“为深刻理解而教”的内涵、价值与教学路径重构

［摘 要］ 数学深刻理解涉及深层次的认知过程和知识应用，指向结构化理解以及更高的文化感悟与理解，具有真实性、可视化、可迁移、自调控等特征。在小学数学教学中，教师可以通过关注情境、关联结构、有效迁移、充分反省、注重评价等教学路径让学生深刻理解数学内容。

［关键词］ 小学数学；深刻理解；情境；结构；迁移

当下，数学教育领域涌现许多有研究价值的理念，如“深度学习”“学为中心”“结构化教学”等，这些教育教学理念都和“深刻理解”有紧密的联系。深刻理解的核心就是教师要为学生的可持续发展提供支点，支持学生进行和谐、个性、快乐、有意义的学习。“数学深刻理解”的本质是一个涉及知识获取、应用和深层次认知过程的复杂现象，它不仅包括对数学事实、概念、原理和方法的理解，还涉及对数学本质、数学思想方法的探索和认识。数学理解的过程是多层次、多维度的，学生需要通过不断实践和反思来深化与拓展。学生只有深刻理解学习内容，才能掌握数学思想方法和提升解决问题的能力。“深刻理解”更加关注培养学生的理性精神和思维品质，为数学教育教学提供一种全新的视角。

一、“数学深刻理解”的内涵与特征剖析

1. 相关概念的解析

（1）“理解”的内涵

在厘清什么是“数学深刻理解”之前要思考什么是“理解”。“理解”是一个多维度的通识概念，涉及心理学、教育学、哲学等多个领域。从心理学的角度来看，“理解”被看作是一种心理活动的过程，涉及对言语和行动意义的理解［１］；从教育学的角度看，“理解”是学习者认知结构的建构和知识意义的建构，它不仅指向学习结果，更是一种处于不断迭代、发展的过程。有人将理解划分为不同的层次，如了解、领会、掌握、熟练运用等，认为是否能进行“迁移”是理解的表征。无论如何，“理解”要以可视化的表现作为评定标准。“理解”既有助于学生完善已有的知识结构、认知结构、方法结构和思维结构，又便于建构、同化新的学习对象，这是一个双向促进的良性循环的学习过程。

（2）“数学理解”的内涵

“数学理解”的内涵涉及知识的建构、应用和创新，它不仅是对数学知识的记忆和重复，更是一种深层次的认知活动，涉及认知过程与结果的相互融合。“数学理解”以数学知识的结构化、网络化和丰富联系为本质，以生成性和发展性为特征，以重新组织为形成机制，以自主活动为形成条件［２］。“数学理解”是一个不断调整、分层次、非线性发展的过程，建立在学生已有的知识结构和认识结构之上，学生将新获取的外部信息主动与已有信息进行不断交互，从而形成构建新知、获取新经验的认知活动。

“数学理解”包括对数学概念、性质、法则等方面的全面性把握。数学概念具有抽象性，这是数学的本质特征之一，这种抽象性不仅体现在数学概念的形成过程中，也体现在数学知识的构建和应用中。因此，教师要引导学生站在结构化、整体化、系统化的视角去构建知识体系。这涉及数学理解过程的多样性、抽象性、系统性，这种理解不仅是对数学符号的记忆，而且能够深入数学概念的本质，把握其内在逻辑和应用范围。“数学理解”的多样性不仅包括对数学概念、知识和技能的不同层次的理解，还包括教学方法和策略的多样化，以及经验性理解、概念性理解和操作性理解。

（3）“数学深刻理解”的内涵

事实上，“数学理解”涉及知识的层次性，包括零层次、常识性层次、逻辑性层次、观念性层次等［３］。这些层次反映了数学理解的不同深度和广度，从直观理解到抽象理解，再到创新性理解，每个层次都要求学生在前一个层次的基础上进行深化和拓展。如图1，理解性学习具有明显的层级特征［４］。

数学课堂追求的是“深刻理解”。“数学深刻理解”是在浅层次理解的基础上进一步深化，它已经超越了经验性理解和形式化理解。“数学深刻理解”涉及更深层次的认知过程和知识应用，指向结构化理解以及更高的文化感悟与理解。“数学深刻理解”是学生在对数学概念、性质、法则的接收、处理和记忆的基础上，经历横向数学化与纵向数学化的过程，完成知识之间关联的构建以及跨学科的学习，这种全方位的学习过程有助于学生构建更加全面和系统的认知结构。因此，“数学深刻理解”是指学生在真实情境中通过问题解决体现知识网络的社会建构性、关联结构性和主体参与性，进而形成批判性思考和创造性应用［５］。数学不是一门静态的学科，它的应用是动态变化的。“深刻理解”的达成有助于学生用数学的眼光去解决复杂情境中的实际问题，让学生借助实践和应用进一步加深对数学概念的理解。

