转换性数学学习：内涵与价值

［摘 要］转换性数学学习表征了数学学习活动中主体的主动性、意义的建构性和常识的转化性，关联着数学学习中多个维度的转换性，但并不是转换性学习理论在数学学习活动中的简单推演，也不能被视为数学学习理论现代发展的主要方向或者唯一的研究范式，而是要将数学的学科特质和学习思维等属性嵌入到那些看似相同或相似的转换性过程中，需要重视数学活动中意义的视角和图式，在变化、变换和变式中建构与完善数学知识结构，将数学知识转化为数学能力和核心素养。好的转换性数学学习不仅能引导数学教与学关系的转变，而且能助推学生数学学习力提升和涵养核心素养教育的全面落实。

［关键词］转换性数学学习；数学知识；数学思维；核心素养

［中图分类号］G720 ［文献标识码］A ［文章编号］1005-5843（2024）05-0023-08

［DOI］10.13980/j.cnki.xdjykx.2024.05.004

转换性数学学习表征了数学学习活动中主体的主动性、意义的建构性和常识的转化性，契合了学生核心素养培养的需要。倡导并落实转换性数学学习，对于健全学生数学学习机制，帮助教师依据数学课程标准理念，优化数学教学设计，化解核心素养培养制约因素具有非常重要的意义。本文基于转换性学习理论的再认识，初步探讨转换性数学学习的内涵与价值。

一、关于转换性学习

在成人教育领域，转换性学习指向了学习者世界观、人生观、方法论的检视、质疑、修正、调整、改造以及相关价值观的重建，强调学习要适应新情境、积累新经验。转换性学习最初由美国哥伦比亚大学师范学院教授、成人教育学者杰克·麦基罗（Jack Mezirow ）在20世纪70年代提出，在学术界被认为世界范围内成人学习领域影响最为深远的一种学习理论［1］。后来的研究者，比如保罗·弗莱雷（Paulo Freire）、罗伯特·博伊德（Robert Boyd）、克兰顿（Patricia Cranton）、爱德华·泰勒（Edward W.Tayler）等人，基于已有学习理论的实践与反思，融入了建构主义、解放教育思想、批判性思维和认知心理学等有关内容，并因此推动了转换性学习理论的深化与拓展［2］。

（一）转换性学习中的改变与转变以意义为核心要素

就内容而言，转换性学习涉及学习者感知事物方式的改变，是一种与成人学习密切相关的过程或模式。这种学习观认为学习不仅仅是学习者知识结构的改变，而且是学习者在观点及信念体系上的转变。学习者通过改变、转变获得许多新的信息，通过质疑原有观念开启以转换、转化为导向的学习。在转换性学习过程中，学习者要从知识、技能的单纯接受转向意义的建构，要通过使用先前的解释来分析业已变化或修订了的某一经验的意义，促进其所学知识及认知思维向深层次转变。关联着转换性学习的核心要素是意义，这是因为，每个人都有由意义视角、意义图式组成的固定的意义结构。对学习者而言，有没有发生转换性学习，需要评价其已有意义结构是否发生了改变。好的转换性学习将有助于学习者建立更有开放性、包容性和区分性的新的意义结构，可通过获得的意义指导自身的行为。学习者的经验与体验是学习者自我建构的结果，学习者可基于经验与体验生成学习的意义，建构特定的知识与理解。学习者所拥有的相关经验、体验对于学习中转化的实现不仅是不可或缺的，而且也是其在学习中进一步进行自我解构的前提和基础。

不同于单纯知识或机械技能的简单性传递、转移，转换性学习不仅重视学习者对于知识结构的改变，而且重视学习者对于自身认知体系的转变。在转换性学习过程中，既有对所学知识及其意义的主动建构，又有对已有知识、技能、过程、方法、信念或价值观的评估和重构，并因此显现了学习中建构与解构的意义［3］。就学习的过程与方式而言，转换性学习并非一个简单的线性过程，而是有其个性化、经验性、流动性等方面的特点。学习者不同的生活背景、知识基础、实践经验和活动情境会对学习的发生、维持与深化产生不同的影响，不同学习者的思维碰撞、合作探究和实践反思有助于转换性学习的效果改善。对个体而言，转换性学习更多的是基于其已有的认知、理解、关联、分析、整合和反思而实现，为了将知识转化为能力，需要开展具有一定批判性、反思性的学习检视，并注重与他人进行的互动、交流。

