数学建模类教学的设计与实施

一、教学内容

“长方体和正方体的认识”是人教版小学数学五年级下册的内容，其利用生活中常见的元素，如纸巾盒、文具盒以及魔方等物品，引导学生通过观察、比较、分析不同物体的形状特点，进而构建长方体和正方体模型特点的认知，将抽象的数学概念转变为直观的图像（生活中常见的事物），降低了学生的学习难度。

二、教学目标

1.通过比较，归纳出长方体与正方体的基本特征，掌握其棱、顶点的数量关系。

2.在组建长方体和正方体的过程中，培养空间想象力与观察力。

3.培养数学模型意识和数学素养，感悟数学魅力。

三、教学重难点

教学重点：

1.理解长方体与正方体的基本特点。

2.掌握长方体与正方体的棱角数量、顶点数量以及彼此间的关系。

教学难点：

1.在对比中归纳和总结长方体与正方体的异同点。

2.培养数学建模意识与空间想象力。

四、教学过程

教师：同学们，大家看老师这里。我这里准备了各种形状的小盒子和积木，其中有正方体、长方体、圆锥体和四棱锥。请同学们结合之前所学的知识，观察这些物体的形状，识别出哪些是长方体，哪些是正方体。

学生仔细观察讲台上的各种物体。

学生：这些物体中纸巾盒、文具盒是长方体。

教师：你很快找到了长方体。哪位同学可以告诉我，剩下的物体中，哪些是正方体呢？

学生：魔方是正方体。

教师：很好。那么剩下的茶叶盒是什么形状呢？哪位同学回答一下？并说明你是怎么判断这个物体不是长方体也不是正方体的（此时举起桌上圆柱体的茶叶盒）。

学生：茶叶盒的中间是曲面，且两端是圆形，所以不是长方体或者正方体。

教师：你解释得非常好。接下来，请同学们来看看这个是什么形状。（教师举起一个四棱锥的积木）这个积木为什么不是正方体或者长方体呢？

学生：积木的形状与正方体和长方体都不一样，且顶部是尖尖的。

教师：同学们观察得都很仔细。通过刚刚的观察，同学们是不是发现长方体与正方体之间有一定的共同点呢？

学生（齐声）：是！

教师：那么，接下来，我们一同探究长方体与正方体的共同特征。现在，有哪位同学和大家分享一下你认识的长方体与正方体？

学生：我发现长方体与正方体的每个面都是平面，没有弯曲。

学生：无论是长方体还是正方体，从上、下或者左、右去观察均能发现其形状大小一样。

教师：根据你观察到的现象，说明长方体与正方体具有怎样的特征？

学生：长方体与正方体均是由6个面组成，并且每个面的形状是长方形或者正方形。

教师：大家同意他的说法吗？

学生（齐声）：同意。

教师：既然大家都同意，那我们一同来验证他的说法是否正确吧。

（分别举起刚才的纸巾盒、文具盒、牙膏盒、魔方等，请学生从不同的角度进行观察）

教师：同学们，你们数一数，正方体和长方体分别有几个面？

学生（齐）：6个面。

教师：很好，那我们再看看其他的物体，你们看这个茶叶盒有几个面？每个面都是什么形状？

学生：围成茶叶盒的共有3个面，其中有2个圆形面和1个曲面。

教师（拿起积木）：那积木共有几个面呢？围成积木的每个面的形状分别是什么？

学生：围成积木的共有5个面，每个面分别为1个正方形与4个三角形。

教师：根据刚才的观察，同学们能否总结出长方体与正方体的共同点是什么？

学生：长方体和正方体均由6个面组成，长方体的6个面可能都是长方形，也可能有正方形。但是正方体的6个面均是正方形。

教师结合学生的回答板书。

教师：同学们回答得非常好，这就是长方体与正方体的共同特征。这个特征是识别长方体与正方体的重要因素和判断依据。

教师：既然同学们已经知道长方体与正方体之间的特点，那么请同学们思考一下，为什么纸巾盒、文具盒等都是长方体，只有魔方是正方体呢？

学生：因为魔方的6个面均是正方形。但是在刚才的物体中，纸巾盒、文具盒中有四个面是长方形，两个面为正方形。

教师：你回答得很好。我们接着观察，长方体中有两个面是正方形，那么通常情况下这两个正方形分别在什么位置上？

学生观察纸巾盒。

学生：两个正方形是相对面。

教师：这两位同学说得都非常好。那么，我们看一下自己手中的长方体或者正方体，仔细观察是否也能得到同样的结论。

（学生通过观察手中的长方体以及正方体的物体进行验证）

教师板书并回答：根据刚才的观察，我们可以得出长方体可能所有面都是长方形或者其中有2个面是正方形。而正方体则是所有的面都是正方形。

教师：同学们，除了形状外，长方体与正方体6个面在大小等方面有什么共同点呢？请同学们以小组合作的方式进行讨论，还可以用自己手中的尺子测量、比较。

（学生以小组的方式进行互动、讨论，并交流）

小组1代表：我们小组发现长方体每组相对的两个面不仅形状相同，大小也完全相等。

小组2代表：以正方体为例，我们小组发现，其六个面都是正方形，且每个面大小完全相同。

教师：刚才两组同学回答得非常好。你们是如何得到这样的结论的呢？

小组1代表：我们以手中的长方体橡皮为例。我们在纸上描绘其中一个面，然后将相对面放在上面进行比较，发现这两个图形完全重合。然后我们将其他面进行同样的比较，最终得出橡皮相对面的图形大小完全相同。

