提升高三理科生数学运算能力的教学实践

以某高中高三部分学生为研究对象，基本初等函数为测试内容，结合调查问卷、教师访谈等方法对学生的数学运算能力进行调查，在结果分析后了解了高三学生数学运算能力现状，并提出培养学生数学运算能力的有效策略，包括强化课本基础知识学习、加强题目多元变化训练、改变学生的运算习惯。

一、运算能力概述

（一）运算能力的定义

《中学数学教育教学论》明确指出，运算能力是基于基本的运算法则，按照相关解题步骤去推理运算并解决问题的能力，是分析题目取得结果的重要条件，快速运算能力的表现就是学生能够通过简洁、方便的方法和途径解决问题。从运算能力结构上来看，主要包括准确程度、快慢程度、简便程度和合理程度四个判定运算能力水平的要素，能够为理科学生运算提供相应标准。

（二）运算能力水平划分

参照数学课程标准，将高三学生数学运算水平划分为五个层次。

第一层次，学生对运算对象不清晰，对于运算对象的基本概念不够理解。第二层次，学生对运算对象和基本概念有一个清晰的印象，能够有效掌握相关数学知识。第三层次，学生对运算对象和基本概念都有明确的印象。第四层次，学生对运算对象和基本概念都有明确的印象，能够有效应用运算思维和程序。第五层次，学生对运算对象和基本概念都有明确的印象，在综合性较强的题目中能够对相关知识进行灵活运用。

二、研究设计

本文以四川省乐山市外国语学校高中理科生为研究对象，抽取男女生各100人，以初等函数为主题，通过实地调查和设计运算题目的方式，研究高三理科生数学运算水平。运算题目一共十道，共一百分，通过试卷发放、回收、整理、分析数据的过程，了解高三理科学生的数学运算能力。

（一）主题确定

笔者在高中数学课程标准的基础上，以基本初等函数题目为载体，对高三理科学生数学运算能力进行考查。笔者选取了人教A版高中数学必修一的指数、对数和幂函数等相关知识，要求学生对函数的概念和意义进行明确，能够掌握基本的运算思路和方法，并体现在数学运算能力水平上。

（二）题目的设计

对于运算能力试卷题目的设计，笔者结合数学教材和题目的难度，共设计十道题，涵盖数学运算能力水平的五个层次，旨在通过分数对学生的运算能力水平进行分析。

第一题和第二题，均对相关函数的概念进行考查；第三题和第四题，分别对函数运算性质和指数与对数关系基本运算进行考查。第五题和第六题，分别对指数公式变形求解和对数运算性质进行考查。第七题和第八题，分别对平方差公式和对数运算性质与二次函数性质的运算能力进行考查。第九题和第十题，分别对对数复合函数单调性和幂函数性质进行考查。设计题目如下：

1.当对数log（x-1）（5+4x）有意义时，则需满足的条件有 .（填正确的序号）

（1）x-1≠0 （2）x-1>0且x-1≠1

（3）5+4x>0 （4）5+4x∈R

2.函数（m2+2m-2）x（m-1）+n+1是幂函数，则需满足的条件有 .（填正确的序号）

（1）m2+2m-2=1 （2）m2+2m-2≠0

（3）n+1∈R （4）n+1=0 （5）m-1≠0

3.比较下列数的大小，填“>，=，<”号.

（1）1.012.7 1.013.5

（2）0.75-0.1 0.750.1

（3）In0.5 In0.6

（4）log1.51.6 log1.51.4

4.若alog45=1，求5a+5-a的值.

5.设2a=5b=m，且+=2，求m的值.

6.已知x=lnπ，y=log52，z=e-，则π，y，z有怎样的大小关系？请说明理由。

7.求函数f（x）=log2·log（2x）的最小值.

8.求函数f（x）=（log0.5x）2-2log0.5x+3的单调区间.

9.已知函数f（x）=-2x2+4x-1，定义域为［m，n］，且m>0，值域为，求m，n的值.

10.已知函数f（x）=x-2m2+m+3（m∈Z）为偶函数，且f（3）<f（5）.

（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；

（2）若y=loga［f（x）-ax］（a>0且a≠1）在区间［2，3］上为增函数，求实数a的取值集合.

（三）分数评定和数据收集

整套试卷题目满分为100分，每道题目分数10分，按照每20分划分数学运算能力水平层次，对学生运算能力水平进行判定。0～20分为第一层次运算水平，21～40分为第二层次以此类推，81～100分为第五层次。在本研究中，共同发放了100份试卷，有效回收试卷100份，回收率百分之百。

数据显示，第一，大部分高三理科生数学能力水平位于40～80分，平均值在70分左右；第二，高三理科女生比男生得分略高，说明女生运算能力较高于男生，需要教师着重分析男女学生的思维差异，选用不同的教学方法展开学习，推动学生的共同进步；第三，部分学生位于40分以下，处于第一、二层次的运算能力水平，需要教师对该部分学生加以重视引导。

（四）学生运算错误分析

通过试卷的调查显示，高三理科学生数学运算水平基本处于第三、第四层次的水平，整体水平较高。但在阅卷过程中，笔者发现学生常常出现的相关错误，并对其进行了归纳总结。第一，部分学生对函数运算基本概念理解不清晰，对于指数幂函数和对数函数的概念有所混淆。部分学生没有对函数的概念进行清晰的认知，大多数都是靠死记硬背，对该部分的问题没有引起足够的重视。第二，部分学生验算过程中没有形成良好的习惯，对问题的结果不能做出准确的判断。第三，部分学生在解答过程中出现粗心大意的情况，没有发现隐含条件，导致运算流程较为复杂。第四，部分学生思维没有跳出教材给定的解题思路的局限性，不能根据题意解答问题。