（二）转换性学习离不开学习者的自我主导力

较之于其他维度的改变，学习者心理结构和信念系统的改变是根本性的学习改变。为了实现这种改变，学习者需要学习的自我主导力。缺少这种主导力，学习者的学习会丢失其转变的基础，难以取得有价值的学习成果［4］。学习者之所以要学习，说到底是为了改变，改变是学习者学习的目的。

为了实现有效改变的目的，参与式学习需要被进一步倡导，这将有利于学习者在深度参与的过程中实现知识、技能和观念等方面的有效转变。学习者在参与式学习过程中的主导力可表现在多个方面。一方面，可表现为学习者对所学知识的主动质疑，因为只有对原有观念进行主动质疑，学习者才有机会理性地检视、发现其原有观念所存在的问题，才能据此进一步了解、明晰其原有观念“因为什么及究竟是怎样限制了自己对世界或他人的观察、理解、感受”。另一方面，可表现为学习者的批判性反思，这种反思不仅涉及对学习者原有观念来源及相关后果的批判性评估，而且涉及学习者在新境遇、新经验中对原有观念适切性、有效性的检视，涉及学习者对于观念之选择、计划之行动、实践之角色和主体间关系等维度的审思。

在数字化、自动化和人工智能等技术日益广泛运用的时代，个体能否形成有效的转换性学习，往往取决于个体能否对其原有的意义视角进行批判与反思，批判性思维有助于其主体性的安顿、重塑［5］，学习者对学习的批判性反思是其转换性学习的关键。从实践层面来分析，对于批判性的自我反思也可具化为学习者对学习中自我或他我的对话。事实上，转换性学习是基于学习者已有经验的学习，学习者对所学知识及其认知框架的改变也是学习者自我主导力的重要方面，学习者通过转换性学习对原有认知结构进行深刻性反思，可对所获得的外部知识进行组织、重新组织及基于评估而重构。由于转换性学习不一定要通过理性的批判，不一定要局限于语言文字沟通等显性的方式，所以转换性学习也可借助于诸如想象、默想等超理性的活动或对话展开［6］。

（三）转换性意义存在于学习者的心理、信念和行为等层面

转换性学习的目的不仅在于获得知识与技能，而且在于促进学习者成为主动、能动的思考者，能通过具有批判性的自我反思有效调整、修正其业已存在或已经固化了的意义图式，并因此使学习者能从原有的意义视角中解放出来，改变那些已经不能适应当前变化的一些世界观、人生观、价值观或方法论，建立更新的意义视角，建构更新的世界观、人生观、价值观或方法论。

正是经历了转换性学习，才赋予了学习者心理、信念和行为等不同层面的转换性意义。在心理层面，转换性学习促进了学习者的自我了解以及相关意识的改变，重视自我发展要适应时代发展和社会需求，强化了学习者的深度学习和认知重构，并因此在不断变化、充满复杂性的社会环境中保持学习者应有的灵活性、适应性和发展性。在信念层面，转换性学习促进了学习者在世界观、人生观、价值观和方法论等信念系统要素的改变，并因此使学习者在面对复杂多变的社会环境时能灵活地调整自己的认知系统，更好地适应和应对来自不同方面的挑战。在行为层面，转换性学习促进了学习者生活态度和方式的改变，强调了学习者主动参与、内在动机对于学习及由此产生改变的重要性。

二、转换性数学学习的内涵

转换性数学学习表征了数学学习活动中主体的主动性、意义的建构性和常识的转化性，关联着数学学习中多个维度的转换性。然而，转换性数学学习并不是转换性学习理论在数学学习活动中的简单推演，也不能被视为数学学习理论现代发展的主要方向或唯一的研究范式。

