图式建构：分数概念教学结构化的有效路径

［摘 要］图式建构是指通过建构与学科相关的结构来理解新的概念的过程。在教学中，教师要引导学生在图式工具中感悟，激活学生的认知；在图式表征中内化，理解概念的本质；在图式应用中迁移，实现思维的进阶。这有助于学生从整体结构理解和应用分数概念，获得更为系统的知识结构，从而实现融会贯通。

［关键词］图式建构；分数概念；教学结构化

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2024）35-0054-04

长期的数学教学实践表明，概念教学一直是个重要的研究领域，其中，分数概念教学是一大难点。在传统的概念教学中，学生往往对概念理解不清，导致学习效果不佳。因此，寻找一种新的路径来教学概念变得尤为重要。本文以苏教版教材三年级上册“分数的初步认识”教学为例，论述如何利用图式建构来帮助学生理解和应用分数概念，发展学生的核心素养。

一、图式建构的内涵与特征

图式建构重在通过构建图式来理解和解决数学问题的过程。图式是一种思维模式或结构，可以用图形、符号等形式表示。通过运用图式建构的方法，学生可以直观地理解数学概念，并将其应用于解决问题中。图式建构主要用于描述个体如何通过经验和学习来构建和组织知识结构。图式建构的特征包括以下几个方面。

（一）学习主体的参与性

图式建构强调个体在学习和知识组织过程中的主动参与和与环境的交互作用。学生在用感知、观察和实践等方式主动构建和调整图式的过程中，能够发挥创造力和想象力，培养解决问题的能力和信心。

（二）认知结构的连接性

在图式建构理论中，新知识体系是基于已有知识和经验进行构建的。具体来说，是将新信息与已有的图式联系起来，不断更新和修订已有的知识结构，提高信息处理和记忆的效率。图式建构有助于激发学生的联想思维和认知连接能力。通过触发学生大脑中的图像和符号系统，可以使他们深入理解数学概念。

（三）具体与抽象的平衡性

图式建构将抽象的数学概念转化为具体的图像，帮助学生建立基于感知的意义。同时，也需要逐步引导学生将具象的图式转化为抽象的符号，并将其与概念，以进一步巩固数学概念。

二、以图式建构实现概念教学结构化的必要性

（一）认识不足导致概念模糊化

很多学生误解分数的概念，例如，有学生认为如图1所示的图形中，第三个图形的涂色部分不能用[12]表示。之所以有这样的判断是因为教师在教学时过于强调“平均分”这一前提，受学习“平均分”时呈现的物体或图形都被分成两个相等部分的影响，学生会误认为只有将一个整体分成大小、形状完全一样的几个部分才是平均分。这种误解会在学生的学习中反复出现，难以纠正。

（二）理解不全导致缺乏概念一致性

关于3个[13]和4个[14]是否相等，从数量的角度来看，两者都代表数量1，它们是相等的。基于数是对数量的抽象，学生对分数的概念理解不全，因此没有领悟到分数在数的概念本质上的一致性。整数、分数和小数都是对数量的抽象；无论是学习整数、分数，还是小数，都可以基于计数单位和计数单位的个数来认识。因此，要建立整数、分数和小数的概念的一致性，需要从计数单位入手。

（三）知识割裂导致无法系统化建构

分数的概念教学在教材编排中知识结构相对独立，在三年级上册编排把一个物体平均分的知识，到三年级下册编排把一个整体平均分的知识，这种知识点割裂往往会导致学生对分数知识体系的建构不够系统化。

针对以上现象，教师引导学生进行图式建构可以有效改善。具体来说，教师应该根据学生的认知规律对分数概念进行结构化教学，这样可以帮助学生理解新知识，并将新知识与原有的知识结构联系，从而获得系统的知识结构。

三、以图式建构实现概念教学结构化的路径

（一）在图式工具中感悟，激活学生的认知

整体认知是教学分数概念的有效方法。从整体认知的角度来看，我们可以将分数视为数的一部分，并通过图形帮助学生理解和掌握分数的本质。通过这种整体认知的方法，学生可以通过观察图形直观理解分数的定义和基本性质，建立对分数的整体认知，从而为后续的分数运算和应用打下坚实的基础。

1.数轴唤醒：激活原有图式

在一年级时，学生已经认识了自然数0，1，2，3……此后，学生的学习数都是基于对整数的认识，他们认为0之后便是1，1之后便是2，在0和1之间没有其他数字，这与分数的概念产生了冲突。对此，可以将数轴引入教学活动中，激活并丰富学生大脑中的原有图式。

教学时展示数轴，以0为起点，向右数值逐渐增大，向左数值逐渐减小，通过探究“0和1之间是否还存在其他数”这个问题，把0和1之间的分数写在数轴上（如图2），将它融入学生已有的数的图式中。

2.直尺着眼：有效输入概念

在初步认识分数之前，学生接触过整数。为了让学生充分认识分数的本质，教师鼓励学生大胆探索，让他们走进生活，去发现那些不是整数的事例。例如，教师让学生用直尺去探索“1厘米”与“半厘米”的关系。

师：可以用直尺来干什么？

生1：量一量我的铅笔有多长。

师：请大家量一量各自铅笔的长度。

（不同学生给出了不同答案，有的说10厘米，有的说5厘米）

师：请问1厘米跟半厘米有什么关系？请观察直尺，看看刻度0和刻度1之间有多少个小格子？

生2：10个。

师：半厘米内有几个小格子？

生3：5个。

师：那1厘米与半厘米的关系是什么？

生4：半厘米是1厘米的一半。

师：是的，我们也可以说半厘米是[12]厘米，换一种说法，半厘米是1厘米的[12]。看，这就是分数，既可以表示数量，也可以表示数量关系。

学生通过对直尺的探索可以得出：当度量单位为“1”时，我们能够数出整数；而当度量单位小于“1”时，我们需要将“1”平均分成更小的计数单位，以便进行数数。[12]厘米可以用作测量的结果，表示数量；[12]也可以表示数量关系，即半厘米是1厘米的[12]。