2. “数学深刻理解”的特征

（1）真实性——以“真实情境”唤醒已有经验

“数学深刻理解”的特征之一是具备真实性的问题情境，“真实性”是数学核心素养的关键要素之一。在实际教学情境中，部分学生只是在某个单元学习过程中才能学会相对应的知识，一旦跳出单元或者学科的框架，这些知识则难以被激活，像这样的知识被称为“惰性知识”。“深刻理解”强调真实情境，是为了唤醒学生的“惰性知识”。教师通过开放性问题或情境模拟，让学生在解决问题的过程中深入探索、理解和应用知识点，引发学生对已有知识和新知识之间的关系进行思考，从而促进“深刻理解”的发生。“数学深刻理解”意味着学生能够灵活运用相关知识和活动经验、生活经验进行迁移和应用，“深刻理解”不仅是“知”，还要能“做”，“知行合一”才是真正的理解。

（2）可视化——以“认知图式”作为心理依托

学生在学习一个新的数学概念时，需要调动相关联的已有知识和经验，借助图式表征对新概念进行拆解与重构，进而实现思维的可视化，展现不同学生所处的认知水平。借助“认知图式”在一定程度上能让学生避免知识学习的碎片化、零散化，如“思维导图”帮助学生建立知识间的联系和厘清知识脉络，“数学深刻理解”往往通过应用数学认知图式促进学生对数学概念的深刻理解。

（3）可迁移——以“专家思维”解决实际问题

“高通路迁移”是指学生能够将所学知识从具体情境中抽象出来，并应用于新的、未接触过的情境中。这种迁移不是简单的知识复制或重复，而是学生在“数学深刻理解”的基础上进行创新性的思考和应用。“数学深刻理解”是否达成的表征之一就是观察学生的学习过程是否能够产生“高通路迁移”和形成专家型思维，是否能够将抽象的知识具体化，创造性地利用所学知识解决新的问题。

（4）自调控——以“评价反思”优化认知结构

“深刻理解”的数学课堂是能够体现“教—学—评”一致性的新型课堂。“反馈”作为一个教育心理学的重要概念，是保障学生学习活动得以真正发生的重要手段。评价的出发点和落脚点是促进学生的可持续发展。这种“反馈性”体现在学生了解评价目标、评价任务中自身表现与高水平表现之间的差距以及对于出现的差距进行有效调控等。

其实，学生在完成评价任务的过程中已经自主实现“可理解性”的学习，厘清数学知识的来龙去脉，逐步构建知识网络。教师要以“数学深刻理解”为目标，以评价为媒介，以数学素养提升为追求，全面提升学生的元认知水平，推动其理解过程逐步生动化、全面化、系统化，使学生的数学理解真实且深刻。

二、“数学深刻理解”的价值追寻

1. 学生高阶思维发展的“生长点”

学生在对数学概念、性质、法则等学习对象进行初步感知、建立表象的过程中，其思维得到不同程度的发展，“数学深刻理解”格外关注高阶思维形成的路径。高阶思维包含问题的发现与解决能力、创造性思维、批判性思维和元认知能力等重要组成部分，“数学深刻理解”对于学生高阶思维的培养具有重要意义。“问题”的发现、提出、探究与解决贯穿高阶思维活动的全过程，问题解决的过程处处体现着思维的深刻性，这是高阶思维不断发展、完善的不竭动力。此外，几乎所有的数学思想、方法都渗透在学生深刻理解的认知过程之中，数学学习不仅是知识与技能的习得，更是学科素养的提升与发展。

2. 学生理解学科大概念的“触发点”

“大概念”是居于学科核心地位的具有统领性的概念，其提取过程伴随着学生对数学概念的深刻理解，因为只有深刻理解才能实现知识间的关联与融通，才能实现认知的建构与优化，在知识结构与认知结构的形成过程中大概念才有可能从若干点状的知识中被提炼出来。学科大概念具有一定的抽象性、概括性，因此围绕大概念进行学习会激发学生一系列的知识和经验，大概念的探究性习得的过程自然地伴随着学科知识结构化、网络化的过程。在这个过程中，学生对新知的理解以及新知和已有知识结构进行相互作用，不断呈现为表征、图示、同化、顺应和平衡的形态。

