尺规作图在确定三角形形状中的教学意义

摘 要：以“三角形”章起始课的教学片断为例，利用尺规作图的方式创设确定三角形形状的情境，探讨培养学生有序思考问题，提高学生发现问题、分析问题和解决问题能力的途径和方法. 利用五个问题启发学生将三角形形状的确定从“形”的感性理解到“数”的理性认识，帮助学生构建确定三角形形状的认知结构，使学生体会从“位置的变换”到“线段长度的变化”的过程，提升学生辩证思考问题的能力.

关键词：尺规作图；三角形的形状；教学意义

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-8284（2024）09-0029-04

引用格式：袁晓婷. 尺规作图在确定三角形形状中的教学意义［J］. 中国数学教育（初中版），2024（9）：29-32.

一、提出问题

学生对三角形形状的认识过程经历了不同的阶段. 在幼儿时期，学生能从不同形状的图形中辨别出三角形的形状；在小学阶段，学生会根据边或角的特征对三角形进行分类. 几何教学中，学生通常会经历“直观感知—操作证实—辨析论证—度量计算”的过程. 在不同的学习阶段，教师应该关注学生不同层次的学习经验与学习能力的积累. 在七年级几何入门的教学中，教师应该关注直观感知与操作证实，强调让学生自己动手，通过折纸、度量、拼接等方式积累活动经验. 而尺规作图是一种学习情境的创设，是学生自己动手实际操作的活动，具有不可替代的直观性，能激发学生学习的创造性. 同时，尺规作图是问题解决不可或缺的一部分. 例如，对于“边边角”不能判定三角形全等，可以利用尺规作图的方式举出反例. 直观的论证不仅思路清晰，还具有很强的说服力. 但是在实际教学中，教师更注重辨析论证或者是以辨析论证为基础的计算，对学生的直观感知和尺规作图缺少重视.

沪教版《九年义务教育课本·数学》（以下统称“沪教版教材”）七年级第二学期“14.1 三角形的有关概念”一课主要通过让学生动手操作感受能构成三角形时三根细棒长度的特征. 在几何入门阶段关注学生动手操作、实验的经验积累，为探索构成三角形三边的条件作准备. 在利用三根细棒围三角形的过程中，学生能直观地发现三条线段构成三角形的条件. 在人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册“11.1 与三角形有关的线段”中，探究三角形的三边关系的活动：任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？学生可以利用“两点之间线段最短”解决三角形三边之间的关系.

基于以上对教材的研究，本文将从以尺规作图的方式确定三角形形状的视角进行教学设计.

二、运用尺规作图确定三角形形状的教学片断设计

运用尺规作图确定三角形形状的教学主要分为三个过程，如图1所示.

1. 探究三条线段能构成三角形的条件

问题1：现在有长度分别为2 cm，3 cm，4 cm，5 cm，6 cm的五条线段，从中任意挑选三条线段构成三角形，用尺规作图，共有哪几种选法？

师生活动：教师和学生共同作图、讨论得出如下结论.

结论：给出的五条线段中，选择其中三条共有10种选法.

【设计意图】问题1旨在引导学生有序思考，将教材例题中的实物操作改为尺规作图，进一步促进学生理解三角形三边之间的关系. 图形形状的多样性为学生对三角形形状的认识提供了更为丰富的素材.

问题2：这10种选法都能围成三角形吗？如何来研究呢？

师生活动：教师示范用尺规画三边长为2 cm，3 cm，4 cm的三角形的作法. 学生小组合作，分工作图，探究三条线段可以构成三角形的条件. 其他9种选法的作图如下.

根据上述作图，我们猜测可以构成三角形的三条线段的条件是：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

【设计意图】通过问题2激发学生的好奇心. 教师示范选法为2 cm，3 cm，4 cm的三条线段画三角形，唤醒学生尺规作图的记忆. 学生在七年级上学期学习了图形的运动. 在学生用尺规作图的同时渗透“画一条线段等于已知线段”的本质是线段的平移运动，“以线段的某个端点为圆心，已知线段长为半径画圆”是点的旋转运动.

通过让学生小组合作，分工画图，相互分享，帮助学生巩固了尺规作图. 学生经历了其他9种选法的作图、观察及分析的过程，将教材中4种情况下的推理猜测增加为9种情况. 虽然学生在作图上要花费一定的时间，但是这对学生推测能构成三角形的三条线段的条件起到了较好的效果，也为后续学生选择长度不同的三条边所形成的三角形形状的判断提供了生成性资源素材.

问题3：对探究活动进行小结，试归纳三条线段可以构成三角形的条件.

师生活动：师生共同总结归纳，概括出“三角形任意两边之和大于第三边”；运用不等式的性质，还可以得到“三角形任意两边之差小于第三边”. 同时，教师强调，在作图的过程中，需要关注所选的三条线段是否能构成三角形，即为对三角形的三个顶点的确认. 在画出第一条线段后就确定了三角形中的两个顶点，再利用尺规作图画剩下的两条线段，则为判断是否有三角形在第三个顶点处产生，所以将三条线段能否构成三角形的问题转化为是否能通过尺规作图找到三个确定的三角形的顶点的问题.

2. 给定三条线段对三角形形状的影响

问题4：图11至图13分别是三组已知三边长度的三角形的两种不同画法. 图11中的三角形三边长分别为2，4，5，图12中的三角形三边长分别为3，4，5，图13中的三角形三边长分别为4，5，6. 观察这三组三角形，它们的形状一样吗？

师生活动：再现学生所作图形，探究同样三条线段的不同作法对三角形形状的影响.

