抓“数的身份”学定律本质，助推学生运算能力提升

［摘 要］ 运算律是培养学生运算能力的一个重要环节。研究者通过紧抓“数的身份”，让学生学习有整体的交换律；辨析“数的身份”，让学生学习讲道理的交换律；显化“数的身份”，让学生学习可视化的交换律，最终助推学生运算能力的提升。

［关键词］ 数的身份；运算律；运算能力

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：数的运算重点在于理解算理、掌握算法，……经历算理和算法的探索过程，……感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力，运算律是理解算理、掌握算法的重要依据。

然而，学生对数在各种算式中的名称（以下简称“数的身份”）以及运算律的掌握不理想，究其原因，笔者认为运算律的教学中存在一些问题：一是内容分散，教材将交换律按运算方法分散编排在加法与乘法运算中，使学生对交换律的理解缺乏整体感受；二是算理不清晰，在教学时部分教师只是注重交换律的提炼，忽略了对其进行算理探究，使得学生不知道两个数可以交换位置的算理，也不知道怎样的两个数才可以交换位置，让学生在后续的练习中无法对算式进行正确转换。为计算简便，部分学生主观地、随意地改变数的位置，将不能合并的两个数进行凑整，导致做错题目（如图1）；三是学练不匹配，教材提供的例题只涉及典型题，而学生在做题时要面对各式各样的变式题，因此他们无法将课堂上学到的模型迁移、转化到各种变式练习中，使得学习到的类型与做题的类型严重不匹配（表1）。上述问题导致学生对运算律的理解不深入，思维结构混乱。

一、紧抓“数的身份”，让学生学习有整体的交换律

从教材中的练习和学生后续的练习中可以看出，学生仅在加法与乘法中学习两种常规类型的交换律远远不够。从后测数据中能看出，学生能将所学的常规交换律类型迁移应用到其他变式中的寥寥无几。通过十多年的实践，笔者认为不能将交换律教学局限在加法与乘法运算中，应该对交换律的应用环境进行全盘梳理，提炼出能应用交换律的各类题型，让学生知晓和理解交换律在各种运算中的具体表现，进而通过对比提炼出交换律的内在本质。

1. 紧抓“数的身份”，在连减连除中发现交换律

在进行交换律教学时，教师可以先将加法交换律与乘法交换律合并在一起来认识交换律现象与概念；然后，利用交换律对连加、连乘算式进行各种变式练习，体验交换律的初步应用；最后，由连加、连乘延伸到连减、连除，让学生发现在连减、连除运算中存在交换律。

教学片段：探索减法与除法中的交换律

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在学习加法交换律后，学生通过探究活动，发现乘法中也有交换律，减法和除法不适用交换律。

（1）探索连加、连乘算式中的交换律

①在连加算式中学习交换律。

出示连加算式：27+35+73。

师：你们能利用交换律交换它们的位置吗？有几种方法？

②学生举例验证，得出连加算式交换律的字母式。

三个数连加：a+b+c=a+c+b=b+a+c=b+c+a=c+a+b=c+b+a。

③学习连乘算式中的交换律。

三个数连乘：a×b×c=a×c×b=b×a×b=b×c×a=c×a×b=c×b×a。

（2）发现连减、连除中的交换律

①探索连减中的交换律。

师：在连减或连除算式中有交换律吗？你们能通过举例来说明吗？

生1：我通过举例发现在三个数连减的减法算式中有交换律。我的例子是：9-4-3=2，9-3-4=2，所以9-4-3=9-3-4。

师：我们刚才的结论是减法没有交换律，生1说减法中有交换律，并举了例子，大家怎么看？

生2：算式中3和4的身份都是减数，根据我们刚才的发现，身份相同的两个数可以交换位置。

生3：刚才我们研究的减法算式只有两个数，两个数的身份不同，不能交换位置；连减算式至少是三个数，算式后两个数的身份相同，身份相同可以交换位置，我们就可以交换4和3的位置。

生4：第一个数的身份是被减数，算式中没有其他数的身份与它相同，所以它得在原位不动；第二个数与第三个数的身份相同，因此它们两个数的位置可以交换。

生5：在两个数的减法算式中没有交换律，在三个或三个数以上的减法算式中有交换律。

生6：我觉得生1的发现是对的。还可以这样想，我一共有9元钱，买钢笔花去4元，买铅笔花去3元，在付钱的时候可以先付钢笔的钱再付铅笔的钱，也可以先付铅笔的钱再付钢笔的钱，即：9-4-3=9-3-4。

②总结连减算式中的交换律。

③学习除法交换律。

2. 紧抓“数的身份”，在减除性质中发现交换律

人教版教材将“五大定律”“二大性质”统一到加法与乘法两大运算中，淡化了减法性质与除法性质的教学。在处理这部分教材时，部分教师将其单独拎出来教学（因为很重要）；部分教师将这块内容当成多样化解法来处理。笔者认为可以按运算律来推进（如表2），将性质部分内容（a-b-c=a-c-b）归并到交换律中，让学生在连减、连除中发现交换律，使交换律内容更丰富，进而让学生对交换律的体验更深刻。

