运动学微分方程法对一道亚洲物理奥林匹克竞赛题的探索

摘 要：本文对第18届亚洲物理奥林匹克竞赛的理论第一题（E4）部分用运动学微分方程进行了新解探索，解决了原标准答案不易理解的问题。

关键词：运动学微分方程；高中物理；亚洲物理奥林匹克竞赛

1 引言

2017年，第18届亚洲物理奥林匹克竞赛在俄罗斯雅库茨克举办，竞赛中的三道理论题都围绕前沿科技模型展开。笔者在研究理论第一题超流涡丝模型时，对（E4）部分的解法产生了疑问，认为原标准答案虽巧妙地从能量角度进行了分析，但对能量等效模型的说明不够清晰。经过思考后，笔者提出了一种更为直接的运动学微分方程解法，在此基础上提出了原解法不易求解的新小问，并用本文讨论的方法给出了解答。

2 原试题E部分的解答与讨论

2.1 原题

（E1）画出细直涡旋丝的运动轨迹并求出其运动速度v与时间t的关系。

无穷大直角器壁的右上方充满超流体液氦，考虑放置在直角器壁附近的细直涡旋丝，初始时刻，细直涡旋丝与两器壁的距离均为h₀，如图2所示。

（E2）求细直涡旋丝的初始速度v₀的表达式。

（E3）画出细直涡旋丝的运动轨迹。

（E4）经过足够长时间后，求细直涡旋丝的速度v_∞的表达式。［1］

2.2 试题分析

此题E部分考查考生物理知识的类比迁移能力，因为流体不能穿过器壁进行流动，这类似于导体的静电屏蔽。电场强度不能穿过无穷大导体平面，于是联想到由唯一性定理支撑的电学镜像法。［2］因此，可以通过构造“镜像涡丝”来解决这一部分的问题。

2.3 原题E4部分解答

由于流速场分布与距离成反比，所以易知，对应超流势能为距离的对数函数。

如图3所示，细直涡旋丝有三个镜像涡丝，于是等效势能共有三项，细直涡旋丝的能量为

细直涡旋丝系统的能量守恒要求为

2.4 原题解答讨论

原题E4部分给出的解答，在能量处理方面初看有点奇怪。

因为有涡丝的流速场是有旋场，因此其本质上应是磁学的等效问题。对于有旋场，势能往往是无法定义的，答题者在解题时一般不会往构造有旋场势能的方面去想。仔细考虑本题的模型，涡丝是数学理想模型，在理想情况下，其半径应该是无限小。在全空间（除去涡丝存在的奇点）对于流速场取旋度为零，因此可以构造类似于磁标势的“流速势”［3］（绕涡丝速度场形式与无限长载流直导线周围产生的磁场形式类似）。由于在普通物理中很少涉及磁标势内容，答题者较难想到这一步。下面给出本文所要介绍的运动学微分方程法，此方法无需构造势能，只需从最基本的速度表达式出发，就可以解出原问题，同时还可以讨论更多的过程细节。

3 运动学微分方程解法

如图1所示，由（E2）部分的分析，可以得到镜像速度叠加后，任意位置处，细直涡旋丝沿x轴、y轴方向的速度分别为

与原解答采用能量法时得到的结果相同。

4 讨论

假如本题多设一问，提问过程中的运动学细节，比如问细直涡旋丝运动到x处所花的时间，此时能量法就无法直接处理了，但是用运动学微分方程仍可继续讨论。

将④式代入①式消去y，经过整理后可以得到

再次换元，令m－1＝n，代入⑥式可得

将⑦式两边积分，并将所有的换元都代回原方程，就可以得到

将⑧式反解后得到

将⑨式代入④式即可得到

利用解出的x（t）和y（t），可以得到任意时刻细直涡旋丝的位置、速度、加速度等运动学细节，从而可以对细直涡旋丝模型进行更深入的研究。

5 讨论

力学体系有以牛顿为代表的矢量力学（牛顿力学）和以哈密顿、拉格朗日等为代表的分析力学。前者以“力”为出发点，而后者以“能量”为基本要素。在物理学领域内，分析力学的基本原理适用性更广，能更为深刻且直接地体现体系的各种对称性和守恒性。在处理多自由度体系时，基于分析力学来从能量角度分析更易操作，而在面对某些有特定约束的问题时，从矢量力学的角度分析更为直观、易操作，且不易出错。合适地选取分析问题的工具，有时利用运动学微分方程，可使问题得以大大简化。

参考文献

［1］陈怡，杨军伟.亚洲物理奥林匹克竞赛理论试题与解析 第1-19届［M］.合肥：中国科学技术大学出版社，2021：285-291，300-305.

［2］［3］郭硕鸿.电动力学（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2008：57-63，107-113.