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“二次根式”常考题型归纳

2024-12-05王友峰

初中生学习指导·提升版 2024年10期
关键词:根式代数式正整数

在“实数”一章中,二次根式是重要的知识点,也是中考热点. 现对中考中有关二次根式的考题进行归纳,供同学们学习时参考.

一、二次根式的加减乘除运算

例1 下列运算正确的是( ).

A. [3] + [3] = 3 B. 4[5] - [5] = 4

C. [3] × [2] = [6] D. [32] ÷ [8] = 4

解析:[3] + [3] = (1 + 1) × [3] = 2[3],故A不正确;4[5] - [5] = (4 - 1) × [5] = 3[5],故B不正确;[32] ÷ [8] = [4] = 2,故D不正确. C正确,故选C.

二、二次根式的混合运算

例2 (1)计算:[48-313] ÷ [3] = .

(2)已知k = [2]([5] + [3])·([5] - [3]),则与k最接近的整数为( ).

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

解析:(1)一般是直接将括号中的二次根式化简,求差后再做除法. 但注意到[48] ÷ [3] = 4,3[13] ÷ [3] = 1,先去括号再合并更简捷.

原式 = [48-313] × [13] = 4 - 1 = 3.

(2)可按顺序从左到右进行计算,但对后两部分用平方差公式更简捷. 原式 = [2] × 2 = 2[2],而1.4 lt; [2] lt; 1.5,∴2.8 lt; 2[2] lt; 3,∴与k最接近的整数为3,故选B.

三、二次根式的规律探索

例3 阅读下面材料:

将边长分别为a,a + [b],a + 2[b],a + 3[b],…的正方形面积分别记为S1,S2,S3,S4,…,则S2 - S1 = (a + [b])2 - a2 = [(a+b)+a]·[(a +b)-a] = (2a + [b])·[b] = b + 2a[b]. 例如:当a = 1,b = 3时,S2 - S1 = 3 + 2[3].

根据以上材料解答下列问题:

(1)当a = 1,b = 3时,S3 - S2 =" ,S4 - S3 = .

(2)当a = 1,b = 3时,把边长为a + n[b]的正方形面积记作Sn + 1,其中n是正整数,从(1)中的计算结果,你能猜出Sn + 1 - Sn等于多少吗?证明你的猜想.

(3)当a = 1,b = 3时,令t1 = S2 - S1,t2 = S3 - S2,t3 = S4 - S3,…,tn = Sn + 1- Sn,且T = t1 + t2 + t3 + … + t50,求T的值.

解析:(1)S3 - S2 = (a + 2[b])2 - (a + [b])2 = 2a[b] + 3b,当a = 1,b = 3时,S3 - S2 = 9 + 2[3];S4 - S3 = (a + 3[b])2 - (a + 2[b])2 = 2a[b] + 5b,当a = 1,b = 3时,S4 - S3 = 15 + 2[3].

(2)由(1)得Sn + 1 - Sn = 6n - 3 + 2[3]. 证明:Sn + 1 - Sn = (1 + [3]n)2 - [1+(n-1)3] 2 = [2+(2n-1)3] × [3] = 3(2n - 1) + 2[3] = 6n - 3 + 2[3].

(3)当a = 1,b = 3时,T = t1 + t2 + t3 + … + t50 = S2 - S1 + S3 - S2 + S4 - S3… + S51 - S50 = S51 - S1 = (1 + 50[3])2 - 1 = 7500 + 100[3].

分层作业

难度系数:★★★ 解题时间:5分钟

1. 代数式[x-2x-3]的字母x的取值范围是 .

2. 计算:[-2] + [2-122] -" [2+122].

3. 若[3-2]的整数部分为[a],小数部分为[b],求代数式[(2+2a)b]的值.

难度系数:★★★★ 解题时间:3分钟

4. 观察下列等式:①3 - 2[2] = ([2] - 1)2,②5 - 2[6] = ([3] - [2])2,③7 - 2[12] = ([4] - [3])2,…请你根据以上规律,写出第n个等式.

(答案见本页)

(作者单位:江苏省苏州工业园区青剑湖实验中学)

第33页:(1)通过推导一组锐角相等,进而证得△ABC ≌△CED;

(2)PC = PD.通过全等证得∠CDF = ∠A,由(1)得∠PCD =∠A,所以∠PCD = ∠PDC,从而有PC = PD.

第35页:1. 28° 2. 提示:延长EF到点G,使得FG = EF,连接BG

3. BE = EC,BE ⊥ EC. 提示:△EAB ≌ △EDC.

第37页:1. [52] 2. AB = BC - 2DF

第39页:1. x ≥ 2且x ≠ 3 2. -[2] 3. 2

4." 2n + 1 - 2[n(n+1)] = [n+1-n2](n为正整数).

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