对角互补四边形的探索

典例剖析

例 如图1，四边形ABCD中，∠B + ∠D = 180°，且AB = AD. 求证：CA平分∠BCD.

解法1：（双垂法）如图2，过点A作AE ⊥ BC交BC于点E，作AF ⊥ CD交CD延长线于点F.

∵∠B + ∠ADC = 180°，∠ADC + ∠ADF = 180°，∴∠B = ∠ADF. ∵AE ⊥ BC，AF ⊥ CD，∴∠AEB = ∠AFD = 90°. ∵AB = AD，∴△ABE ≌ △ADF，∴AE = AF.

∵AE ⊥ BC，AF ⊥ CD，∴CA平分∠BCD.

解法2：（旋转法）如图3，将△ABC绕点A逆时针旋转∠BAD的度数至△AED.

∴△ABC ≌ △ADE，∴AC = AE，∠B = ∠ADE，∠ACB = ∠E.

∵∠B + ∠ADC = 180°，∴∠ADC + ∠ADE = 180°，∴点C，D，E共线.

∵AC = AE，∴∠ACE = ∠E = ∠ACB，∴CA平分∠BCD.

解法3：（截长补短法）如图4，延长CD至点E，使DE = CB，连接AE.

∵∠B + ∠ADC = 180°，∠ADC + ∠ADE = 180°，∴∠B = ∠ADE.

∵AB = AD，CB = DE，∴△ABC ≌ △ADE，∴AC = AE，∠ACB = ∠E.

∴∠ACE = ∠E = ∠ACB，∴CA平分∠BCD.

变式 如图1，四边形ABCD中，∠B + ∠D = 180°，且CA平分∠BCD.

求证：AB = AD.

解法1：（双垂法）如图5，过点A作AE ⊥ BC交BC于点E，作AF ⊥ CD交CD延长线于点F.

∵AE ⊥ BC，AF ⊥ CD，CA平分∠BCD，∴AE = AF.

∵∠B + ∠ADC = 180°，∠ADC + ∠ADF = 180°，∴∠B = ∠ADF.

∵AE ⊥ BC，AF ⊥ CD，∴∠AEB = ∠AFD = 90°，∴△ABE ≌ △ADF，∴AB = AD.

解法2：（旋转法）如图6，作∠DAE = ∠BAC，AE交CD的延长线于点E.

∵∠B + ∠ADC = 180°，∠ADC + ∠ADE = 180°，∴∠B = ∠ADE，∴ ∠ACE = ∠E.

∵CA平分∠BCD，∴ ∠ACE = ∠ACB， ∠E = ∠ACB，∴AC = AE，∴△ABC ≌ △ADE.

∴AB = AD.

解法3：（截长补短法）如图7，延长CD至点E，使CE = CB.

∵CA平分∠BCD，∴ ∠ACE = ∠ACB.

∵AC = AC，∴△ABC ≌ △AEC，∴AB = AE，∠B = ∠E.

∵∠B + ∠ADC = 180°，∠ADC + ∠ADE = 180°，∴∠B = ∠ADE = ∠E，∴AD = AE，

∴AB = AD.

勤于积累

一、对角互补四边形辅助线引法

1.见角平分线，作双垂线.

过角平分线上的一点向角的两边作垂线，可得等线段.

2. 旋转出等腰，等腰可旋转. 当问题中出现“共顶点，等线段”结构时，可考虑“造旋转，出全等”解题策略，化分散为集中，化不规则为规则.

若用旋转作辅助线，则需证明三点共线，如例题的解法2；若采用作双垂线、截长补短等方法，则需证明全等，如例题的解法1和解法3.

二、一组邻边相等的对角互补四边形三种常见类型的结论

1.含一对直角和一组相等邻边型.

如图8，四边形ABCD中，若∠ABC = ∠ADC = 90°，AD = CD，则有AB + BC = [2BD].

如图9，四边形ABCD中，若∠ADB = ∠ACB = 90°，AD = BD，则有AC - BC = [2CD].

2.含60°角和一组相等邻边型.

如图10，四边形ABCD中，若∠BAD + ∠BCD = 180°，∠BAD = 60°，AB = AD，则有CD + BC = AC.

3.含120°角和一组相等邻边型.

如图11，四边形ABCD中，若∠BAD + ∠BCD = 180°，∠BAD = 120°，AB = AD，则有CD + BC = [3AC].

如图12，四边形ABCD中，若∠BDC = ∠BAC = 120°，BD = CD，则有AC - AB = [3AD].

拓展训练

1.如图13，四边形ABCD中，∠ABC = ∠ADC = 90°，设∠DBC = α.

求证：CD = AD × tan α.

2.综合与实践.

在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．

定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．

（1）操作判断.

用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图14所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 （填序号）．

（2）性质探究.

根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质. 下面研究与对角线相关的性质．

如图15，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB = AD，AC是它的一条对角线．

①写出图中相等的角，并说明理由；

②若BC = m，DC = n，∠BCD = 2θ，求AC的长（用含m，n，θ的式子表示）．

（3）拓展应用.

如图16，在Rt△ABC中，∠B = 90°，AB = 3，BC = 4，分别在边BC，AC上取点M，N，使四边形ABMN是邻等对补四边形. 当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长．

参考答案：

1.如图17，作∠CDE = ∠ADB，DE交BC的延长线于点E.

∵∠ADC = 90°，∴∠ADB + ∠BDC = ∠CDE + ∠BDC = 90°.

∵∠ABC = ∠ADC = 90°，∠ABC + ∠BCD + ∠ADC + ∠A = 360°，∴∠BCD + ∠A = 180°.

∵∠BCD + ∠DCE = 180°，∴∠A = ∠DCE，

∴△ADB [∽] △CDE.

∴[CDAD] = [DEBD] = tan α，∴CD = AD × tan α.

2. （1）②④ （2）①∠ACD = ∠ACB，理由略 ②AC = [m+n2cos θ] （3）BN的长为[1252]或[1272]．

（作者单位：沈阳市第一三四中学）