3. 学生核心素养形成的“延伸点”

浅层学习是指学生所习得的是“惰性知识”，它们不能在有关学科情境或者生活情境中被有效激活。在实际教学中，学生仅靠机械记忆所获取的概念、定理等内容大部分都属于“惰性知识”，因为这些知识未能在学生的头脑中进行深层次加工。在“素养本位”的价值追求引领下，教师应引导学生进行深刻思考，开展深层学习。学生只有经过深刻的数学思考过程，“惰性知识”才能被激活。创造性地应用知识是素养形成的重要标志，因此，“数学深刻理解”是核心素养培育的重要手段。

三、小学数学教学中学生深刻理解的路径探寻

1. 关注情境，为学生深刻理解筑牢“四基”

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：注重发挥问题情境对学生主动参与教学活动的促进作用，使学生在活动中逐步发展核心素养。近年来，创设问题情境得到越来越多教师的关注，问题情境能缩短学生已有的认知经验、生活经验与数学本身的距离。在实际教学中，创设问题情境时教师常常聚焦于知识层面的认识与理解，无法为促进学生的自主建构、达成数学理解搭建阶梯。问题情境分为情境指向与问题指向两种视角，其中情境指向观照于学生的学习环境、心理环境以及课堂情境，问题指向则认为问题情境更多是一种数学任务或者数学实作，“理解一个主题”就是利用这个主题进行弹性实作［６］。

基于深刻理解的问题情境创设要将情境指向与问题指向进行有机整合，既关注问题情境的“真实性”特征，通过问题情境将学生的数学知识与已有的数学知识、跨学科知识以及生活经验进行链接关联，又关注问题情境的“思考性”特征，通过完成数学任务与数学实作，形成对数学知识的深刻理解。

（1）冲突性思维情境激发学生深刻理解的内在需求

英国学者巴雷尔认为：“内涵丰富、值得持续思考、富有教育意义、具有启发性的问题情境才是最好的问题情境。”创设冲突性的情境能够有效激发学生的内在需求。值得注意的是，教学情境中的“冲突”不是教师人为创设的“陷阱”，而是学生在已有认知基础上所产生的一种原始想法与真实迷思，教师引导学生直面真实困惑，放慢知识的构建速度，能逐步突破思维困境。

比如在教学“异分母分数的加减法”时，笔者为学生提供了正方形纸片、长方形纸片、线段图以及空白纸片等多项素材计算■+■，部分学生受整数加法负迁移的影响，直接用分母加分母、分子加分子，得到了分数的和是■。因此，教师可以借助图形引发认知冲突，让学生感受分数加法与整数加法的不同之处。教师不可回避学生的原始错误，要在冲突与辨析中引导学生逐步深入理解。

（2）层次性学习情境关注差异化表达

苏联心理学家维果茨基认为学生的发展有两种水平，一种是学生的已有水平，一种是学生可能的发展水平，两者之间的差异就是最近发展区。研究者将情境分为准现实情境、准数学化情境和数学化情境三个层次，通过不同层次的情境引导不同水平的学生形成对问题的个性化理解，缩短学生达成深刻理解的“潜在距离”，从而实现数学的深刻理解。准现实情境是通过对情境的描述或者示意图、图形等形式将现实生活中的情境呈现给学生；准数学情境包含两种不同范畴的元素，既有生活化的元素，又有数学化的元素。数学化的情境则是来源于数学内部的抽象化情境。问题情境的层次性要求教师在情境的设计时应关注不同层次学生的已有水平以及学生之间的“潜在距离”，通过不同层次的任务引导不同水平的学生实现“最近发展区”的跨越。

比如在教学“小数的初步认识”时，在问题情境“如何表达对0.3元的理解”中，教师为学生提供了“小锦囊”，包含硬币图、长方形图、线段图等不同的素材供学生选择，让不同层次的学生都有自主选择与表达的空间，在不同作品的对比与评价中实现对小数的深刻理解。

（3）有序性任务情境厘清知识生长序列

学生认知结构的发展与课堂运行结构息息相关，数学教学应该遵循数学学科自身的逻辑顺序以及学生的心理程序，建立课堂教学的有效序列。数学知识的理解是一个螺旋上升的过程，在解决较为复杂的任务时，教师要将大情境分解为有序进阶的小情境，引导学生逐步形成对复杂任务的理解。

