基于Halbach阵列的永磁悬浮车辆悬浮系统磁力特性研究

摘要：提出对Halbach阵列永磁体进行尺寸参数优化，研究不同参数对永磁悬浮系统横向刚度问题的影响。以斥力型跨座式永磁悬浮车辆的悬浮永磁体模块为例，运用正弦法对悬浮永磁体的Halbach阵列磁场进行解析，利用Maxwell方法推导出永磁体的横向力和悬浮力随横向位移变化的公式，确定要优化的三个尺寸参数分别为：永磁体厚度、永磁体宽度和相邻两块永磁体的磁化角度差。利用软件COMSOL建立磁力模型，分析永磁悬浮模型在发生横向位移时，不同尺寸参数对模型产生的横向力和横向刚度的影响。仿真分析表明：增大永磁体的厚度会增大永磁悬浮系统的最大横向力和横向刚度；永磁体宽度的改变在一定范围内对永磁悬浮系统的横向刚度影响较小；减小相邻两块永磁体的磁化角度差，会在减小最大横向力的同时减小横向刚度，角度从90°减小到45°，横向刚度减小了58.4%。所得结论对永磁悬浮式磁浮车辆悬浮永磁体的设计和选择提供了一定参考。

关键词：Halbach阵列；参数优化；永磁磁悬浮；横向刚度；磁力特性

中图分类号：U264 文献标志码：A doi：10.3969/j.issn.1006-0316.2024.10.003

文章编号：1006-0316 （2024） 10-0021-09

Magnetic Force Characteristics of Permanent Maglev Vehicle Levitation System

Based on Halbach Array

LI Bohan1，WU Xingwen2，CHI Maoru1，YANG Jungang1，ZHAO Minghua1，

ZHANG Weihua1，DENG Zigang1

（ 1. State Key Laboratory of Rail Transit Vehicle System， Southwest Jiaotong University， Chengdu 610031， China; 2. School of Mechanical Engineering， Southwest Jiaotong University， Chengdu 610031， China ）

Abstract：To address the lateral stiffness problem of permanent magnetic levitation （PML）， we propose to optimize the dimensional parameters of Halbach array permanent magnets to study the effect of different parameters on the lateral stiffness problem of PML. Taking the levitated permanent magnet module of the repulsion-type straddle-seat permanent magnetic levitation train as an example， the sinusoidal method is applied to analyze the magnetic field of the Halbach array of the levitated permanent magnets， and Maxwell's euquations are used to derive the formulas of the lateral force and levitation force of the permanent magnets as a function of lateral displacement， and to determine the three dimensional parameters to be optimized， namely， the thickness of the permanent magnets， the width of the permanent magnets， and the difference in the magnetization angle of the two neighboring permanent magnets. The software COMSOL is used to establish a magnetic force model to analyze the effects of different size parameters on the lateral force and lateral stiffness generated by the PML model when lateral displacement occurs. The simulation analysis shows that： increasing the thickness of the permanent magnet will increase the maximum lateral force and lateral stiffness of the PML; the change of the width of the permanent magnet has a small effect on the lateral stiffness of the PML within a certain range， but it will increase the maximum lateral force in the process of lateral displacement; decreasing the difference in the magnetization angle of the two neighboring permanent magnets will reduce the maximum lateral force and the lateral stiffness at the same time， and with the difference in the magnetization angle between the two adjacent permanent magnets， the maximum lateral force will be reduced， and with the difference in the magnetization angle between the two neighboring permanent magnets， the lateral stiffness will be reduced; reducing the difference in the magnetization angle between two adjacent permanent magnets reduces both the maximum transverse force and the transverse stiffness， showing a 58.4% reduction in transverse stiffness when the angle is reduced from 90° to 45°. The results provide a reference for the design and selection of permanent magnets for the levitation of PML trains.

Key words：Halbach array；parameter optimization；permanent magnetic levitation （PML）；lateral stiffness；magnetic force characteristics

永磁悬浮是利用车载永磁体与永磁轨道之间的磁性斥力完成悬浮，是一种新型轨道交通模式，具有无功耗、结构简单、体积小、成本低等优点[1-3]。目前，该技术以江西理工大学研发完成的永磁悬浮“虹轨”项目为代表[4]。