（一）转换性数学学习具有转换性学习的一般属性

从学习的一般属性来分析，转换性数学学习包含了主体、认知、非认知、目标、方法、策略和环境等多种因素，需强调学习主体的目标性、主动性、能动性、创造性、实践性及其作为学习活动组织者的引导作用。这也表明，转换性数学学习和其他学科的转换性学习一样，都具有某种相似或共同的转换性过程，都是按照某种基本相同或相似的法则展开具体的学习过程。

比如，对大多数学生而言，转换性数学学习是通过诸如上课、阅读、交流、理解、分析、思考、探究、实践等途径而发生，不仅习得了数学的知识与技能，而且建构了有关的思想与方法，产生了数学认知行为或行为潜能比较持久的变化。作为一个过程，转换性数学学习涉及新旧知识间的连接及思维与认知从无序到有序的转化，涉及学习者认知结构的组织与重新组织。作为一个结果，转换性数学学习关联着知识结构与认知结构，既有知识、技能和能力等显性成分，也有经验、体验、思维、情意等隐性成分。这也表明，转换性数学学习并不仅仅局限于概念、命题、公理、定理等内容的学习与转换，而是要深入到学习者核心素养的建构与发展，需对“三维一体”学习目标升级或转换。这是因为，转换性数学学习一方面是对学生所拥有的具体数学知识的转换，另一方面还同时转换了学生的数学观点与认知信念体系，丰富或优化了学生的数学知识结构，提升了学生的数学化综合素质。

（二）转换性数学学习是嵌入数学学科特质和思维建构要求的转换性学习

从数学学科的特殊属性来分析，转换性数学学习是具有数学学科这一特殊属性的转换性学习。

转换性数学学习聚焦学生的概念理解和问题解决，重视数学知识与思维的建构，是一种具有科学性公共语言的转化学习，是抽象活动的转化学习，与抽象思维、逻辑推理、模型建构和知识系统的转换密切相关。理解转换性数学学习要高度重视数学学科特殊属性在数学学习活动中的内化，要围绕数学学习的本真问题开展转换性数学学习的分析、研究，并据此进行转换性数学学习的内涵建构。事实上，转换性数学学习所具有的逻辑性不仅体现于其数学活动中严格的命题推理和严密的逻辑推导，而且体现在内嵌于学习中的抽象性而需要抽象概念的学习、应用及以此为基础的推理和证明，需要关注一般性规律和普遍性问题的研究。相应地，转换性数学学习也发生于从具体到抽象、从特殊到一般之间的动态转换。

转换性数学学习是有意义的抽象学习，需强调抽象学习过程中的意义赋予和抽象学习材料的潜在意义，强调学习者在面对抽象学习任务时要具备有意义的抽象学习心向，善于在已有知识及其与要学习新材料间建立联系。数学学科的数学化属性决定了转换性数学学习是注重思维参与的数学化学习，转换性体现于数学化过程中数学思维由浅层次向深层次的转换，学习者通过数学思维的转换获得数学思维发展及数学认知结构完善。这也表明，转换性数学学习要重视学生数学思维建构与发展这一关键，平衡好数学思维活动中意义性、常识性、抽象性、结构性之间的关系。

从不同思维类型来分析，转换性数学学习也是学习者在不同数学思维间进行转换的学习，是学习者不同思维相互协同、动态平衡的学习。为此，不仅要认识到抽象思维、逻辑思维对数学转换性学习的本真作用，而且要认识到合情推理思维对数学转换性学习所具有的重要价值。

为了深化学生的数学转换性学习，数学教学过程中要突出3个方面的努力。第一，高度重视数学概念的教学，防止不知不觉陷入“掐头去尾烧中段”的概念教学陷阱。这种陷阱突出了“一个定义”，强调了“三点注意”，然后进行大容量数学解题训练，教学过程貌似严密、无懈可击，但并不真正有利于学生建构数学概念的意义，相反会模糊概念内涵与外延的清晰界限。第二，高度重视数学知识间的关系，促进学习者的思维从工具性理解、运算性理解走向关系性理解、结构性理解、创造性理解、文化性理解，重视学生对数学思想、数学方法、数学精神的感悟，关注学生知识、经验、体验的累积、激活、转换、改造和创生。第三，高度重视学习不同维度的平衡，比如抽象思维与具体操作的平衡，学科逻辑与数学现实的平衡，逻辑推理与合情推理的平衡，等等。