小组2代表：我们测量了正方体魔方的长和宽，最后得出相对面的图形长、宽相同。

根据学生的回答板书。

教师：上课前，我让每个小组准备了不同长度的小棒与橡皮泥球，现在请同学们拿出来，尝试利用这些材料制作长方体与正方体。

学生分组合作，动手制作并展示。

小组1展示：我们选择了8根3 cm的小棒和4根6 cm的小棒，并用8个橡皮泥球进行拼接，最终形成一个长方体。

教师：你们做得非常好，那么小棒与橡皮泥分别代表长方体中的哪些部分呢？

小组1代表：小棒是长方体的边，橡皮泥是长方体的每个顶点。

教师：解释得非常好。通常情况下，我们将长方体或者正方体中的边称为“棱”。现在请小组1的同学数一数，长方体共有多少个棱和顶点。

小组1代表：长方体有12条棱和8个顶点。

教师：很好。同学们来看，长方体一共有6个面，每个面相对的两条棱长度相同，这也是长方体一个非常明显的特点。现在还有其他小组的同学展示自己的作品吗？

小组2代表：我们一共使用了12根6 cm的小棒和8个橡皮泥小球。

教师：一个正方体中有多少条棱或者多少个顶点呢？相对的棱的长度是否相等？

小组2代表：在正方体中，有12条棱和8个顶点，相对棱的长度相等。其实，我们小组在制作的时候就发现，正方体的所有棱长度都相等。

教师板书并总结引出后面探讨的内容：通过各个小组的作品展示，我们知道了长方体与正方体的棱与顶点的数量。如果想判断是正方体还是长方体，我们需要知道几条棱的长度呢？

学生（指着刚完成的模型）：同一个橡皮泥球连接着三根小棒，我们至少知道3条棱的长度才能判断，否则很容易出现误差。

教师端起学生的模型：那我们尝试拿走其他的小棒与橡皮泥球，看看是不是这样。

教师（指着其中一个顶点连接的三条棱）：同学们，你们能否想象到原来的长方体是什么样子的呢？

学生（齐声）：能！

教师总结：知道了同一顶点的三条棱的长度，我们就可以确定这个长方体的大小。我们可以将这三条棱分别称作长方体的长、宽和高。那么，对于正方体呢？我们需要知道多少条棱的长度？

学生：1条，因为正方体每条棱的长度都相同。

教师：通过对比我们可以理解长方体与正方体的关系。现在我们结合刚才所学习内容，在方格纸上绘制一个长方体或者正方体。

学生以小组的形式尝试绘图，后选择其中典型的图形，使用投影仪进行展示。

教师：现在老师展示的就是刚才同学们绘制的成果，你们觉得哪些图形看上去更像是长方体或者正方体呢？

（学生讨论并发表自己的看法）

教师随后向学生展示两组标准的长方体与正方体图形，供学生借鉴与参考。

教师：同学们，你们能在图形中找到长方体或者正方体的6个面吗？

学生上台完成。

教师：你们观察得很仔细。除了面，同学们还能想到什么？请同学们仔细观察，并以小组的方式进行讨论。

（学生分组讨论，后进行全班分享）

学生：在这两组图像中，有些棱被画作实线，有些则被绘制成虚线。

教师：图片中的实线与虚线分别表示什么呢？为什么会有虚线和实线之分呢？

学生：当我们在观察物体的时候，我们通常只能看到一个面或者是侧面，有些面是看不到的，所以将能看到的面画成实线。

教师：很好。将看不到的一面用虚线来表示，可以很好地呈现我们看到的长方体或正方体的视觉效果。现在，请同学们根据图示，思考本节课所学的内容，归纳总结长方体与正方体的异同点。

……

五、教学反思

“长方体和正方体的认识”教学中，笔者通过引入生活中最常见的物体，如纸巾盒、文具盒以及魔方等，引导学生在比较、分析中总结长方体与正方体的基本特征以及共同点和差异，以此激发学生的学习兴趣。同时组织各类小组活动，通过动手制作等加深学生对长方体与正方体特征的理解，培养学生的空间想象力。在整体教学中，笔者通过实物展示、问题探究以及动手操作等多种方式，让学生在观察、对比、思考与实操中形成对正方体和长方体的认识，但未考虑到学生自身的空间想象力较为薄弱，导致部分学生出现了混淆或者是概念不清的问题。因此，以后的教学中，笔者需要不断地鼓励学生多观察、多思考，以更好地理解立体图形，加深学生对数学模型特征的认识。

（作者单位：大像山镇柳湖小学）

编辑：常超波