怎样认识“余数”？

一、“余数”知多少？

在人教版教材二年级下册“有余数的除法”单元教学中，学生对于余数，已经知道了哪些知识？还想了解哪些知识？带着这些问题，笔者进行了一次课前调查。调查形式是对学生进行访谈和让学生做前测题。前测题设计了三个部分：“我会分”“我会算”和“我会写”。

（一）问题一：你知道余数吗？

通过课前访谈发现，超过半数的学生都听说过余数，他们有的是通过自学数学课本知道的，有的是家长教的。在访谈中，教师提问：“你们已经知道了哪些关于余数的知识？”学生的回答有：“我知道余数都比除数小”“余数表示有剩余”“除数×商+余数=被除数”等。那么，学生对余数知识了解到什么程度？在面对具体问题时，他们是否真的会用余数表示？为了测试这一点，教师呈现前测题1“我会分”（如图1）。

调查结果表明，40名受测试的学生中，有36名学生能够按照要求圈出结果，正确率达到90%。而出错的学生主要源于没有仔细阅读题目要求，其中3名学生分别按照每组2根、4根、5根来圈选，导致错误；另外1名学生在最后一组只圈出了2根小棒。在实物图上分一分、圈一圈，学生基本上没有遇到困难。然而，当要求他们正确地用算式表示分小棒后的结果时，情况就有所不同了。在“列一列”中，有21名学生使用13÷3=4……1的算式来解决问题，占总人数的52.50%，但其中仅1人正确写出了单位名称，还有2人使用了乘减的方法表示分的过程与结果（如图2）。剩下的学生要么算式列错，要么空着，不知道如何表示剩余的情况。这表明，对于均分后有余的情况，学生在用算式表示上存在一定困难。

（二）问题二：你会计算带余数的除法吗？

学生会计算带余数的除法吗？教师呈现前测题2“我会算”（如图3），让学生尝试进行计算。调查结果表明，学生的计算正确率达到55.00%。当询问学生是怎样计算出结果的，大多数学生表示是使用乘法口诀来计算的。另外，有17.5%的学生在个别题目上出现了计算错误；有11名学生基本不会计算，占总人数的27.50%。由此可见，超过半数的学生在课前已经具备了计算带余数除法的能力，拥有一定的计算基础。

（三）问题三：你对余数还想知道什么？

教师呈现前测题3“我会写”，并提问：“关于余数，你还想了解哪些知识？”学生有以下回答：“有余数的除法，是谁发明的？”“为什么除法中会出现余数？”“余数是怎么表示的？”“我想学有余数的除法竖式”“余数会用在什么地方？”等。通过课前调查和访谈，教师清晰地了解了学生的想法与需求。

通过这些前测题，笔者整理出了学生已经知道的知识和他们还想了解的知识，为后续进行教学设计提供学情支持。

二、“余数”如何定位？

对于“有余数的除法”单元的教学，如何结合学情合理划分课时和精准定位教学目标呢？

（一）如何划分课时？

通过研读教材，“有余数的除法”单元的学习内容主要包括两大部分共六个例题：第一部分是有余数的除法的含义和计算，第二部分是解决问题（如图4）。通过前测，可以发现，大多数学生对余数已有初步认识，并能通过“圈一圈”等操作活动解决“均分后有余”的问题，但对于“余数为什么会比除数小”这一问题，他们往往无法清楚地进行解释。基于此，笔者将例1、例2的教学内容整合为“认识有余数的除法”展开教学。

（二）目标如何定位？

基于对教材内容和学生现实起点的分析，笔者将本内容的教学目标定位为：（1）通过操作活动，学生能够理解余数的意义，并能正确地列出有余数的除法算式。（2）学生能够在观察和比较中探索余数与除数之间的关系，体会余数的规律。（3）学生能够初步运用有余数的除法解决日常生活中的简单问题，进一步感悟数学与生活的密切联系。本内容的重点在于理解有余数的除法及余数的意义，并发现余数与除数的关系。

三、“余数”如何教学？

在做好课时划分和教学目标确立等工作后，拟定了以下教学环节并进行了尝试。

（一）布置任务，明确要求

1.出示小棒，导入新课

教师呈现用小棒搭成的各种图形（如图5），请学生说一说图形的名称。

2.提出要求，明确任务

以正方形为例，每4根小棒可以摆出一个正方形，那么8根小棒可以摆出几个这样的正方形，你能用算式来表示吗？

教师布置小组学习任务：试一试，能摆几个这样的正方形？在学习单（如表1）上画一画、写一写，并记录下来（为每组提供8～20根小棒）。

（二）尝试探究，理解意义

1.小组合作尝试

学生以小组为单位合作完成任务：摆一摆正方形，写一写除法算式。

2.汇报交流

学生呈现作品，教师进行整理。

（1）交流：请学生说一说在完成任务的过程中遇到的困难以及解决方法。

预设1：分后有剩余，剩余部分如何用算式表示？

预设2：遇到有剩余的情况，没有乘法口诀可用。

小结：像这样摆正方形出现小棒有剩余的情况，也可以用除法算式表示。多余的几根就叫余数，这样的除法就叫作有余数的除法。通常这样表示余数：9÷4=2……1（板书）。

说一说：9、4、2、1各表示什么？（补充单位名称）

（2）学生分组汇报，教师整理汇报内容，并用板书呈现（如表2）。

（3）全班交流，观察余数与除数的关系。

教师引导学生观察算式与小棒图之间的关系，让学生说一说发现了什么。

全班交流：在除法算式中，为什么余数总是比除数小？

3.寻找规律

要求学生摆一摆其他形状的图形，理解余数的周期性规律。

（1）请学生用小棒摆其他形状的图形，如正三角形、正五边形、正八边形等，观察余数，寻找规律。

（2）交流：摆这些图形时，有哪些相同点和不同点？余数分别是多少？

预设：摆正三角形，余数是1、2；摆正五边形，余数是1、2、3、4；摆正八边形，余数小于8。

教师追问：如果摆一个正一百边形，余数可能是几？

（3）总结：通过摆几何图形，发现随着小棒总数的增加，余数会呈现规律性的变化，但余数都比除数小。

（三）练习巩固，梳理拓展

（1）试一试。

（2）播放微课，梳理沟通。

（3）回顾前测题，布置新的学习任务。

课堂教学实践表明，学生兴趣浓厚，探究热情高涨。回顾“有余数的除法”的教学过程，可以深入认识如何基于学生的认知基础，设计有效教学，以激活学生的数学思维。整体感知让学生的认识更全面。通过课堂观察、访谈和作业分析，发现将例1、例2的教学内容整合为“认识有余数的除法”进行教学，使学生全面地认识了余数及其与除数的关系。经历操作让学生的认识更深入。通过摆图形、画图、写算式等活动，学生感知到余数的意义。问题真实让学生的认识更生动，以前测题中的真实问题为基础，设计有效的课堂教学，学生才有真收获。

基于学生的真实问题开展教学活动，适度地整合学习内容，能使学生在实践探究、体验反思和合作交流中，加深对余数的认识，让学生的学习真正发生在课堂上。

（浙江省杭州市求是教育集团）