比如在教学“简单的数据调查与分类整理”时，这是学生第一次完整经历数据的调查与分析全过程，如果教师直接安排学生调查并分析全班蛀牙情况，任务难度非常大。于是笔者引导学生在充分讨论的基础上制定调查分析方案，并将任务情境分解为“在小组中调查并记录蛀牙情况→分类整理蛀牙情况→分析小组以及全班的蛀牙情况”三个序列性任务，使学生逐步在情境中经历完整的数据调查过程，形成初步的数据意识。

2. 关联结构，为学生深刻理解搭好支架

理解性学习是学习者经历新学习内容与已有经验进行相互作用、反复建构的过程。为促进学生的深刻理解，教师要不断引导学生发现数学知识的纵横联系，不断建立个体知识结构、认知结构与思维结构，帮助学生跨越工具性理解，走进关系性理解甚至进入结构性理解的维度［７］。

（1）单元视域下的结构聚合

聚合是指一个模块内部各成分之间相关联程度的度量。“单元”既指基于教材编排的自然单元，也指基于知识内在关联形成的重组单元；单元视域下的结构聚合是指从纵向的角度审视单元知识之间的生成与论证关系，共同指向单元核心知识的建构。单个概念的学习是学生心理上不断组织的过程。随着学生学习的深入与知识的增多，数学知识会不断进行新的组织，不断形成内部结构的再组织与再加工。

比如在教学“乘法口诀”时，乘法概念的建构是基于加法运算的简捷运算，能使学生形成乘法与加法之间的初步关联。随着乘法口诀学习的不断深入，学生除了建构乘法与加法的联系外，还需要建构不同乘法算式之间的关联，加深对乘法意义的理解。在复习课上，站在单元整体的角度，教师通过问题“由3×4能想到哪些算式”巧妙引导学生将乘法算式与加法算式、乘加算式、乘减算式进行意义关联，在关联中进一步明确乘法算式的意义，以及不同乘法算式的内在结构网。

（2）学科视域下的结构耦合

耦合是指模块之间相关联程度的度量。从数学的角度来说，结构耦合既指以“核心知识”统领的数学内部知识之间的关联，也指不同学科之间的关联。格兰特·威金斯等人从目标与知识的角度将教学内容划分为三个层次：应当持久理解的课程内容、着重指导和理解的内容以及熟悉的内容，其中持久理解的内容处于课程的核心，有助于学生理解知识本质的一致性、内在关联性以及逻辑的一致性，形成从1到N的增值效应［８］。

以“小数的初步认识”为例，数的认识与运算具有内在一致性，小数是通过不断细分得到的，小数的意义与整数的意义具有内在统一性，小数、整数与十进制分数都是通过“计数单位”的累加得到的。因此在教学“小数的初步认识”时，教师可以通过“数源于数”引导学生在计数器上感受整数中不同数位上计数单位的累加以及十进制计数法的运用，然后进一步引导学生思考“小数1.2在计数器上怎样表示”，让学生在关联中创造出十分位，感受小数与整数计数方法的一致性与连续性。

3. 有效迁移，为学生深度理解自然进阶

基于图式归纳的迁移范式理论认为符号表征组成知识，每个符号对应一个概念，迁移能力的基础便是抽象符号的表征［９］。学生形成深度理解的一个重要标志是将所学的知识迁移到新的情境中，尤其是在真实、复杂、开放性情境中综合运用知识解决问题的能力。

（1）激发迁移倾向

迁移效果受学生个人迁移倾向的影响。迁移倾向包含迁移意图、迁移策略的运用以及认知加工的调控等方面。在教学中，教师要激发学生主动迁移的内在动力，引导学生发现所学知识的潜在价值，以提升学生对于情境的敏感性，使其能够迅速挖掘新情境与已有情境的内在关联，主动创造新的情境运用所学知识。比如在运用有余数的除法解决问题时，教师要引导学生根据真实情境运用“加一法”“去尾法”解决实际问题，结合春游的经历思考“如果一张餐垫最多能坐6人，2名老师和42名学生最少要带多少张餐垫”，让学生在思考辨析中感受剩下的2个人也需要一张餐垫，并结合真实情境感受“加一法”的合理性以及有余数除法在生活中的价值，极大地激发学生自主迁移的热情。