永磁悬浮制式一般都采用Halbach阵列，Halbach型[5-6]永磁轨道的设计可将磁场集中在轨道上方，提高磁场的使用效率，其横向力的大小与永磁悬浮制式的Halbach阵列结构有关。目前一些学者将超导磁浮与Halbach阵列永磁体结合进行分析研究[7-8]。同时，也有学者研究Halbach型永磁体与导体板之间的磁力特性，但主要是关注Halbach型永磁体尺寸参数对磁力特性的影响[9-11]。在Halbach阵列的永磁轨道方面，主要研究的是具有Halbach型阵列的永磁体的磁场分布和磁力特性[12-13]，一般采用等效电流法[14-15]和Maxwell张量法[16]对永磁体的磁场进行解析，并利用有限元方法借助ANSYS、COMSOL等软件对Halbach型永磁体进行解析计算[17-18]。而在优化Halbach永磁的尺寸参数时，一般是优化永磁悬浮系统的悬浮能力[19]。如江洋[20]利用软件建立了永磁悬浮系统电磁模型，仿真得到其悬浮特性和稳定特性，针对永磁悬浮系统悬浮力进行了一定的参数优化。但这些研究都忽略了永磁悬浮系统横向力问题。

相比其他悬浮制式，永磁悬浮制式虽具有一些优点，但也存在发生横向偏移时产生与横向偏移方向一致的横向力问题，无法完成横向自稳定，需要设置导向装置来保证横向稳定性。目前针对永磁悬浮系统在横向偏移时产生的横向力，往往是增加外部横向导向装置，如采用电磁控制方法控制其横向力或导向轮来维持其横向稳定性[21-24]。由于永磁悬浮制式的轨道交通系统研发历史较短，围绕其产生横向力问题的研究成果相对较少，截止目前，国内外学者依然没有提出较为成熟的可行方案。

因此，本文以跨座式永磁悬浮车辆为研究对象，针对永磁悬浮车辆产生横向力这一问题，选择从永磁体结构参数的角度出发，研究不同参数对永磁悬浮系统横向力的影响，以优化永磁悬浮系统横向刚度作为研究目标，提出各个结构参数的优化选择方法。

1 跨座式永磁悬浮车辆悬浮系统

跨座式永磁悬浮车辆是一种新型中低速磁悬浮车辆，其转向架结构主要包括构架、永磁悬浮模块、导向轮、稳定轮、牵引驱动模块和一些悬挂部件，如图1（a）所示。其中，永磁悬浮模块为转向架提供悬浮力，导向轮和稳定轮能保证车辆行驶的安全性和稳定性。

实现悬浮功能的悬浮力主要由永磁悬浮模块提供，其包括车载永磁体和永磁轨道两部分，如图1（b）所示。车载永磁体是指安装在转向架上为车辆提供悬浮力的永磁体模块；永磁轨道是指铺设在轨道上的永磁体。这两部分均由多块采用Halbach阵列组成的永磁体构成。

2 跨座式永磁悬浮车辆磁力特性计算

如图2所示，利用正弦法可计算[25]：

（1）

式中： 、 为Halbach永磁阵列强磁场一侧的横向磁通密度和垂向磁通密度； 为永磁体剩余磁通密度；k为Halbach阵列永磁体的波数， ；h为悬浮间隙；M为一个波长内的永磁体块数。

b为永磁体宽度；d为永磁体厚度；λ为波长，

即Halbach阵列相同磁化方向的两块永磁体的中心距离；

c为永磁体与轨道上表面的距离，即工作高度。

根据Maxwell公式，有[16]：

（2）

式中： 、 为Halbach型永磁体受到的横向

力和悬浮力； 为真空中的电导率， ＝4π×10-7 N/A2；L为Halbach永磁阵列垂直纸面的长度，默认为1 m。

进而当存在横向位移量时，如图3所示，则根据Maxwell公式和磁场解析可以计算：

（3）

（4）

式中： 、 为用于简化公式的中间量。

d1为车载永磁体厚度；d2为永磁轨道厚度；a为横向位移量。

根据研究参数，可将式（4）划分为两个参数影响因子，主要影响永磁悬浮模型横向力近似的正弦函数，分别为：

（1）正弦振幅： ；

（2）正弦函数周期：k。

本文对以上两个参数因子开展研究。主要针对永磁体的厚度、宽度和相邻两块永磁体磁化角度差这三个尺寸参数，探究各个参数因子中的参数改变对永磁体悬浮力和横向力的影响，优化永磁体结构，达到优化永磁体横向刚度的目的。

由于前文模型中采用的5块永磁体组成的Halbach阵列永磁体不能很好地满足磁化角度差的变参数建模，因此后续采用上下厚度一致的9块永磁体组成的Halbach阵列进行仿真计算，如图4所示。