（三）转换性数学学习的转换性体现了基于常识的结构性、层次性

转换性数学学习的转换性是基于常识的转化性，有其内在的结构性、层次性。根据弗赖登塔尔（H.Freudenthal）的观点，数学是一种系统化常识，是转换性数学学习的思维支架。事实上，无论是隐性数学知识的动态生成还是显性数学关系的抽象建构都离不开学生以常识为基础的数学现实，转换性数学学习是与“常识”“经验性”“拟经验性”密切相关的转换性学习。一方面，转换性数学学习是源于、寓于学习者“常识”“数学现实”的能动性数学学习，学生已有数学知识、活动经验和有序的数学认知活动必然有利于学生转换性数学学习的建构与发展。另一方面，转换性数学学习发生于学习者基于“常识”的“数学化”“再创造”“反思”等数学活动，转换本身是一种过程性的学习体验与数学活动经历，意味着学习者数学知识结构、数学认知结构的优化。数学知识及其相关的逻辑思维隐藏于数学活动的实践之中，实现学习者经由转换性学习促进学习与思维结构化的关键在于教师的教学设计，特别是能否基于学生“常识”“数学现实”精心设计聚焦数学核心内容、具有一定逻辑结构、体现序列化特点的问题。

转换性数学学习的转换性还体现了基于常识的层次性，这是因为，在普通常识转化为数学知识的过程中，需经过必要的抽象、提炼和组织，并据此凝聚成可在高一层次成为新常识的法则。由此，转换性数学学习在本质上也是由常识转化为法则再转化为新常识的螺旋上升过程。学习者头脑中常识经由数学教学法加工而实现有效转化与转换，这一过程不仅涉及对一些数学概念、数学定理和数学公式的分析、理解、内化和应用，而且还涉及到对一些数学思想方法的感悟与数学思维模式的建构。数学转换性学习在常识上的层次性还表现为学习者在不同阶段所存在着的常识的层次差异。比如，对于小学生而言，生活常识构成了数学转换性学习的重要基础，学生基于生活常识可设计一系列主体性数学活动，不同数学活动间与同一数学活动内部相互关联、相互转化，形成数学转换性学习中结构框架的基础，这时，数学常识既有个性化、直观性特征，又有活动性、实践性特点。到了初高中之后，学生的数学常识与数学关系、数学结构更为紧密相关，不仅显现了思维性、抽象性、关系性的特征，而且显现了数学逻辑与生活逻辑的整合。在此情况下，抽象不仅是转换性数学学习中的基本思想，而且是学生形成、发展理性思维的重要基础，学生通过对抽象和关系的把握建构数学活动中分析性、论证性、创造性、实践性的思维和相关的数学思维。从对学生学习引导来分析，把握了学生不同阶段常识性特征，可更加合理地设计与常识密切相关的情景问题，使学生在常识性的学习平台上落实数学现实向数学实现的有序转化。

较之于其他学科中学习的引导，转换性数学学习中教师对学生引导要更加重视学生有序的“思想实验”和从操作层面落实概念性知识的学习与运用，并因此促进学生对所学数学知识的深刻理解。做不到这点，相关实践就容易异化转换性数学学习本身，形成难以避免的局限性。比如，有一线数学教师将转换性数学学习简单地理解为变式数学学习，重视一题多变、一式多变、一图多变、一题多解和一法多用，这些做法虽增进了学生对所学数学知识的结果理解，但并没有提升学生在思维或方法上的创新性、创造性，相反，是将具有复杂性、探究性、问题性的数学过程学习进行了降格处理，不仅窄化了转换性数学学习的内涵，而且弱化了转换性数学学习的功能与价值。

三、转换性数学学习的价值

尽管转换性数学学习并不能被视为数学学习理论现代发展的主要方向或唯一研究范式，但由于转换性数学学习本身强调了数学学习中意义视角、意义图式的转变，强调了从知识学习、技能训练转向概念理解、问题解决、思维进阶和能力提升，所以利于学生从多个角度审视、理解所学的数学概念、数学命题及所探究的数学问题，通过变化、变换和变式更有层次、更有深度地推进数学活动，引导学习者结合所学内容、所用方法对数学学习的价值和理念进行反思；利于学习者在数学活动中内化知识，实现由知识到能力、学力和素养进行转化的目标传导，彰显转换性数学学习的独特价值。

