新高考下函数零点问题探究及解决方法

摘 要：函数零点是新高考数学中的一个重要考查点，难度较大，解题方法灵活，对培养学生的数学运算能力和逻辑推理能力具有重要作用.在解决函数零点问题时，常常需要与导数、单调区间以及函数图象结合起来，运用综合方法进行处理.文章针对近几年出现的几种不同的题型，分别提供了具有针对性的解决方法.

关键词：函数零点；零点个数；导数；单调区间；函数图象

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）19-0042-03

函数零点问题是新高考数学中的重点和难点，在选择题、填空题和解答题中均有出现，是新高考中常考的题型之一.因此，本文提供了一套比较系统的解决方法，旨在帮助学生深入理解函数零点问题，提高解题效率和准确性.

1 判断函数零点个数

1.1 直接法

例1 （2023年长安区校级月考改编）求解函数f（x）=xcosx2在区间［0，4］上的零点个数.

解析 由f（x）=0可得x=0或cosx2=0.

所以x=0或x2=kπ+π2，k∈Z.

因为x∈［0，4］，所以k=0，1，2，3，4.

可得零点是0，π2，3π2，5π2，7π2，9π2.

所以一共有6个零点.

1.2 分类讨论法

例2 （2024年皇姑区二模）已知a为常数，函数f（x）=xlnx+ax2，讨论函数f（x）的零点个数.

解析 已知f（x）=xlnx+ax2=x（lnx+ax）（xgt;0），设g（x）=lnx+ax（xgt;0），故f（x），g（x）具有相同零点，则g′（x）=1x+a.

①当a=0时，g（x）=lnx，有且只有一个零点x=1；

②当agt;0时，g′（x）=1x+agt;0，所以g（x）为增函数.

又g（e-a）=-a+ae-a=a（e-a-1）lt;0，g（1）=agt;0，所以g（x）有且只有一个零点.

③当alt;0时，由g′（x）=0，解得x=-1a.

若x∈（0，-1a），则g′（x）gt;0，g（x）单调递增，

若x∈（-1a，+∞），则g′（x）lt;0，g（x）单调递减.

又x→0+时，g（x）→-∞，

又x→+∞时，g（x）→-∞，

故g（-1a）=ln（-1a）-1lt;0.

即alt;-1e时，g（x）无零点；

g（-1a）=ln（-1a）-1=0，即a=-1e时，

g（x）有一个零点；

g（-1a）=ln（-1a）-1gt;0，即-1elt;alt;0时，g（x）有两个零点.

综上所述，a≥0或a=-1e时，f（x）有一个零点；-1elt;alt;0时，f（x）有两个零点；alt;-1e时，f（x）无零点.

2 函数零点所在区间及零点计算

2.1 零点存在定理法

例3 （重庆市2023届高三第一次诊断性检测）函数f（x）=lnx+2x-6的零点所在的区间是（" ）.

A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）

解析 "由题意得f ′（x）=1x+2gt;0在（0，+∞）上恒成立.

所以f（x）在（0，+∞）上单调递增.

又f（1）=-4lt;0，f（2）=ln2-2lt;0，f（3）=ln3gt;0，所以f（2）·f（3）lt;0.由函数零点存在定理可得，f（x）=lnx+2x-6的零点所在的区间是（2，3）.

故选C.

评注 通常情况下，函数零点定理需要和函数单调性结合起来使用.首先，利用函数单调性可以判断函数的图形走向；其次，需要计算特殊点的函数值；最后，根据函数值的正负情况，再结合函数零点定理，便可确定零点所在的区间.

2.2 数形结合法

例4 （湖北省八市2023届高三下学期3月联考）已知函数f（x）=-x2-2x，x≤0，1-lnx，xgt;0， 若f（x）-m=0存在四个不相等的零点x1，x2，x3，x4，且x1lt;

x2lt;x3lt;x4，则x4-（x1+x2）x3的最小值是.

解析 由f（x）-m=0得f（x）=m.

即f（x）与y=m有四个交点.

