建好“承重墙” 打通“隔断墙”

吴正宪老师说，要建立知识的“承重墙”，打通知识的“隔断墙”。笔者以为，建好“承重墙”就是帮助学生掌握数学的核心知识、核心概念、关键能力和思想方法等，为学生构建数学大厦奠定坚实基础；打通“隔断墙”的关键是引导学生以整体视角构建数学知识，理解数学知识之间的联系，形成结构化的数学知识体系。笔者以《乘法分配律》的教学为例，分析如何建好运算定律“承重墙”，打通运算本质“隔断墙”。

一、数形结合，建好“承重墙”

在小学阶段的数学教学中，“数”与“形”密不可分，它们相互转化、相辅相成。教师在教学中渗透数形结合的思想方法，将复杂问题简单化，有利于提高学生的数学思维能力和解决问题能力。运用数形结合的思想方法探究乘法分配律，理解乘法分配律的算理是本节课致力构建的“承重墙”。

课始，笔者出示情境图（略）并引导：“学校种植花卉美化校园，每行种12棵芍药，共种9行；每行种8棵牡丹，共种9行。种植芍药的地长15米、宽8米；种植牡丹的地长10米、宽8米。你能根据这些信息提出一个多于两步计算的数学问题吗？”通过观察情境图中的数学信息，学生提出多个符合要求的问题，其中涉及乘法分配律的有“芍药和牡丹一共有多少棵”“芍药和牡丹的种植面积一共是多少平方米”。这样设计问题情境，既有利于明确探究目标，又有利于培养学生发现问题、提出问题的能力，可为学生探究乘法分配律提供丰富的素材。

接着，笔者引导学生结合探究单（一）中的图1，独立解决“芍药和牡丹一共有多少棵”的问题。

学生借助图示解决问题，第一种方法是先求每行有芍药和牡丹共多少棵，列式为（12+8），再求9行一共有多少棵，列式为（12+8）×9；第二种方法是先分别求芍药和牡丹的总棵数，再合起来，即芍药棵数是12×9，牡丹棵数是8×9，一共的棵数是12×9+8×9。通过对比，学生发现这两种方法求出的结果相等。笔者引导：结果相等，我们就可以用“=”连接，从而得出（12+8）×9=12×9+8×9。

然后，笔者引导学生结合探究单（二）中的图2，说一说如何解决“芍药和牡丹的种植面积一共是多少平方米”的问题。

学生借助图示分析，提出可以先求种植芍药和牡丹的地一共长多少米，再用这个长乘宽“8米”求得芍药和牡丹的种植面积之和，列式为（15+10）×8，结果是200平方米；也可以先分别求芍药和牡丹的种植面积，再求芍药和牡丹的种植面积之和，列式为15×8+10×8，结果也是200平方米。同样地，学生发现用两种方法求出的结果相等，可得（15+10）×8=15×8+10×8。

以上教学，学生借助图形分析解题思路、列出算式，并比较两种解法，进而领会了乘法分配律的算理。

二、追根溯源，打通“隔断墙”

乘法分配律不是单一的乘法运算，它还涉及加法运算，学生理解起来有一定的困难。教师如何引导学生深入理解乘法分配律的本质，经历数学规律形成的抽象过程，提高数学思维水平呢？

在学生运用数形结合的思想方法初步理解了乘法分配律的算理后，笔者先提供式子“（125+4）×8=125×8+4×8”，引导学生结合上述探究过程猜想规律，举例验证，并总结规律：两个数的和乘一个数，可以把两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。接着，笔者提问：“刚刚我们举例，通过计算验证规律。如果不计算，你能分析式子左右两边相等的原因吗？”学生小组交流后回答：式子左边的（125+4）×8表示（125+4）个8相加的和，式子右边的125×8表示125个8相加的和，4×8表示4个8相加的和，而（125+4）个8相加的和就等于125个8与4个8相加的和，所以式子左右两边相等，等式成立。以上教学，学生在通过计算理解乘法分配律算理的基础上，进一步运用乘法的意义验证规律。这样既避免了学生因机械模仿等式形式而形成思维定式，又深化了学生对乘法分配律本质的理解。

然后，笔者提示：其实，我们以前的学习中就出现过乘法分配律。学生睁大了眼睛，十分好奇。笔者顺势引导：二年级我们学习了乘法的意义，三年级我们学习了笔算乘法，还学习了长方形的周长公式，这些内容中蕴含乘法分配律吗？学生的思维被激活，纷纷举手发言：“乘法的意义，如4个9加1个9等于5个9中有乘法分配律的影子”；“两位数乘一位数的笔算中也有乘法分配律的影子，如笔算12×3时，先算2×3，然后算10×3，最后把两个积相加”；“长方形周长计算公式体现了乘法分配律，因为‘长×2+宽×2’等于‘（长+宽）×2’”。由此，学生明确了乘法分配律不同的体现形式，逐层深入地理解了乘法分配律的本质，形成了抽象化的数学理解。

三、渗透史料，为数学大厦添砖加瓦

教师在教学中融入数学史料，可以增强学生的学习兴趣，帮助学生更好地理解数学原理，提高数学素养和文化素养，为他们构建数学大厦添砖加瓦。

课堂上，笔者根据学生的认知基础，结合教学内容，引入欧几里得《几何原本》中的命题并引导：“早在公元前300多年，欧几里得的《几何原本》中就有这样的论证。简单地说，就是大长方形的面积等于各个小长方形的面积之和。观察图形（如图3），对比今天所学，你有什么发现？”

学生思考后发现，欧几里得研究的是大长方形的面积等于多个小长方形的面积之和，这与今天所学的乘法分配律相似，只不过这里的加数更多，可以有无限多个。

在此基础上，笔者出示拓展题：“四年级学生参加植树活动，分成15个小组。每组中，4人负责挖坑，4人负责种树，4人负责抬水浇树。你能结合所学知识提出问题并用不同的方法解决吗？”针对“一共有多少名学生参加植树活动”的问题，学生分享如下方法：①15×4+15×4+15×4=180（人）；②（4+4+4）×15=180（人）；③4×3×15=3×4×15=180（人）。比较三种方法，方法①和方法②是乘法分配律的应用；方法③实质上是在方法②的基础上，根据乘法的意义进行简便运算的变形，变形后运用乘法交换律和结合律得出答案，这种方法体现了多种运算律的灵活应用，能使计算更简便。以上教学，笔者借助习题引导学生灵活运用本单元学习的运算律，沟通新旧知识之间的联系。

（作者单位：枣阳市太平镇第二小学）