【设计意图】教师收集学生所作图形中的典型画法，引导学生辨析在已知三边长情况下的三角形的形状是否相同. 可以通过度量、观察等方式确定三角形的形状相同，并揭示形状看似不同的原因是选择水平放置的边的长度不同，从而导致摆放位置的不同，进而引起视觉上的三角形形状的差异. 通过师生共同探究，让学生初步体会已知三条确定的边时，三角形的形状是唯一确定的，不受位置的变化而改变.

3. 线段的不同长度对三角形形状的影响

问题5：图14中的三角形三边长分别为2，4，5，图15中的三角形三边长分别为3，4，5，图16中的三角形三边长分别为4，5，6. 观察下列三个三角形，它们的形状一样吗？猜测影响三角形形状的元素.

师生活动：学生指出影响三角形形状的元素是边的长度，并发现：当[22+42-52<0]时，三角形的形状是钝角三角形；当[32+][42-52=0]时，三角形的形状是直角三角形；当[42+52-62>0]时，三角形的形状是锐角三角形. 从而得到结论：通过计算较小两边的平方和减去较长边的平方，将所得结果与0进行比较，能够判断出三角形的形状. 教师利用几何画板软件，通过改变三角形的边的长度，让学生直观地看到三角形形状的变化情况.

【设计意图】选择三个不同形状的三角形（钝角三角形、直角三角形与锐角三角形）进行观察，使学生初步感知三角形的形状受三角形三边的长度所影响，并发现三边的长度是如何影响三角形的形状变化的，为后续学习勾股定理、余弦定理埋下伏笔.

三、尺规作图的教学意义

尺规作图是只能用直尺和圆规为工具作图的一种作图方式. 其中，直尺的作用是用到了其“直”这个元素，不可以使用刻度；圆规就是用来画弧线或者截取相等长度的线段. 利用尺规作图进行几何图形研究的过程，是让学生从操作体验提升到理论认识的重要途径，是学生动手操作和几何推理相结合的结果. 在这个过程中，学生的几何直观、推理能力、空间想象等数学核心素养得到发展，对数学教学产生重要的意义.

1. 从小学阶段的实验几何向初中阶段的演绎几何过渡

小学阶段，学生从一年级第二学期开始认识“度量”这个概念，并学会用直尺度量，认识了长度单位；角的概念出现在二年级第一学期，角的度量出现在四年级第一学期. 学生在度量线段长和角度时，认识了刻度尺和量角器. 小学阶段通过“画一画”“量一量”“折一折”“拼一拼”等操作活动，培养学生的动手操作能力、自主探究能力、空间观念等.

“画一个角等于已知角”是沪教版教材六年级第二学期第七章“线段与角的画法”第4节的内容，这部分内容是基本的尺规作图内容之一，让尺规作图与演绎推理之间产生联系. 在这个阶段，学生对作图的掌握停留在机械操作层面，知其然而不知其所以然，其证明要到七年级第二学期，利用“边边边”证明三角形全等，再利用全等三角形的对应角相等进行证明. 该部分内容将“会作”前置，探索作法扎根在体验中，让实验几何中的直观先行，为说理埋下种子，将“明理”后置，以“理”再生“法”，使学生带着原有的知识、方法、经验去主动思考、反思，对原先的“会作”能进行说理，构建新的知识体系. 这是对事物本质特征的进一步探索，进而提升学生的逻辑思维能力.

沪教版教材七年级第二学期第十四章“三角形”是实验几何的最后一章. 此时，教师既要注意把握实验几何阶段的学习要求，又要把握好从实验几何逐步向演绎几何过渡的要求. 基于此，本节课设计探究三角形三边关系活动时，通过将实物操作抽象为尺规作图的过程，促进了学生对三角形三边关系的内在感悟，引导学生进行理性思考与分析，归纳得到三角形的三边关系. 本节课利用“尺”“规”让学生进一步感受数学对象的产生，发现数学问题，领悟数学思想，由具象思维过渡到抽象思维.

2. 直观理解确定一个三角形的条件

数学教学需要重视对数学本质和内涵的挖掘，需要教师研究某节课、某一单元、某个章节，甚至初中阶段的整体知识结构的特征，体现数学教师对所教内容的整体思考. 在本节课问题2的探究中，不仅探究了确定一个三角形的条件，也将尺规作图与图形运动这两块割裂的知识建立起了联系，为后续已知三边画三角形、全等三角形“边边边”判定的学习奠定基础. 教材中给出的用细棒围三角形的探究活动，让学生经历了动手度量、拼凑、叠合等几何操作过程，这具有不可替代的直观性. 尺规作图是人类理性思维的瑰宝，它简单、准确、理性、实用. 在尺规作图过程中，留给学生更多自主探究、思考分析的空间．为了促进学生能力的发展、知识的建构，教师应该细致分析教学内容，将零散的知识系统化，由传输知识技能的“鱼”向提升思维的“渔”转变，着力将蕴含在教学内容“暗线”中的思想方法以“明线”的方式揭示出来，寻找一个好的学习载体，发展学生从实验操作到推理论证的逻辑思维.

3. 初步感知“数”与“形”的关联

在七年级，学生对“形”的认识与“数”的认识是分开的，几何的学习系统与代数的学习系统的关系建立直到学习平面直角坐标系后才有所感悟，而将三角形的形状与代数系统建立起联系是在学习了直角三角形、锐角三角函数后才有所体会的，真正地运用代数系统推理证明三角形形状的认识是缺失的. 解决问题5的过程中，利用三角形三边的特殊数值及几何画板软件的演示，使学生感受到了边长的数量关系对三角形形状的影响. 而高中阶段是直接解斜三角形. 为什么可解？可解的条件是什么？这是建立在初中画三角形的认知基础上的. 本节课的设计让学生从画三角形初步感知“数”与“形”的关联，为高中阶段学习正、余弦定理作铺垫，也是对三角形“形”的认识上升到运用“数”的推理证明.

参考文献：

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