利用COMSOL多物理场仿真软件建立永磁悬浮磁力模型。模型包括车载永磁体、永磁轨道和空气域三部分。永磁体材料均为NdFeB，永磁体剩余磁通密度均为1.42 T，悬浮间隙为10 mm。进行网格划分时，可将空气域分为两部分，永磁体在中间空气域内，外部空气域包裹着中间空气域。同时，为提高计算精度，将永磁体网格和中间空气域网格精细化，而外部空气域网格粗化，如图5所示。

3 仿真与结果分析

3.1 改变厚度对永磁悬浮模型的影响

为探究不同永磁体厚度对永磁体产生的悬浮力和横向力的影响，保持每块永磁体宽度不变，设置的厚度值为10 mm、20 mm、30 mm、40 mm、50 mm，通过软件COMSOL进行永磁体的动态电磁仿真，悬浮高度为10 mm。为仿真得到不同厚度永磁体的横向力变化情况，将车载永磁体相对永磁轨道横向偏移50 mm，永磁轨道保持不变，磁力仿真结果如图6所示。

由图6（a）可以看出，随着永磁体厚度的增加，其产生的横向力也增加；随着车载永磁体位移量的增大，车载永磁体所受横向力先增大后减小，存在一个最大值，增大方向与永磁体位移方向一致。在车载永磁体发生横向偏移的过程中，永磁体的横向力近似呈正弦图形，与式（4）相符合，最大横向力数值会随着永磁体厚度的增加而增加，但不同厚度永磁体产生最大横向力的位移位置相近。由于仿真存在的偏差可忽略不计，因此可认为永磁体在产生横向位移时，永磁体厚度会影响最大横向力，但不会改变最大横向力对应的偏移位置。进而说明减小永磁体厚度可以减小永磁悬浮的横向刚度，达到优化永磁悬浮横向刚度的目的。为最大限度利用永磁体，提出优化指标为：

Fd＝ （5）

式中：Fd为单位厚度永磁体产生的悬浮力； 为对中位置时永磁悬浮模型产生的悬浮力；S为Halbach阵列永磁体横截面积。

由图6（b）可以看出，上下两组永磁体处于对中位置时，随着永磁体厚度的增加，Halbach永磁阵列单位面积永磁体产生的悬浮力先增加后减小，在25 mm时达到最大值。即选择厚度与宽度相近的永磁体可提高优化指标Fd，达到提高材料利用率的目的。同样为最大限度利用永磁体，提出另一个优化指标为：

Fb＝ （6）

式中：Fb为悬浮系统横向力与悬浮力之比。

当Fb减小时，意味着在产生相同横向位移量的情况下，永磁悬浮系统的横向力减小，永磁悬浮系统的悬浮承载能力提升。

永磁悬浮系统的悬浮力会随着横向位移的增加而减小，并在一定位移量时减小为0，此时Fb趋于无穷大。因此，为保证结果的完整性，取20 mm横向位移量作为横坐标分析不同永磁体厚度对Fb的影响。由图6（c）可以看出，前10 mm横向位移过程中，不同厚度对Fb的影响不大，随着横向位移量的增加，在同位移量的情况下，Fb会随着厚度的增加而增加，其中永磁体厚度为10 mm的Fb为最大值且曲线斜率大于其余几组，位移过程中，厚度30～50 mm的Fb值比较接近，说明永磁体厚度大于宽度对Fb起优化作用，而当永磁体厚度小于宽度时，会增大Fb，进而降低悬浮系统的稳定性。

3.2 改变宽度对永磁悬浮模型的影响

设置每块永磁体的厚度为30 mm，为探究改变单块永磁体的宽度对永磁悬浮模型横向力的影响，设置永磁体宽度为10 mm、20 mm、30 mm、40 mm、50 mm，开展仿真研究。共5组处于对中位置的不同宽度的永磁体仿真结果如图7所示。

由图7（a）可以看出，随着永磁体宽度的增加，悬浮间隙面积增大，会导致永磁体在横向位移过程中产生的横向力最大值增大，永磁体的波数k则会随宽度的增加而减小。由于永磁悬浮模型中的横向力呈正弦图形分布，而影响正弦图形周期的参数为k，因此当k减小时，正弦函数周期增大，所以永磁悬浮系统产生的横向力最大值对应的位移量会随着永磁体宽度的增加而增加。从结果上看，宽度为10 mm的永磁体由于厚宽比（为3）过大，在永磁体横向位移过程中并不稳定，而在永磁体宽度为20～50mm时，永磁体宽度的改变对永磁悬浮模型的横向刚度影响较小，其中30 mm宽度的永磁体横向刚度最大，50 mm宽度的永磁体横向刚度最小。