（2）提升迁移能力

研究表明，在培养学生迁移能力的过程中，两个具体或者两个抽象的材料都不利于学生迁移能力的提升，两种形式有机结合则能够促进迁移效果的最大化。比如，教师可以先提供具体情境，再让学生进行抽象分析，或者同时提供具体与抽象两种材料。学生通过多情境的对比能够促进深层次的结构变得清晰，提升自身提取知识本质、关注深层关联的能力。

比如在教学“乘法分配律”时，教师可以设置“数”与“形”两个不同的问题情境。第一个情境：在体育艺术节中，男生和女生都站了5行，男生每行站4人，女生每行站6人，队伍中男生和女生一共多少人？第二个情境：计算长为3米、宽为2米的长方形苗圃和边长为2米的正方形苗圃拼在一起的大长方形苗圃的面积。每个情境教师先鼓励学生用两种不同的算式进行计算，并形成对乘法分配律的初步感知；然后让学生观察两个等式的特征进一步写出其他的等式，并用自己的方式解释等式成立的理由。有的学生通过计算的方法进行验证，有的学生通过创造情境进行解释，还有的学生通过乘法的意义进行解释，在多样化的思维与表征中促进对乘法分配律的理解。

（3）形成动态迁移

基于图式归纳的迁移范式将迁移分为学习与运用两个阶段，学习阶段完成抽象结构的认知加工，运用阶段是对认知图式进行提取利用与再组织的过程。因此，学生不仅在学习阶段能够建构认知图式，在运用阶段的图式归纳效果也不容忽视。研究表明，教师在运用阶段可以提供未解决的新问题或者让学生自己提出一个新问题，都能够提升动态迁移的有效性。

比如在教学“用字母表示数”时，笔者在新授课环节通过摆小棒和汽车行驶路程引导学生感知字母可以表示数量和数量关系，并在知识运用环节设置一个问题：如果每本书的价格是4元，购买b本书的总价就是4×b元，你能创设一个情境表示“4×b”的含义吗？学生在自主表达的过程中进一步感知字母表示数的含义，发展学生的代数思维。

4. 促进反省，为学生深刻理解持续蓄力

理解是信息或者要素组织的过程，深度理解则是心理上的再组织过程，反省思维就是一种结构再组织过程。反省分为两种不同的形式，一种是通过几个结构反省到更高水平的结构，另一种是对原有结构进行反省后创造出一种新的结构。

（1）预留反省时间

当前的数学教育中，课堂环节被不同的任务填满，课后作业负担相对较重，学生的课后作业都是以“写”为主，专门留给学生去“想”的时间几乎没有，这与深刻理解的理念相违背。因此，在“深刻理解”目标的引领下，教师应为学生在课堂以及课后预留反思自己思维的时间，引导学生进行知识重组，对已有知识结构进行再组织。比如在一节课的末尾，教师可以引导学生反思本节课理解难点在哪里，思维是如何进行组织与突破的；在一单元结束、学期结束时让学生进行阶段性反省，将反省的结果以文字、图画等形式表征出来。

（2）提供反省支架

在学习进行过程中，随着知识的增多，学生的知识结构会不断进行重新组织。传统的观点认为学习中知识是按照时间的先后顺序进行不断堆砌的，这种观点忽视了实践以及反省对学生知识学习的重要作用。事实上，通过知识结构的再组织，学生的理解能够达到更加广阔、深刻的程度。学生在解决新问题时，通过再组织以全面的观点去审视情境中的各部分因素，形成新的解决问题的路径，将已有结构建构成新的组织结构。在教学中，教师可以为学生提供一些反省支架，借助任务驱动学生进行深刻反省。

比如在教学平面图形的面积公式时，平行四边形、三角形、梯形的面积公式都是通过转化的方法推导得到的，这时学生对面积之间的联系是单向度关联，认为平行四边形面积只与平行四边形和三角形有关，因此在本单元结束时，教师可以设置一项反省作业：让学生在方格纸上画一个梯形，并表示出梯形的面积，然后引导学生思考：如果移动梯形的一个顶点，可能变成什么图形？通过移动你发现了梯形面积公式与其他图形面积公式有什么关联？这项反省作业通过点的移动能够帮助学生构建平面图形之间的深层次关联和完善思维结构。