3. 紧抓“数的身份”，在同级运算中发现交换律

根据多年的教学实践，笔者认为交换律不仅存在于加法与乘法运算中，在连加、连减、连乘、连除、加减、乘除等运算中同样存在交换律。在课堂教学时，教师要对交换律的内容进行调整、扩展、完善与填充（如表3），让学生在各种运算中尝试与应用交换律，体会交换律在各种运算中的存在情况，最终通过对比数位置变化后的身份，提炼出交换律的内在本质和应用环境，学习有整体的交换律。

二、辨析“数的身份”，让学生学习讲道理的交换律

在学完交换律之后，部分学生虽然会做题，但不明白算式中这些数的位置为什么可以交换、具备什么条件的两个数可以交换位置以及在什么运算中可以使用交换律。这说明学生在学习交换律时只是学到了交换律外在的“形”——数据位置的交换，没有学到交换律内在的“神”——这些数据能这样移动的本质原因。

“数的身份”强调数在各种运算中的角色，“数的身份”决定算式中哪些数可以交换位置而不会改变结果，“数的身份”为学生理解交换律的本质提供了依据。因此，教师可以依托四则运算中“数的身份”引导学生解决学习交换律时遇到的问题。

1. 两个数为什么可以交换位置

在教学交换律时，教师通过举例让学生发现交换加法中两个数的位置进行计算，结果不变。学生虽然看到两个数交换了位置，但是并不明白这两个数为什么可以交换位置。教师要引导学生给算式中每个数附上身份，让学生理解两个数的位置虽然发生了变化，但“数的身份”并没有发生变化。这是学生理解交换律的前提，也是交换律的内在本质：交换两个数的位置时，要确保这两个数的身份没有发生变化。

2. 怎样的两个数可以交换位置

当学生明白了交换律的前提后，教师要进一步帮助学生去探索怎样的两个数可以交换位置。教师以“数的身份”为抓手，通过交换两个数的位置，辨析它的身份有没有发生变化，从而明白身份相同的两个数可以交换位置。比如：a-b-c=a-c-b中b和c的身份都是减数，交换它们的位置后，b和c的身份保持不变。加数与减数可以交换位置，因数与除数也可以交换位置。比如，a+b-c=a-c+b，在原有算式中b和c的身份虽然不同，但在交换它们两者的位置之后，b仍然是加数，c也还是减数，没有改变这两个数原有的身份，这样的两个数也可以交换位置。

教学片段：探索身份相同的两个数可以交换位置

师：怎样的两个数可以交换位置？

生1：我觉得要交换两个数的位置首先要考虑这两个数的身份。

生2：在加法算式中交换两个数的位置，这两个数的身份还是加数。因此，我认为相同身份的两个数才可以交换位置。

生3：加法中有交换律是因为交换两个数的位置，这两个数的身份并没有发生改变。因此，我觉得交换位置后数的身份不发生变化，这样的两个数就可以交换位置。

生4：我懂了，在减法中没有交换律是因为交换两个数的位置后，这两个数的身份变了。

生5：我明白了只有身份相同的两个数才可以交换它们的位置。当两个数的身份不相同时它们的位置是不能交换的。

师（小结）：加法算式和乘法算式中的两个数能交换位置，是因为这两个数的身份相同。因此，身份相同的两个数能交换它们的位置。

3. 什么样的算式存在着交换律

在两个数的运算中只有加法算式和乘法算式存在交换律，将算式拓展到三个数时，在连加、连减、连乘、连除等运算中都存在交换律（如表4）。三个数的运算一共有16种运算方式（没有括号），教师要继续引导学生探讨在剩下的12种运算中是否还存在交换律。

三、显化“数的身份”，让学生学习可视化的交换律

1. 学习时显化“数的身份”，了解学生学习交换律的进程

在学习交换律时，教师要求学生将“数的身份”写出来，这样既可以让学生明白每个数在各个算式中的身份，又为后续利用交换律交换算式中的数提供了直观的依据。通过显化“数的身份”，教师可以清楚地看到每个学生学习交换律的进程。

2. 做题时显化“数的身份”，清楚学生掌握交换律的水平

在做题时，教师要求学生写出算式中每个数的身份（如图2），不仅为后续的做题提供了依据，而且检查了学生对交换律的掌握情况，使学生不用他人评价就能知道自己对交换律的掌握程度。

3. 订正时显化“数的身份”，拉长学生学习交换律的周期

订正错题时，教师要引导学生先写出“数的身份”，让“数的身份”成为对题目中数据位置变化的抓手，并通过“数的身份”的书写让学生建立正确的思维秩序。教师要引导学生在做题时关注算式中每个数的身份，“数的身份”显化了，才能真正突破学生的思维盲区，让学生经历从不会到会的过程。

经过多年的教学实践，笔者欣喜地发现，学生以“数的身份”为切入点学习交换律，对交换律的理解会更加完整和深入。通过细致辨析“数的身份”，学生能够洞察交换律的内在本质。教师借助“数的身份”这一有力抓手，让学生的学习和订正过程变得有章可循；通过凸显“数的身份”，使学习内容更加模块化，为学生学会学习提供了有效的载体；迁移“数的身份”的概念，为学生后续学习结合律等数学概念作铺垫，使学生能够顺利实现知识的迁移与应用。总之，教师以“数的身份”为抓手引导学生学习交换律，不仅能提升学习效果，也能为发展学生数学素养奠定坚实的基础。