作函数f（x）=-x2-2x，x≤0，1-lnx，xgt;0与直线y=m的图象如图1，两个图象有四个交点，且横坐标x1lt;x2lt;x3lt;x4，根据二次函数图象的对称性有x1+x2=-2，x3lt;elt;x4.

故1-lnx3=-（1-lnx4）.

则lnx3+lnx4=2.

即lnx3x4=2，解得x3x4=e2.

则x4-（x1+x2）x3=x4+2x3≥22x3x4=22e，当且仅当x4=2x3，即x3=22e，x4=2e时等号成立.

此时m=ln2lt;1，符合两图象有四个交点，故所求最小值为22e［1］.

3 利用函数零点求参数取值范围

3.1 同构法

例5 （2023年秋滕州市期中测验）已知函数f（x）=lnx+mx+1，g（x）=x（ex-1）.对于任意的xgt;0都有f（x）≤g（x）恒成立，求实数m的取值范围.

解析 由f（x）≤g（x）可得

m≤ex-1-lnx+1x.

令h（x）=ex-1-lnx+1x（xgt;0），得

h′（x）=1x2（x2ex+lnx）.

令φ（x）=x2ex+lnx（xgt;0），得

φ′（x）=（2x+x2）ex+1xgt;0.

所以φ（x）在（0，+∞）上单调递增，且φ（1）gt;0，φ（1e）=1e2（e1e-e2）lt;0.

所以存在x0∈（1e，1）使得φ（x0）=0.

即x20ex0+lnx0=0.

当0lt;xlt;x0时，φ（x）lt;0，即h′（x）lt;0，当xgt;x0时，φ（x）gt;0，即h′（x）gt;0.

所以h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增.

故hmin（x）=h（x0）=ex0-1-lnx0+1x0.

因为φ（x0）=0，即x20ex0+lnx0=0.

所以x0ex0=1x0ln1x0=（ln1x0）eln1x0.

令F（t）=tet（tgt;0），则上述等式可以表示为

F（x0）=F（ln1x0）.

又F′（t）=（t+1）etgt;0，

所以F（t）在（0，+∞）上单调递增.

所以x0=ln1x0.

即lnx0=-x0.

则ex0=1x0.

所以hmin（x）=h（x0）=ex0-1-lnx0+1x0=1x0-1--x0+1x0=0.

综上所述，m≤0［2］.

3.2 分离参数法

例6 （2021年全国Ⅱ卷改编）若函数f（x）=aex-x-2a有两个零点，则实数a的取值范围是.

解析 令f（x）=0可得a（ex-2）=x.

当x≠ln2时，a=xex-2.

设g（x）=xex-2（x≠ln2），则

g′（x）=ex-2-xex（ex-2）2.

再设h（x）=ex-2-xex，则h′（x）=-xex.

当xlt;0时，h′（x）gt;0，h（x）单调递增，

当xgt;0且x≠ln2时，h′（x）lt;0，h（x）单调递减，

所以h（x）≤h（x）max=h（0）=-1lt;0.

即g′（x）lt;0.

因此g（x）在（-∞，ln2）和（ln2，+∞）上单调递减.

又g（0）=0，当xgt;ln2时，g（x）gt;0.

因为函数f（x）有两个零点，所以直线y=a与函数y=g（x）的图象有两个公共点.

所以实数a的取值范围为（0，+∞）.

评注 解决含参问题时，首先，可以采用分离参数的方法，零点的个数即为两个函数交点的个数；其次，利用导数来处理分离出来的函数，根据单调性和函数值来模拟函数图象；最后，根据零点个数得到参数的取值范围.

4 结束语

求解函数零点的相关问题非常灵活，重要的是找到合适的方法.由以上展示的各种解题方法可以看出，数形结合法、零点定理法以及分类讨论法都是解决函数零点的重要方法，常常结合着导数、单调性和函数最值来辅助计算，很多题目都不是单一的解题方法，因此要结合具体题目具体分析.

参考文献：

［1］ 曹兵.利用函数图象确定零点个数[J].中学数学，2024（03）：55-56.

［2］ 张艳艳.求函数零点的个数的思路[J].语数外学习（高中版），2020（12）：48，75.

［责任编辑：李 璟］