通项公式cn=3+（n-1）×1=n+2.

即cn=bn2n=n+2，即bn=（n+2）·2n.

因为bn=an+1，

所以an=（n+2）·2n-1（n≥2）.

因为

a1=（1+2）×2-1=5，满足第二项开始的通项公式，所以数列an的通项公式为an=（n+2）·2n-1（n∈N*）.

点评 在构造过程中，我们重点关注的是相邻两项之间的关系，使它们具有相同的形式或者结构从而探究，而这种结构的变换是为了使其满足我们的特殊数列，利用特殊数列的通项公式，从而写出最初数列的通项公式.

1.2 一次函数、二次函数型构造

看到这类型题目，我们会产生疑问，它们的递推式与我们学习的函数极为相似，是否可以通过函数知识进行迁移学习，得出答案呢？还是说它们的本质仍旧是构造同型数列解题呢？

1.2.1 一次函数型构造

例2 已知数列an的首项为a1=4，且满足an=3an-1+2n-1（n≥2），求数列an的通项公式.

解析 递推式中除掉含有相邻项的部分，其余部分与一次函数十分相似，那在这种题目中，我们如何构造数列呢？

我们可以通过将an与an-1构造成具有相同结构的式子进行解题.an-1前的系数为3，将其余部分的系数通过加减变化为相同的系数，注意，我们的前一项为n-1，在变化时也可以将其利用起来，同时为了保证等式的性质，等式左边也要进行相同的变化，可以得到an+n+1=3［an-1+（n-1）+1］，出现了一个新的形式an+n+1.

故令bn=an+n+1，即

bn=3bn-1（n≥2），

b1=a1+1+1=4+1+1=6.

所以数列bn是首项为6，公比为3的等比数列.

所以bn的通项公式bn=6×3n-1=2×3n.

所以数列an的通项公式an=2×3n-n-1（n∈N*）.

因为a1=2×3-1-1=4，满足通项公式，所以通项公式an=2×3n-n-1（n∈N*）.

点评 在形如一次函数的数列问题中，相邻两项之间的递推式可以通过加减式子构建等比数列，比如本题中我们根据想要的形式可以反推回去，

an+xn+y=3an-1+2n-1+xn+y

=3an-1+（x+2）n+y-1

=3an-1+（x+2）（n-1）+（x+2）+（y-1）

=3［an-1+x+23（n-1）+（x+2）+（y-1）3］，

x，y均为可以任意取值的常数，为使等式左右两边关于an与an-1的式子具有相同结构，故我们进行联立，解出需要变化的数值.

x=x+23，y=（x+2）+（y-1）3，解得x=1，y=1.

此时可以列出an+n+1=3［an-1+（n-1）+1］，然后进行求解.

1.2.2 二次函数型构造

例3 已知数列an的首项为a1=1，且满足an+1=2an-n2+3n（n∈N*），求数列an的通项公式.

解析 二次函数的构造与一次函数是否有相似之处呢？我们可以利用相同的方式尝试将递推式变换，注意在变换过程中，等式左右两边关于数列的式子要具有相同的结构.

an+1+x（n+1）2+y（n+1）+z=2an-n2+3n+x（n+1）2+y（n+1）+z

=2an+（x-1）n2+（2x+y+3）n+（x+y+z）

=2［an+x-12·n2+2x+y+32·n+x+y+z2］，

等式左右两边关于an与an-1的式子要具有相同结构，联立

x=x-12，y=2x+y+32，z=x+y+z2，解得x=-1，y=1，z=0.

将原式变换为

an+1-（n+1）2+（n+1）=2（an-n2+n）.

令bn=an-n2+n，

则b1=a1-1+1=1-1+1=1.

所以数列bn是首项为1，公比为2的等比数列.所以bn的通项公式bn=1×2n-1=2n-1

所以数列an的通项公式

an=2n-1+n2-n（n∈N*）.

点评 使用这种方式，第一步，确定相邻两项的相同结构式；第二步，将等式一边只具有单独一项的式子变化为这个相同式；第三步，为使等式性质成立，等式另一边也进行相同变化；第四步，将变化后的式子整理成我们找到的结构式;第五步，将对应的结构式系数对应解出最终的递推式［2］.

2 数量关系构造法解数列

当数列中没有明显的递推关系，式子无法进行分割配凑，我们又该如何求解数列的通项公式呢？又该如何构造辅助数列？

2.1 倒数类型构造

例4 已知数列an满足an+1=an2an+1，a1=1，求数列an的通项公式.

解析 观察题目，等式左右两边均出现了有关的式子且无法分割，面对这种情况我们要怎么处理递推式呢？

其实可以取倒数构造一个新函数，为什么要取倒数？是因为取倒数后等式明显出现了一个相同的倒数结构，而且可以利用分式性质将分式化为一个常数与倒数相加的形式，这样就会出现等差数列的明显特征.

1an+1=2an+1an=1an+2.

令bn=1an，则b1=1a1=1，bn+1=bn+2.

所以数列bn是首项为1，公差为2的等差数列.

所以bn的通项公式bn=1+（n-1）×2=2n-1.

故数列an的通项公式an=12n-1（n∈N*）.

2.2 对数类型构造

例5 数列an中，a1=2，满足an+1=a2n，求数列an的通项公式.

解析 观察题目，递推关系式中出现平方形式，这种情况优先考虑对数形式，利用对数变化，我们可以将式子降次，写出通项公式.

因为an+1=a2n，a1=2，所以数列an中的所有项均大于零.

通常取对数我们会以e为底进行对数运算，使用这种方式在于e不易与其他数字相同，不会造成我们在计算中的运算混乱.在运算中由于对数性质，幂次数就会降低.

所以lnan+1=2lnan，出现新的数列bn=lnan，

b1=lna1=ln2.

数列bn是首项为ln2，公比为2的等比数列.

所以bn的通项公式bn=2n-1×ln2.

故数列an的通项公式an=22n-1，n∈N*.

注意，题目开始为了降幂我们取对数，在得出结论时还要进行一次取对数得到原始数列的通项公式.

3 结束语

数列通项公式解题思想主要分为两部分：构造同型数列和构造数量关系数列.这两种解题思路都应用了转化与化归思想，对递推关系进行变化.其中在数量关系构造中，我们还跳脱出递推式本身的加减变换，引入一个全新的关系数列构造，具有整体思维.这些思想在我们的数学解题中都应用广泛.

参考文献：

［1］ 赵克发.“先转化，再构造”，巧解一类数列问题[J].数理天地（高中版），2022（14）：4-5.

［2］ 赵世瑜.求数列通项公式的新视角：构造常数列[J].数理化解题研究，2023（33）：39-41.

［责任编辑：李 璟］