（一）引导数学活动中教与学关系的转变

在转换性数学学习视野中，数学教师不再只是数学活动信息的提供者，而是逐渐转变为能动性数学活动的设计者、开发者、组织者和促进者，需将学习内容转换为学生可接受的形式，通过必要的教学准备、内容表征、方法选择和活动调适引导学生进行转换性学习［7］。转换性数学学习是主体解放性的数学学习，学生需收集、分析、处理数学活动的信息，但不再被动地接收数学活动信息，而是转向自主、能动的转化学习和数学活动意义的自我建构。推动转换性数学学习不仅有助于数学课堂中教育教学方式的完善和良好师生关系的建立，而且有助于师生及时转变那些并不恰当但已习惯化了的数学教与学关系。之所以如此，是因为转换性的数学学习可为理解数学课堂中教与学关系的改变提供值得借鉴的行动框架和具有指导意义的方法论，利于学习者深刻洞察数学课堂中的教学关系及基于教学关系的深刻洞察而对具有丰富性、实践性的数学教学活动的优化、改进。

从数学课堂中知识转换角度来分析，转换性数学学习不仅关注学生对于数学课堂中客观性知识的学习与理解，更重要的是引导学生经历“从具体到抽象再到具体”“从特殊到一般再到特殊”不断循环的转化过程，将接收到的客观性知识内化为学习者个体性知识。例如，为了引导学生学习点、线、面、数、式、函数、映射、关系等抽象概念，教学中不是要简单、直接地进行相关概念的抽象化描述或提出一些形式化数学定义，而是以一些具体对象作为基础，然后进行必要的逐级抽象、描述、分析。但是，教学并不止于学生对数学知识的具体、特殊的感官体验或直观理解，而是通过逐级抽象或一般化的数学过程建构学生的抽象思维，构建有意义的高阶数学认知。有经验的数学教师可在提供大量相反意义量这一生活原型基础上引入数学中正负数的概念，可通过对生活中诸如黑板面、墙面、地面、桌面、水面等自然界中的具体物体进行必要抽象，揭示数学中“平面”这一概念所具有的“无限延伸性”“没有厚度”等本质特征。这些做法可帮助学生更好地建构概念恰当的心理表征。更一般地说，为了降低数学学习中抽象的层次，教师可合理采用具体对象对一些抽象对象进行替代，并在此基础上通过具体对象抽象化、特殊问题一般化的数学活动过程实现知识的意义重构。通过转换性学习，不仅深化了学生对于有关数学概念、数学命题、数学思想、数学方法和数学策略的理解，而且提升了学生对于公共性、抽象性数学知识进行内化的能力，利于学生将已内化的个体性知识进一步转化为可分享的公共知识。

从学习过程中思维转换来分析，课堂中要关注学生的数学思维，要引导学生善于将新知识、新命题转化为其已掌握的旧知识、旧命题，学会师生角色转换，从学生角度思考数学教学的目标与任务，合理利用变式教学，通过“一题多解”“一法多题”“多角度思考”等方法激活学生数学思维，引导学生克服旧有思维惰性和数学学习路径依赖，学会灵活地改变数学思考的方向、角度，变换数学思维的方式、方法，通过改变问题的方向或角度，将待解问题从一种形式或形态转换成另一种形式或形态。例如，面对一个待解的实际问题，教师可引导学生先进行横向数学化，将待求实际问题转化为已经学习过的诸如函数、方程或不等式等问题，引导学生思考能否将所给实际问题中有关数据关系用某一具体函数、线性方程或不等式来表示，能否进行相关图像及其性质分析，在此基础上进行一系列纵向数学化，通过数学问题的转化、求解与反思来剖析待解实际问题的答案。通过类似的转换性学习，教师可引导学生更有效地实现复杂问题的简化、抽象问题的具化、陌生问题的熟化。

