探究火箭反冲的速度

2024-12-31胡连冬

数理化解题研究·高中版 2024年7期

关键词：建模

摘要：运用动量守恒定律探究火箭反冲的速度，从物理学视角掌握研究质量变化问题的科学方法，形成物理观念.体会物理学科魅力，发展学生建模能力和分析推理能力，激发学习动力，培养学生爱国情怀.

关键词：反冲；建模；动量守恒；多级火箭

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）19-0108-03

反冲现象是指物体在内力作用下分裂为两个不同部分，并且这两部分向相反方向运动的现象；在反冲现象中，若内力远大于物体受到的外力，则物体发生反冲现象的过程中遵循动量守恒.火箭的飞行应用了反冲的原理[1]，那么火箭飞行的速度大小由什么决定呢？火箭是怎样实现卫星发射和载人航天飞行的？要知道这些问题，我们首先要对火箭飞行原理作定性了解，然后再来探究火箭飞行速度的决定因素.

1 定性分析

火箭壳体内储存着大量的燃料和助燃剂，我们把火箭壳体、燃料及助燃剂看作一个整体.燃料在燃烧时，将产生大量高温高压的气体，这些气体在火箭的尾部以很高的速度向后喷出.这种高温高压气体与火箭壳体及火箭中尚未燃烧的燃料之间的相互作用力是内力.火箭还受到重力、空气阻力等外力的作用，但这些外力在一般情况下比内力要小，在初步考虑时可把这些外力略去不计而应用动量守恒定律来处理问题.因喷出的气体具有很大的动量，故火箭在喷射气体的同时本身必获得与气体动量大小相等、方向相反的动量.随着气体的不断喷出，火箭的质量越来越小，速度越来越大.当燃料烧尽时，火箭就以所获得的速度继续飞行.

2 定量分析

下面利用动量守恒定律对火箭的运动作一些定量的分析.如图1所示，在喷射气体的过程中，火箭的质量和速度都不断在变化.设在时刻t火箭的质量为m.相对于地面的速度为v.而在时刻t+Δt火箭的质量变为m′. 相对地面的速度变为v′=v+Δv.我们用Δm和Δv分别表示火箭的质量及速度在Δt时间内的变化量，即：Δm=m′-m. Δv=v′-v.显然Δmlt;0. 用u表示气体相对于火箭的速度，则气体在t+Δt时刻相对地面的速度为u′=u-v′.以火箭运动方向为正方向，在时刻t质量为m的火箭的总动量为p1=mv.在时刻t+Δt质量为m′的火箭及质量为Δm的气体的总动量为：

p2=m′v′+Δm（u-v′）.

m′=m-Δm.v′=v+Δv.

代入得：p2=mv+mΔv+uΔm.

根据动量守恒定律：p1=p2.则：

mΔv=-uΔm①

①式就是教材26页的表达式.若把①式改为微分形式，则

dv=-μdmm②

设火箭壳体及所携带的燃料及助燃剂的总质量为M0. 火箭壳体的质量为M. 并设火箭的初速度为零，喷射终了时火箭速度为vM. 喷射气体相对火箭的速度u设为恒定.对②式两边积分得：

∫VM0dv=-u∫MM0dmm.

故：vM=ulnM0M③

其中M0M称为火箭的质量比，即火箭起飞时整体的质量与火箭除燃料外的箭体质量之比.③式说明火箭在喷射终了时的速度vM与气体相对火箭的喷射速度u成正比，与质量比M0M的自然对数成正比.由③式可知：只要火箭喷射气体的速度方向与火箭运动方向相反，且ugt;0，火箭就能正常提高飞行速度.下面我们运用火箭反冲原理解决两个简单问题.

例1 将静置在地面上、质量M0（含燃料）为10 kg的火箭模型点火升空，在一段相当长的时间内以相对地面的速度v0为6.25 m/s竖直向下连续喷出质量m为8 kg的炽热气体.忽略喷气过程重力和空气阻力的影响（重力加速度取g=10 m/s2.ln5=1.6. ），则喷气结束时火箭模型获得的速度大小和上升的最大高度分别为（" ）.

