“买二送一”法破解三个共点力作用下的动态平衡问题

摘 要：动态平衡是物理学中的常见问题，特别是物体在共点力作用下的动态平衡问题，是历年高考中重点考查的内容.通过总结归纳几种常考类型，给出对应的解题方法，供广大物理教师参考.

关键词：高中物理；动态平衡；解题技巧

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）19-0111-03

动态平衡是指在特定的情境中通过改变某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在整个过程中又始终处于一系列的平衡状态之中[1].动态平衡问题在高中阶段种类繁多，尤其是在共点力作用下的动态平衡问题在高考中频频出现.针对不同类型的题目，解决方法也有所不同，学生在解题时往往不知道选取哪种方法，从而陷入困惑之中.笔者通过教学实践，总结出“买二送一”的方法，即“买”两个三角形（矢量三角形和相似三角形），“送”一个圆形（辅助圆法），帮助学生记忆与选择，从而快速准确地解决问题.

1 矢量三角形法

当所选取的研究对象受到三个共点力的作用而保持平衡时，可以用带有箭头的有向线段来表示这三个力.由于该物体时刻保持平衡状态，因此将这三个力的矢量箭头首尾相接，构成一个封闭的三角形.这个三角形称为力的矢量三角形.该方法适用于一个力恒定，即大小、方向都不变，第二个力方向不变、大小在变，第三个力大小、方向都在变的情况.

例1 将一个光滑的斜面体固定在水平地面上，倾角为θ.斜面上有一个光滑挡板A可以绕O点转动，一质量为m的小球B被挡板挡住.开始时挡板A竖直放置，如图1所示.现将挡板绕O点逆时针缓慢旋转至水平位置，关于小球B的受力情况下列描述正确的是（" ）.

A. 挡板对小球的支持力逐渐减小

B. 挡板对小球的支持力逐渐增大

C. 斜面对小球的支持力逐渐减小

D. 斜面对小球的支持力逐渐增大

解析 根据已知条件进行受力分析，小球所受重力为mg，木板对小球的支持力始终垂直于木板为FN1，斜面对小球的支持力始终垂直于斜面为FN2，画出初始状态时小球受力的封闭三角形.由于挡板是缓慢转动，因此小球时时刻刻都处于平衡状态，三个力构成的矢量三角形始终保持封闭.转动过程中挡板对小球的支持力FN1与竖直方向的夹角逐渐变小，而斜面对小球的支持力FN2始终保持与斜面垂直，方向不变.根据图2所示矢量三角形的变化可以看出，FN1先变小后变大，FN2一直变小.故C项正确.

评析 “矢量三角形法”在解决动态平衡问题中最为常见.运用该方法处理的题目具有的一个典型特征：可以在三个力中找到一个始终沿某一方向作用的力，即力的方向不变但大小未知.这个力通常情况下是某个接触面给物体的弹力.在选定方法以后，最关键的是要画出物体初始状态时受力的矢量三角形，根据方向改变的那个力来判断到底是矢量三角形的哪条边发生了改变，在变化的过程中始终保持矢量三角形是封闭的，最后结合封闭三角形中边长的长度判断力的大小变化.

2 相似三角形法

相似三角形法是指在题目情境中可以找到一个几何三角形与研究对象受力的矢量三角形相似.根据几何三角形形状的变化情况，判断出矢量三角形中各力的变化.此方法解决的题目典型特征是一个力大小、方向都不变，另外两个力大小、方向都在变的情况.核心点是在题图中能找到一个几何三角形与矢量三角形相似.

例2 如图3所示，竖直平面内有一轻杆OP，重力可忽略.O点为轻杆的一端固定在竖直面内，轻杆可以绕O点转动.另一端P点处用轻绳悬挂一物块B，另一根轻绳一端系住P点，另一端绕过光滑定滑轮A用外力拉动.在外力F缓慢作用下轻杆OP逐渐变为竖直方向.这一过程中力F（" ）.

A.逐渐变大"" B.逐渐变小

C.恒定不变D.先变大后变小

解析 以轻杆的P端为研究对象进行受力分析，物块B对P端的拉力大小始终为mg，方向竖直向下，P端还受到沿绳方向的拉力F和沿杆方向的支持力FN.将P端受力的矢量三角形画出，观察到它与图中△OAP始终相似，如图4所示.在轻杆顺时针转动到竖直的过程中，OA的长度不变，所对应的力mg大小不变；轻杆OP的长度不变，对应FN大小不变；边长AP变短，对应的力F变小，故B项正确.