从数学课堂教学模式转换来分析，转换性数学学习要求关注学生的个性化数学学习、跨学科性数学学习、探究性数学学习和创新思维发展，要求关注学生的数学化，重视学生对于数学方法、数学理论的掌握，并用它们来分析、理解、解决问题。例如，在小学阶段“认识千米”这一知识学习中，可围绕特定的知识主题，设计数学与体育、语文、信息科技以及道德法治等学科进行横跨的学习活动。就与体育的横跨而言，可设计跑步比赛中如何进行距离测量的数学活动，在此活动中，学生不仅要认识“千米”的意义，而且要测算出每分钟跑步的速度、预估完成1千米所需的时间。教师可在数学活动中设计出标注了起点、终点、中途点的运动轨迹图，帮助学生在认识“千米”基础上初步理解体育运动中距离和速度两者间的关系。就与语文的横跨而言，教师可指导学生阅读与长跑有关的报刊文章，从中提取出与距离、速度、时间等有关的信息，将所提取信息有效整合到具体的数学问题中，在完成数学问题基础上，引导学生写一篇有个人体验的短文，描述自己一次长跑经历及结合有关数学知识学习讨论如何进行跑步策略优化。就与信息科技的横跨而言，可使用地图软件标记不同地点间距离，帮助学生初步了解诸如地理信息系统等软件的具体应用，同时探索如何利用计算机编程对跑步比赛中的过程进行模拟，理性分析不同速度对于完成1千米跑步距离所需时间的影响。就与道德法治的横跨而言，可引导学生讨论在长跑比赛中为何要遵守竞赛规则、应遵守哪些行为准则及如何通过精确数学计算和活动安排保证长跑比赛公平性。这样的转换性数学学习不仅可使学生获得多个学科学习体验，增加数学知识的理解性、致用性，而且通过对旧有教学模式的变革，可更好地激发学生卷入数学活动的热情，更有效地增强学生深度数学学习的动力。

（二）助推学生数学学习力提升

转换性数学学习不仅关注问题解决过程中的形式转换，而且关注数学知识、数学经验如何被学生内化并转化为对数学学习力提升具有重要影响的核心信念和价值观，关注所学数学思想与方法的普遍性意义。比如，在数学解题学习中，不仅注意解题活动中具体的数学思维，而且跳出具体问题的数学解题思维，通过解题后的归纳与总结，用更加凝练的语言提升、推广解题活动中的数学思维，从一般的思维活动中寻觅由数学解题意义视角、意义图式所组成的数学解题意义结构，从更为一般的角度揭示解题活动中所蕴含的思想与方法的普遍性意义。从更广泛的角度来审视，转换性数学学习中诸如“活动经验”“实践反思”“深度互动”“整体性思维”“大概念”“结构化”“跨学科”等主观或客观重组要素都契合了数学学习力提升要求。

通过转换性数学学习，学生会更加关注作为数学学习力核心要素的数学思维，通过数学思考和问题转换学会数学思维，通过合法性边缘参与激活数学学习思维，通过优化数学思维和分析、求解问题获得更加清晰、深入、全面、合理的思维转换思路和问题探求精神，将直观、具体的思维转换为理性、抽象的思维，并逐步走向具有求真、明体、达用的理性精神。较之于对理性认知因素的重视，转换性数学学习也重视了与数学学习力提升密切相关的非理性因素，将学生数学情意、空间想象、数学直觉等视为转换性数学学习得以实现不能缺位的因素和重要的动力。例如，在初中“等腰三角形的基本性质”这一数学知识转换性学习中，学生的数学直观就是数学活动不能缺位的因素和重要的动力。这是因为，在引导学生对“两个底角相等”“顶角平分线、底边上中线、底边上高相互重合”这些性质的探究中，教师首先需要学生通过直观进行相关数学性质的感知、猜想而非严格意义上的数学证明或概念界定，数学直觉对于学生理解等腰三角形性质及与此相关的学习力就可起到关键性作用。毕竟，等腰三角形两个底角相等是一个直观概念，这种直观感知能让学生快速地识别、应用等腰三角形性质，可直接领悟、洞察“等腰三角形三线合一”的性质。认知与非认知两类因素相互协同，既强化了学习者对思维习惯的改变，又强化了学习者对于数学知识的理解、转化与应用，重视数学课堂中通过互动与交流提高数学洞察力、达成数学学习共识。

