四边形最值问题解题策略

四边形最值问题因常与三角形、函数等知识综合考查，故而一般难度较大，下面举例介绍此类题的解题策略.

例1 如图1，菱形纸片ABCD的边长为2，∠ABC = 60°，如图2，翻折∠ABC，∠ADC，使两个角的顶点重合于对角线BD上一点P，EF，GH分别是折痕. 设AE = x（0 < x < 2），给出下列判断：

①当x = 1时，DP的长为[3]；

②EF + GH的值随x的变化而变化；

③六边形AEFCHG面积的最大值是[332]；

④六边形AEFCHG周长的值不变.

其中正确的是（ ）.

A. ①② B. ①④ C. ②③④ D. ①③④

解析：根据菱形的性质，先确定出△ABC是等边三角形，再用x表示出EF，BP，DP，GH，然后取x赋予的值，即可求出EF + GH的值；利用面积公式和周长公式分别确定相应的函数关系，即可解决问题.

（1）∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC = 60°，∴AC = AB = 2，BD = 2[3].

由折叠知，△BEF是等边三角形，当x = 1时，BE = AB - AE = 1.

由折叠知，BP = 2 × [32] = [3] = [12]BD，∴DP = [3]. 故①正确.

（2）如图3，设EF与BD交于M，GH与BD交于N，

∵AE = x，∴BE = AB - AE = 2 - x.

∵△BEF是等边三角形，∴EF = BE = 2 - x，

∴BM = [3]EM = [3] × [12]EF = [32]（2 - x），

∴BP = 2BM = [3]（2 - x），

∴DP = BD - BP = 2[3] - [3]（2 - x） = [3]x，

∴DN = [12]DP = [32]x，∴GH = 2GN = 2 × [12]x = x，

∴EF + GH = 2.

故②错误.

（3）当0 < x < 2时，

∵AE = x，∴BE = 2 - x，

∴EF = 2 - x，∴BP = [3]（2 - x），

∴DP = [3]x，∴GH = 2 × [x2] = x = DG = DH，

∴S六边形AEFCHG = S菱形ABCD - S△BEF - S△DGH

= [12] × 2 × 2[3] - [34]（2 - x）2 - [34]x2

= 2[3] - [32]（x - 1）2 - [32]

= -[32]（x - 1）2 + [332].

当x = 1时，六边形AEFCHG面积最大，最大值为[332].

故③正确.

（4）六边形AEFCHG周长 = AE + EF + FC + CH + HG + AG = x + 2 - x + x + 2 - x + x + 2 - x = 6，是定值. 故④正确.

即正确的有①③④，故选D.

例2 已知：如图4，四边形ABCD是边长为1的正方形，对角线AC，BD相交于点O. 过点O作一直角∠MON，直角边OM，ON分别与OA，OB重合，然后逆时针旋转∠MON，旋转角为θ（0° < θ < 90°），OM，ON分别交AB，BC于E，F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是 （填序号）.

①EF = [2]OE；

②S四边形OEBF∶S正方形ABCD = 1∶2；

③BE + BF = [2]OA；

④OG·BD = AE2 + CF2；

⑤在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE = [34].

解析：本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题. 注意掌握转化思想的应用是解本题的关键.

（1）由四边形ABCD是正方形，∠EOF = 90°，可得∠BOE = ∠COF.

易证△BOE ≌ △COF（ASA），∴OE = OF，

∴△OEF是等腰直角三角形，∴EF = [2]OE.

故①正确.

（2）∵S四边形OEBF = S△BOF + S△BOE = S△BOF + S△COF = S△BOC = [14]S正方形ABCD，

∴S四边形OEBF∶S正方形ABCD = 1∶4.

故②错误.

（3）∵△BOE ≌ △COF，∴BE + BF = BF + CF = BC = [2]OA.

故③正确.

（4）∵∠EOG = ∠BOE，∠OEG = ∠OBE = 45°，∴△OEG ∽ △OBE，

∴OE∶OB = OG∶OE，∴OG·OB = OE2.

∵OB = [12]BD，OE = [22]EF，∴OG·BD = EF2.

∵在Rt△BEF中，EF2 = BE2 + BF2，∴EF2 = AE2 + CF2，

∴OG·BD = AE2 + CF2.

故④正确.

（5）如图5，过点O作OH ⊥ BC于H，

∵BC = 1，∴OH = [12]BC = [12].

设AE = x，则BE = CF = 1 - x，BF = x，

∴S△BEF + S△COF = [12]BE·BF + [12]CF·OH = [12]x（1 - x） + [12] × （1 - x） × [12] = -[12][x-142] + [932].

∵-[12] < 0，∴当x = [14]时，S△BEF + S△COF的值最大.

即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE = [14].

故⑤错误.

故答案为①③④.

拓展训练

1. 如图6，正方形ABCD边长为1，点E在边AB上（不与A，B重合），将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A1处，连接A1B，将A1B绕点B顺时针旋转90°得到A2B，连接A1A，A1C，A2C. 给出下列四个结论：

①△ABA1 ≌ △CBA2；

②∠ADE + ∠A1CB = 45°；

③若点P是直线DE上的动点，则CP + A1P的最小值为[2]；

④当∠ADE = 30°时，△A1BE的面积为[3-36].

其中正确的结论个数是（ ）.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2. 如图7，在四边形ABCD中，AB = CD = 6，BC = AD = 8，∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°，E为CD边的中点，P为四边形ABCD边上的动点，动点P从A出发，沿着A→B→C→D运动到点D停止，设点P经过的路程为x，△APE的面积为y.

（1）当x = 8时，求对应y的值.

（2）当点P在CD边上时，求y与x之间的函数关系式.

（3）如图8，当点P在线段BC上运动时，是否存在点P使得△APE的周长最小？若存在，请画出此时点P的位置，并写出必要的画图步骤；若不存在，请说明理由.

答案：1. C

2. （1）21

（2）[y] = [68-4x14≤x<17 ，4x-6817<x≤20.]

（3）存在，点[P]在线段[BC]上[PC] = [83].

（作者单位：开原市民主教育集团里仁学校）