评析 “相似三角形法”是一种数理结合的方法，要求学生掌握一定的数学几何知识.利用该方法的解题要点是在题图中找到与矢量三角形相似的几何三角形，这就要求学生具备一定的观察能力，如果不能直接看出，可以适当地做辅助线帮助寻找.一旦两个三角形对应起来，题目便迎刃而解了.

3 辅助圆法

在解决动态平衡问题时还会遇到一种特殊的类型：物体所受一个力大小、方向都不变，而另外两个力的大小、方向都在变，但是这两个力的夹角不变.这里就需要采取一种特殊的方法——辅助圆法.所谓辅助圆就是指三个力构成的矢量三角形的外接圆.具体做法为：将恒定的力作为圆固定的一条弦，长度不变；另外两个力大小、方向都在变，但由于同弦所对圆周角相等，因此满足了另外两个力夹角不变的条件.在动态变化的过程中，该圆始终为矢量三角形的外接圆，最后根据矢量三角形边长的变化来判断力大小的变化.

例3 如图5所示为某工地上的自动卸货车作业的过程.卸货时车厢被缓慢顶起，货物与车厢保持相对静止，整个过程中卸货车始终保持静止在地面上.当车厢倾斜到一定程度使得货物刚好滑落时，下列说法正确的是（" ）.A.货物受到车厢的摩擦力一直增大

B.货物受到车厢的摩擦力先增大后减小

C.货物受到车厢的支持力一直减小

D.货物受到车厢的支持力先减小后增大

解析 重力的大小、方向都不变，且观察到在θ角逐渐变大的过程中，尽管支持力与摩擦力的方向时刻在变，但两个力始终相互垂直，夹角为90°.在圆中只有直径所对的圆周角为90°，因此可以将表示重力的矢量作为圆的直径.这样表示力的三个矢量就构成了一个圆的内接三角形.如图6所示，随着θ角变大，摩擦力一直增大，支持力一直减小.故选A、C项.

例4 如图7，轻绳一端O固定在竖直平面内，在绳上取一点M为结点，并在此结点处系一物体，轻绳的另一端N用手提起.OM段保持竖直，OM与MN之间的夹角为α（αgt;π2）.现将物体向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变[2].在OM由竖直被拉到水平的过程中（" ）.

A.MN上的张力逐渐增大

B.MN上的张力先增大后减小

C.OM上的张力逐渐增大

D.OM上的张力先减小后增大

解析 笔者发现不少资料将这道题归为“拉密定理法”来处理.其实这道题仍然可以用“辅助圆法”来解决.首先选取节点M为研究对象，受到三个力的作用且满足动态平衡条件.观察到点M受到的拉力等于物体的重力，其大小、方向均不变，而另外两个力TOM与TMN虽然方向都在变，但是两个力的夹角为α保持不变，满足“辅助圆法”的应用条件.

如图8所示，将代表重力的矢量线段作为圆的一条弦，固定不动.OM上的拉力和MN上的拉力作为另外两条边.作出矢量三角形的外接圆即为辅助圆，在OM由竖直被拉到水平的过程中，MN上的拉力一直增大，OM上的拉力先增大后减小，故A项正确.

评析 “辅助圆法”容易被学生忽视，其实用这种方法来解决的题目也具有显著特征，即两个力大小方向都在变，但其夹角不变.例如，物体受到的摩擦力与支持力就具有这个典型特征.在画辅助圆时应注意，若两个变力的夹角恒定为90°，则将大小方向均不变的那个力（通常是重力）作为直径；若两个变力之间的夹角不是直角，则将恒力作为一条非直径的弦来处理.此外，在动态变化过程中应注意题目里的限制条件，根据辅助圆里三角形的变化确定力的正确变化范围.

4 结束语

综上所述，三种方法各有特点，在审题时需要根据题目特征快速判断解题方法，牢记“买二送一”，选择对应的解题方法，方可以不变应万变，快速准确地解决三个共点力下的动态平衡问题.

参考文献：

［1］熊高云.秒解“动态平衡问题”的技巧[J].数理化解题研究，2022（25）：110-112.

［2］ 王启平.对高考物理中有关动态平衡问题的探讨[J].物理教学探讨，2018，36（02）：44-45.

［责任编辑：李 璟］