3.图形协助：整体认知分数

图形可以帮助学生建立对分数意义的整体感知。教学时需要逐步引导学生将具象的图形与分数概念相结合，将一个完整的图形等分，让学生观察和感知分数的大小关系。

例如，可以将一个长方形平均分为若干个小长方形，每个小长方形代表一个分数单位。学生通过观察这些小长方形的数量发现，当小长方形的数量增加时，分数变得更大，当小长方形的位置靠近大长方形的顶部时，分数接近1。这样的有序组织和呈现方式可以帮助学生建立对分数的整体认知。

（二）在图式表征中内化，理解概念的本质

图式表征是一种表示信息和概念关系的图形工具，它可以帮助学生理解和组织复杂的想法和概念。在学习分数概念时，图式可以发挥重要作用，帮助学生内化和抽象分数概念。图式表征的基本元素包括实物、符号和模型等。

1.实物表征：深化概念理解

学生在认识数的过程中，通常需要从丰富的现实情境中逐步提炼共性、抽象概括。实物表征在形象与抽象之间起着桥梁作用。无论是将一个正方形、圆形，还是将线段平均分成几份，其关键都在于表示一份是整体的几分之一。通过引导学生关注共同特征，帮助他们积累操作经验，并经历从实物操作到表征操作，再到符号操作的表征过程，以培养学生的符号意识。借助丰富的图形表征基础，逐步引导学生建立对分数单位的理解，将分数单位的产生及分数单位的累加与实际意义联系起来。

2.符号表征：厘清逻辑关系

在图式表征中，我们可以使用箭头符号来表示分数概念。箭头在图式表征中扮演着关键的角色，它表示了分数概念之间的关系（如图3）。

通过符号表征让学生在分数意义的建构过程中，把藏在大脑里的建构步骤变成外在的表现形式，帮助学生厘清分数线、分母与分子的关系，从而对分数的概念形成有逻辑的思考程序，深刻理解分数的结构和组成。

3.模型表征：加强概念联系

在用模型表示分数时，可以将正方形平均分成4份，每份表示[14]，几个[14]组成四分之几（如图4），帮助学生厘清几分之几和几分之一之间的联系。

（三）在图式应用中迁移，实现思维的进阶

图式应用是一种以问题为核心的学习模式，学生通过解决具体问题掌握知识、培养技能和发展思维能力。在图式应用中迁移，学生可以从被动接受知识到主动探究和构建知识，逐步提升思维的层次和复杂度，培养解决问题的能力和创新思维。

1.伙伴共研：促进思维的迁移

通过伙伴共同研究，并以分数的概念为例，鼓励学生迁移思维和合作学习，可以实现思维的进阶。这种方法可以使学生在图式应用的框架下理解和运用分数的概念，提高思考和解决问题的能力，将已学到的知识和经验应用到分数的概念中。例如，将整数的概念迁移到分数上，比较分数与整数之间的关系，或者将分数的运算法则与其他数学概念进行类比，帮助学生理解和记忆分数的运算法则。通过迁移，学生可以发现分数概念与其他数学概念之间的联系，提升对分数概念的理解和运用能力。

2.拓展场景：实现思维的重构

在认识整数时，从整数的产生、读写、意义、运算这四个维度进行研究，在首次教学分数时，也可以从分数的产生、读写、意义、运算等维度进行研究，努力探寻各个元素间的内在关联（如图5）。学生在思考数的概念的方式上都有了明显的改变，不局限于对数的概念的整理，而是扩充为数的由来、数的意义、数的性质特征、数的大小等内容，探寻各个元素间的内在关联，使自己对各类数有全面的认识。从“学结构”到“用结构”的过程，提升学生融会贯通的综合素养。

3.解决问题：激活思维的输出

如图6所示的题目是认识分数之后的跟进练习。在这道题目中，各阴影部分占总图形的几分之一需要深度思考。

然而，此题的难点在于阴影部分分布在不同的区域。为了解决这个问题，教学时需要引导学生想象阴影部分与整体的关系，从而推出部分占整体的比例。同时，通过从不同角度观察，学生可以初步感知分数单位的累加，从而产生新的分数。这种方法有助于渗透分数的基本性质，并帮助学生灵活运用想象力，找到解决问题的方法，实现思维的有效输出。

总之，图式建构对于概念教学结构化有着重要作用。将抽象的分数概念与具体的图形结合，可以激活学生的认知，还可以实现思维的进阶。图式建构为概念教学提供了一条新的路径，对于教学分数概念有积极的影响。笔者期待广大教师一同进一步探索图式建构在其他数学概念教学中的应用，并完善教学方法和策略。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 朱裕华.图式建构：小学数学结构化教学的新视域：以“多边形的面积”教学为例[J].小学数学教育，2023（Z2）：22-23.

[2] 郎俊杰.小学数学结构化教学深度发生的路径探索[J].小学数学教育，2022（21）：10-12.

[3] 王晓燕，刘驰.“分数的初步认识”教学实录与评析[J].小学数学教育，2022（21）：62-64.

[4] 李雪梅.结构化建构概念 系统化发展学生思维：以“认识负数”教学为例[J].教育科学论坛，2021（10）：57-60.

[5] 葛素儿.结构化学习的价值取向与路径探寻[J].教学月刊小学版（数学），2021（5）：12-15.

（责编 黄 露）