A.25 m/s 31.25 m"" B.10 m/s 5 m

C.5 m/s 1.25 mD.6.25 m/s 1.95 m

解析火箭点火升空持续喷气的时间内，火箭是运动的，且火箭的质量也是连续变化的，由③式得：喷气结束时火箭模型获得的速度大小v=10 m/s.然后火箭模型继续作竖直上抛运动，由v2=2gh求得继续上升的最大高度为5 m.B选项正确.

注意本题可能错选A. 如果把火箭喷气前和喷气结束时的两个状态下运用动量守恒：mv0+（M0-m）v=0.必将导致错选A. 因为在火箭开始喷气时，火箭也同时竖直向上运动，在喷气时间内火箭和燃料组成的系统动量不为零，表达式：mv0+（M0-m）v=0.是错误的.

在质量和材料不变的条件下，如果将例1中模型火箭改装成等质量的两级串联式二级火箭，那么质量和材料相同的二级火箭最终速度有多大呢？下面我们探究这个问题.

例2 如图2所示，一级火箭模型与二级火箭模型总质量均为M0=10 kg.燃料质量均为8 kg. 即二级火箭中每级总质量为m=5 kg.燃料质量为m0=4 kg.二级火箭模型点火升空，在一段相当长的时间内以相对地面的速度v0为6.25 m/s竖直向下连续喷出炽热气体.忽略喷气过程重力和空气阻力的影响，也不考虑火箭壳体

脱离时对火箭速度的影响（重力加速度取g=10 m/s2.ln5=1.6.ln3=1.1），求二级火箭模型喷气结束时火箭模型获得的速度大小.

解析由③式得：二级火箭模型第一级喷气结束时火箭模型的速度v1=v0lnM0M0-m0

由于不考虑火箭壳体脱离时对火箭速度的影响. 同理可得第二级火箭喷气结束时火箭速度为：v2=v1+v0lnM0-mM0-m-m0.求得二级火箭模型喷气结束时火箭模型获得的速度为：

v2=13.1 m/s.

对比例1和例2可以看出，在质量和材料相同的条件下，多级火箭比单级火箭的速度大.要提高火箭的速度就得提高喷射速度u和质量比.但是喷射速度和质量比受到种种实际条件的限制，并不能无限制地提高.一般火箭的喷射速度最大只能达到2.5 km/s左右，质量比一般小于10，相应地火箭能达到的速度是4.5 km/s.要实现卫星发射和载人航天飞行，必须使它达到7.9 km/s左右的速度.因此，利用单级火箭还不能把人造卫星和航天器送上天空.

3 多级火箭的飞行速度

人造卫星是用多级火箭送上天空的.多级火箭是由几个单级火箭组合而成，如图3所示为三级串联式火箭示意图.在起飞前，这几个火箭头尾相连形成一个整体.火箭起飞时，第一级火箭发动机开始工作，推动各级火箭一起前进，当这一级火箭的燃料烧完后，它那庞大的外壳就自动脱落，第二级火箭接着开始工作，在第一级火箭加速的基础上进一步加速.以此类推，每一级火箭都在前一级的基础上提高一定的速度，最终达到所需要的速度.

在图3中，假设每级火箭壳体和燃料的质量分别为M和m. 每级火箭质量比均为n=M+mM. 火箭喷气的相对速度假设为u不变.当第一级火箭燃料用完时，由③式得：火箭的速度为v1=uln3（M+m）3M+2m.

若第一级火箭燃料用完时，火箭的速度为v1.第一级火箭壳体脱落时，火箭的速度为v′1. 因为火箭壳体脱落时，火箭系统的动量守恒，即：

（3M+2m）v1=2（M+m）v′1+Mv′1

因此火箭脱壳前后的速度不变.当第二级火箭燃料用完时，火箭的速度为v2.由②式两边积分得：

∫v2v1dv=-u∫2M+m2（M+m）dmm.

则v2=v1+uln2（M+m）2M+m.

由于火箭脱壳前后的速度不变，同理可得第三级火箭燃料用完时，火箭的速度为：

v3=v2+ulnM+mM

三级火箭的最终速度为：

v3=uln3（M+m）3M+2m+uln2（M+m）2M+m+ulnM+mM.将火箭的质量比：

n=M+mM.

代入化简得：