由图7（b）可以看出，上下两组永磁体处于对中位置时，随着永磁体宽度的增加，永磁体单位面积所提供的悬浮力会先增加后减小，与3.1节得出的结论相呼应，即选择厚度与宽度相近的永磁体可提高优化指标Fd，达到提高材料利用率的目的。

由图7（c）可以看出，在相同位移量的情况下，Fb会随着宽度的增加而增加，其中永磁体厚度为20 mm的Fb为最大值且曲线斜率大于其余几组，说明永磁体宽度的增加对Fb起优化作用，会减小Fb，进而提升永磁悬浮系统的稳定性。

3.3 改变相邻磁化角度对永磁悬浮系统的影响

为探究相邻永磁体角度差的改变对永磁悬浮模型产生的悬浮力和横向力的影响，选取90°、60°和45°这三个相邻永磁体磁化角度差作为变量代入进永磁悬浮模型中进行仿分析。分析结果如图8所示。

可以看出，磁通密度高的区域主要集中在具有横向磁化方向的上下两块永磁体的悬浮间隙处；随着磁化角度差的减小，永磁悬浮模型悬浮间隙中的磁通密度也减小；当磁化角度差为60°时，右侧磁通密度大于左侧，这是由于此时组成Halbach阵列的首位两块永磁体不为同一磁化方向，存在120°的角度差，并没有处在一个整数倍波长中，因此磁化角度为60°的永磁悬浮模型存在一个相比于其他两个角度差较大的初始横向力。

当相邻磁化角度差θ从90°减小到45°时，其波长λ从0.12增长到0.24，而波数k从52.36缩小到26.18，一个波长内永磁体的数量M从4块增加到8块，会引起参数因子 的减小，进而减小永磁悬浮模型在横向偏移过程中的最大值。同时，波数k的减小还会增大永磁悬浮模型产生最大横向力所需的位移量，进而使永磁悬浮模型在横向偏移过程中的横向刚度随着角度的减小而减小，如表1、图9所示。其中0→x表示从原点到x位移处。

可以看出，与θ＝90°相比，θ＝60°的横向刚度减小了38.7%，θ＝45°的横向刚度减小了58.4%。随着角度差的减小，永磁悬浮模型在对中位置产生的最大悬浮力也减小，与θ＝90°相比，θ＝60°的悬浮力衰减了11.7%，θ＝45°的悬浮力衰减了27.9%。因此从整体结果看，减小相邻永磁体磁化角度差，可以优化永磁悬浮模型发生横向位移时产生的横向刚度

此外还可以看出，在横向偏移过程中，随着相邻磁化角度差的减小，优化指标Fb也减小。由此可以认为，减小相邻磁化角度差能优化永磁悬浮系统横向不稳定的问题，但会减小永磁悬浮系统的悬浮能力。而从整体上看，相邻磁化角度差的改变对优化横向问题的影响大于其减小悬浮能力的影响，因此可以选择减小相邻永磁体磁化角度差来减小优化指标Fb，进而增大永磁悬浮系统的稳定性。

4 结论

（1）采用厚度与宽度接近的永磁体尺寸可以获得更大的单位面积悬浮力，进而提高永磁体的材料利用率。

（2）减小永磁体的厚度会使永磁悬浮模型的横向力和悬浮力最大值减小，进而引起横向刚度和垂向刚度的减小，当厚度小于宽度时，减小永磁体厚度会降低永磁悬浮系统的稳定性。

（3）增大永磁体的宽度会使永磁悬浮模型的横向力和悬浮力最大值都增大，但由于达到横向力最大值所需要的横向位移量增加，所以导致在一定范围内改变宽度时其横向刚度不会受到太大影响。因此，可以在保证横向刚度的情况下，通过增大永磁体的宽度来增大永磁体最大悬浮力。同时，随着永磁体宽度的增加，永磁悬浮系统稳定性也得到提升。

（4）减小永磁悬浮模型的相邻磁化角度差会增加永磁悬浮模型的波长，进而导致横向力和悬浮力最大值减小，并且会增加达到横向力最大值所需要的横向位移量，从而减小永磁悬浮模型在横向偏移过程中的横向刚度，并且其悬浮力减小量远小于横向力减小量。

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