5. 过程性评价，为学生深刻理解循证

评价反馈要与教学目标、教学情境与教学活动相一致，评价与反馈的目标不是为了甄别与区分学生之间的等级，而是通过师生信息流的反馈过程促进学生的深刻理解。

（1）依据深刻理解的内容确定评价的对象

基于威金斯等人的理论，教学内容应关注持久理解的课程内容，因此教师在进行评价时要突破传统以知识点为主的评价内容，考查学生对核心内容的理解。比如教学分数加减法时，教师应引导学生思考整数加减法时要“末位对齐”、小数加减法要“小数点对齐”、异分母分数加减法要先“通分”在算理上有什么相同点？并举例说明。新课标强调要让学生感受运算的“一致性”，整数、小数和分数的加减法的内在关联为相同的计数单位或者分数单位相加减，从算理的角度沟通不同类型的数在运算上的内在一致性，促进学生对知识的深刻理解。

（2）依据深刻理解的模型确定评价的形式

理解性学习的层级发展分为经验性理解、形式化理解、结构化理解与文化感悟与理解，将“真正的理解”划分为解释、阐释、应用、具有洞察力、移情以及自我认识六个不同的维度。由此可见，教师在进行评价时要通过多元评价来促进学生理解层级的不断跃迁［９］。据学者研究，评价应该分为正规评价与非正规评价，非正规评价包含在课堂中观察学生的表现，以及通过课堂讨论来观察学生的理解程度。在课堂讨论中，教师可以通过“具体说说你的想法，还有谁有新的想法”等问题引导学生开展积累型对话；还可以开展争论型对话，通过生生之间的质疑与争论，实现不同方法的碰撞与辨析，推动概念理解的深入。在反思评价阶段，教师要引导学生围绕课堂收获中的增值性表现进行深入交流。正规评价包含单元评价和期末评价，这些评价可以监测学生在不同情境下综合运用所学知识解决实际问题的能力。

（3）依据深刻理解的层级确定评价的层级

学生在使用概念的层级包括复制、联系和分析，复制层级涉及的知识是陈述性知识以及程序性知识，可以通过填空题、选择题等形式进行评价；联系层级考查的是信息的整合；分析层级涉及较为复杂的数学思维，包括解释、剖析和归纳概括，考查学生在真实开放的情境中选择合适的策略解决问题。

基于以上三种不同的理解层次，笔者在教学“正比例和反比例”时，设计了评价练习。

复制层级：如果x=，那么x和y成（ ）比例；如果=，那么x和y成（ ）比例。

联系层级：在-1=4π中A与B是否成正比例？几位同学的说法你赞同哪一种？说说理由。（1）明明：A和B不成正比例，因为这道减法算式看不出它们的比值；（2）欢欢：A和B不成正比例，这里π也是一个未知量；（3）小夕：A和B成正比例，可以通过计算得到它们的比值是一定的。

分析层级：王叔叔的老家在黄山市，南京市到黄山市大约相距300千米，某日油价为8.5元/升，电费为1.2元/千瓦·时，每升汽油和每千瓦·时电对应的二氧化碳排放量（如表1），请从费用和环保的角度综合进行分析：如果你是王叔叔，出行时会选择新能源车还是燃油车，说说你的理由。

深刻理解是新课标视域下的内在呼唤，是学生减负增效的有效路径。在教学实践中，教师要综合运用多种策略促进学生的深刻理解，培养学生的创新能力和实践应用能力。

参考文献：

［１］ 陈嘉明. “理解”的理解［Ｊ］. 哲学研究，２０１９（７）：１１８－１２５.

［２］ 吕林海. 数学理解之面面观［Ｊ］. 中学数学教学参考，２００３（１２）：１－４.

［３］ 于新华，杨之. 数学理解的层次性及其教学意义［Ｊ］. 数学教育学报，２００５（２）：２３－２５＋４６.

［４］ 匡金龙，包静娟. 为理解而设计——促进小学生数学理解的教学策略研究［Ｊ］. 上海教育科研，２０１３（１１）：６１－６３＋７０.

［５］ 吕星宇. 促进深度理解的教学策略研究［Ｊ］. 基础教育参考，２０２１（３）：７－１０.

［６］ 吕林海. 促进学生理解的学习：价值、内涵及教学启示［Ｊ］. 教育理论与实践，２００７（７）：６１－６４.

［７］ 王钦敏，余明芳. 数学深度学习中的知识关系建构问题论析［Ｊ］. 课程·教材·教法，２０２２，４２（７）：１１８－１２４.

［８］ 吕林海. 数学理解性学习与教学研究［Ｄ］. 上海：华东师范大学，２００５.

［９］ 吕红梅. 学习迁移的不同范式及其整合促进策略［Ｊ］. 上海教育科研，２０２４（４）：２９－３４.