三、提升高三理科生数学运算能力水平的策略

（一）强化课本基础知识学习

数学运算要求学生根据运算法则解决数学问题，这需要学生充分把握数学概念、公式与法则，在熟练把握数学基础知识的基础上进行快速、精准运算。

首先，创新数学基础知识教学方法。在讲解定理、公式、法则等数学基础知识时，教师要摒弃“灌输式”“演示式”的传统教学方法，结合现实生活创设真实生动的数学情境，通过呈现推理过程帮助学生深入理解相关概念、法则、公式等数学基础知识，使学生在充分理解的基础上实现举一反三，切实依托数学运算能力培养学生的数学实践能力。如在函数应用教学过程中，教师可以紧密围绕日常生活中的问题建立函数模型，引导学生自主归纳几种生活问题的共同点和不同之处，并在合作探究学习中推理函数的相关概念，通过将学习主动权交给学生，激发学生的学习与探究兴趣，加深学生对基础知识的理解和运用。

其次，要坚持“以生为本”的教学理念，充分尊重学生的主体地位。在基础知识记忆中，教师要尊重高三学生的阶段特点和学习规律，设计“以生为本”的数学教学活动，支持学生在自主、合作与探究学习中完成数学基础知识的内化整合、实践应用与迁移创新，帮助学生准确快速地记忆相关概念，提升学生思维的逻辑性、辩证性与创新性，使学生在探索知识的过程中理解数学基础知识的基本内涵。比如，在三角函数的课堂教学中，教师可以利用“奇变偶不变，符号看象限”和“一正，二定，三相等”等不等式相关口诀，帮助学生快速记忆做题方法，并以此为基础理论推导其他相关知识的口诀方法。在复习相关知识的过程中，教师可以用图表的方法让学生进行对比学习。再如，在函数复习中，教师可以运用图表加深学生对数学基础知识的辨析与记忆，将指数、对数、幂函数相关概念与图解制作成表格，使学生通过对比与辨析加强记忆，避免知识点的混淆。

最后，要充分利用课前和课后时间。在课堂开始前，教师要借助诵读、提问、游戏等形式引导学生回顾上课所学的知识、公式，加深学生对基础知识的印象，引导学生养成良好的学习习惯。在课堂教学结束后，教师应通过加强训练的方式帮助学生巩固理解相关知识，多做一些形式不同的概念题目，让学生在练题刷题的过程中，加强对基础知识的掌握。

（二）加强题目多元变化训练

在课堂教学过程中，教师要通过题目的多元化训练，引导学生做题的基本技巧，借助一题多解、一题多变和多题一解等方法，激发学生的学习兴趣，提高学生对问题的分析归纳能力。

首先，要引导学生展开一题多解的相关训练。教师要运用同一类题目，引导学生从不同的角度思考分析，运用不同的思维方式和运算方法得出多元化的解题方式。在每一章节教学结束之后，教师可以自主设计应用性和代表性较强的习题，引导学生展开思维的训练，从而掌握一道题目的不同解决方法。

其次，要引导学生展开一题多变的训练。一方面，教师要设计条件不变的题目，引导学生通过条件来推出结论，加深理解二者之间的联系。另一方面，教师引导学生通过条件改变对一类题目进行新的推论，帮助学生认识条件对于问题结果所产生的影响。在复习教学的过程中，教师多设计一题多变的题目，运用不同知识之间的相互联系，帮助学生发散思维，深入思考探究问题，提高学生问题分析能力。

最后，开展多题一解训练。同一类型的题目从表面上看解法条件和结论都不相同，但解题思路和主要步骤基本相同。教师要明确某一类型的题目解题技巧和方法的共同之处，就同一类型题目要做好习题分类，帮助学生加强训练，提高学生的运算能力。比如在导数的教学过程中，对最值极值、单调性等不同类型的问题进行归纳总结，引导学生发现解题方法和步骤的相似性，有效转变学生的思维观念，提高学生的数学运算水平。

（三）改变学生的运算习惯

在高三理科生学习数学的过程中，部分学生存在不良的运算习惯，这些习惯严重阻碍了学生运算能力水平的提升。因此，教师要加强对这些问题的重视，找寻问题存在的原因，并提出合理的解决方案。

一方面，教师要引导学生认认真真做好每一道题，让学生体验解题的全过程。在这一过程中，教师要以提升学生数学运算能力为目标，引导学生关注解题过程，运用问题激励、任务驱动的方法引导学生循序渐进地进入深度学习状态，促使学生在问题分析及解决中掌握以前漏缺的相关知识点，做到查漏补缺。

另一方面，教师要引导学生对所有知识秉持高度重视，不能存在侥幸心理，不仅要抓重点考点，也要对其他知识有所把握，只有这样才能在考场中胸有成竹，无所畏惧。对于较为困难和不擅长的题目，教师更应该激励学生加以克服，引导学生深入分析问题、解决问题，并通过错题本加以复习，有效提升学生的数学运算能力。

此外，教师还要引导学生充分利用草稿纸，将自己的思路进行梳理，养成良好的卷面习惯，帮助学生在运算过程中理清逻辑思维，提高运算能力。

综上所述，当前高中数学课程标准对学生的运算能力提出了更高的要求。教师要转变传统的教学思维，以培养学生的数学运算能力为目标，根据高三理科生的阶段特点与学习规律，创新数学教学理念与方法，以促进数学教学提质增效。在这一过程中，教师不应以成绩衡量学生，要引导学生充分掌握数学运算的基本理念、方法、技能以及规律等，课堂中因材施教，启发诱导，重点关注解题过程，注重学生的性别思维差异，推动高三学生运算水平的整体提升。

（作者单位：四川省乐山市外国语学校）

编辑：曾彦慧