转换性数学学习在关注学生数学知识或数学技能发展过程的同时，也关注学生数学活动过程与方法的优化，要求学生持续地进行数学思考，不断增加数学活动的方向感、目标感、实践感及反思性和进阶性，并因此使数学学习从一种状态、形式转变为另一种状态、形式。例如，教师可通过引导学生对于符号化、数形结合、函数、方程、转化、对应、假设、比较、分类讨论、模型化等思想方法的掌握，寓思想方法于具体的数学知识学习中，能有效增加学生对所学数学知识本质的认识及与学习本身有关的方向感、目标感、体系性，不断提高学生数学转换性学习能力。就具体的数学解题活动而言，拥有转化思想方法的学生不仅能正向地思考、分析待探究的数学问题，而且可通过逆向性的数学思维，从待探求结果出发，逐步地分析、推导出当前待探究问题的前因，并因此找到问题求解关键点。好的转换性数学学习会营造有意义的数学活动环境，搭建师生互动交流的数学学习平台，激发学生深度数学学习的动机，促进学生主动、能动的数学活动参与和批判性的数学思考，使学生能基于抽象、推理和模型建构进行理性对话。

转换性数学学习可涵养学生可迁移、可持续数学学力。例如，正是从“转换”和“迁移”角度分析，可看到新数学知识学习也是已学数学知识重新梳理与再认识的过程。就数认识的扩展而言，数系扩张不仅仅是从一元数系到二元数系的简单扩展，而且是涉及代数、拓扑和Galois理论等数学分支的复杂性数学化过程，与此相关，学习者数学学力也就涵养于转换性中的学习迁移和可持续性数学思考。中小学阶段，先后经历了从整数到有理数、从有理数再到实数、从实数到复数的扩张，数系扩张学习也是转换性数学学习，从中可逐步地扩展学生对于数的理解和运算能力。在小学阶段，经历了从自然数到正有理数扩张。在初中阶段，经历了从有理数到实数扩张。在高中阶段，经历了从实数到复数扩张，复数学习过程就变成实数域上有关知识重新复习与认识过程。学生可用新学习的复数知识重温初中阶段代数式各种运算的知识，可用新学习的复数知识重新认识几何变换，重新理解高中阶段所学向量、三角、不等式与解析几何等知识。这样的转换性数学学习，学生不仅感受到新旧数学知识间的差异性，而且使以前所学旧知识在新情境中获得了新生，旧知识成为新知识的特殊情况，新知识成为旧知识的拓展、提升，学生对于旧知的复习过程和新知的内化过程也成为数学学力的涵养过程。事实上，在转换性数学学习中，学生需优化数学学习内容和数学活动方式，需探究问题、解析概念、转化思维、明理达用，需改变数学学习信念、数学活动价值观念、数学思维方式，在循理而行的数学化活动过程中体会所学数学知识的本质内涵，领悟数学思想方法，提升所学数学知识理解的层次和数学活动的实践品性，并通过所学数学知识体系建立和新旧知识间相似性发现，促进数学学习中高通路迁移实现。

（三）涵养核心素养教育的全面落实

转换性数学学习不仅关注不同数学学习内容中的相似性、关联性、结构性，关注师生对于核心素养及其培养理念的理解，而且注重从已有数学知识出发，通过改变特定问题的情境、条件、障碍或待解的目标，进行数学问题、数学命题的变化、转换，提出新的概念、方法、问题、命题，引导教师使用与核心素养建构相适配方法优化教学设计，激发学生建构数学知识的自主性、能动性，自觉地加强对所学知识的深入理解和灵活应用。这些做法将有助于学生在数学知识的交流、应用与传递中实现数学学习的价值创造，将不复杂的工具性数学学习及时转向较复杂的沟通性数学学习，并在此基础上进一步转向最复杂的解放性数学学习［8］。可见，转换性数学学习能将学生所学数学知识与技能转化为数学学习能力与品格，促进师生运用更加合理、有效的途径落实以核心素养培养为目标的教学转化工作。根据Mezirow对转换性学习的研究［9］，转换性数学学习可更好地聚焦学生所秉持的数学学习目的、数学学习价值、数学学习情感和数学学习意义，有助于核心素养的落实。这是因为，转换性数学学习是与传统授受式数学学习方式不同的学习，它以增长学生数学知识、发展学生数学能力为学习目的，以学生数学思维发展、核心素养建构为学习价值，以学生正确价值观建立为学习情感，是转变学生数学学习观及数学活动信念体系的能动性数学学习。通过转换性数学学习，学生可将已有数学知识、数学技能、数学思想、数学方法合理应用到新情境中，从而提升其抽象、推理、模型化的数学能力和分析问题、解决问题的综合素质，这本身就是以核心素养为导向的数学教育教学活动所倡导并强调的关键数学能力与必备数学品格。美国著名数学教育家舍费尔德（Schoerfeld）指出：“我所希望的并非仅仅是教会我的学生解决问题——特别是别人所提出的问题，而是帮助他们学会数学思考。”［10］从实践角度来分析，转换性学习不仅利于学生进一步认识自己的数学学习目标，而且利于学生改进数学思考方式和问题分析、解决的策略，于知识、思维和观念的纵向联结中提升核心素养。比如，通过思维导图、逆向思维、合情推理思维等方法与技术，学生可打破其固有的思维模式，促进自己从不同角度思考如何进行数学问题转换、如何进行学习内容间联系、如何进行问题分析与解决途径拓展等。在这样的转换性学习过程中，学生可经由联系提升思维的深刻性，经由转换提升思维的灵活性，并因此使数学学习经历从数学知识的进阶、综合走向数学思维的分化、深化，然后走向数学观念的整合、提升。

转换性数学学习有助于涵养核心素养教育还表现为转换性数学学习对数学差生的转化。转换性数学学习作为一种深度数学学习的方式，对差生的帮助不仅仅表现为对差生数学知识积累及其品质的关注，而且表现为对差生数学观、数学学习情意以及能否学好数学信念的关注，重视对差生不当观念、不当信念的转变。许多学生之所以沦为数学差生，不是因为他们不想学数学，而是因为他们不会学数学、学不会数学。通过转换性数学学习，可循序渐进地对差生进行学法指导，使他们在教师帮助下主动参与数学活动，更积极地思考数学，更自觉地重视学习内容的深度理解，科学地克服死记硬背等机械化数学学习方式，努力建构品质更加良好的数学认知结构。例如，在数学问题求解过程中，教师可借用波利亚（George Polyd）所倡导的数学启发法对学生进行解题计划、方法和策略的引导。调研表明，数学差生很容易在学习策略、自尊心和自信心等方面存在缺陷或不足。通过转换性数学学习，可帮助数学差生有针对性地获得有效学习策略，使学生逐步学会问题转换、命题转化，更理性地进行数学学习目标自我设定和数学活动过程自我引领，建立积极、主动、自觉的数学学习态度，在成功的数学活动体验中提高自尊心、自信心和数学学习自我效能感。

参考文献：

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Transformational Mathematics Learning： Meaning and Value

Abstract： Transformative Mathematics Learning represents the initiative of the subject， the constructiveness of meaning and the transformation of common sense in mathematics learning activities， it is related to the convertibility of many dimensions in mathematics learning， but it is not a simple deduction of the convertibility learning theory in mathematics learning activities， it should not be regarded as the main direction or the only research paradigm of the modern development of mathematics learning theory， but should embed the characteristics of mathematics subject and learning thinking into those seemingly same or similar transformative processes， it is necessary to pay attention to the angle of view and schema in mathematics activities， to construct and perfect the structure of mathematics knowledge in the process of change， transformation and variation， and to transform mathematics knowledge into mathematics ability and core accomplishment. A good transformative mathematics learning can not only guide the change of the relationship between mathematics teaching and learning， but also promote the improvement of students mathematics learning ability and the implementation of the education of self-cultivation core competency.

Key words：transformative mathematics learning; mathematical knowledge; mathematical thinking; core quality