当“机灵鬼”遇到“捣蛋鬼”

我们知道，全等三角形的判定方法俱乐部有五个好兄弟：“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”和“HL”，其中“HL”还很特别。对于“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”（即“SSA”）这种情况，证明全等时不一定成立，因此“SSA”一直无法加入俱乐部，从而经常“惹是生非”，给同学们的数学学习制造了大麻烦，成了名副其实的“捣蛋鬼”。

例 如图1所示，∠BAC是钝角，AB=AC，D、E分别在AB、AC上，且CD=BE。试说明∠ADC=∠AEB。

这是学校期中试卷上的一道题。试卷发下来，机灵鬼波波想：“我应该又是满分吧。”可当他翻开试卷，这道题的8分全扣，损失巨大！波波的脑瓜子一下子嗡嗡的。下面就是波波的解题过程，大家看看他哪里错了？你能帮他改正吗？

证明：在△ABE和△ACD中，

[AB=AC，（已知）BE=CD，（已知）∠BAE=∠CAD，（公共角）]

∴△ABE≌△ACD（SSA）。

∴∠AEB=∠ADC。

同学们看出来了吧？证明两个三角形全等，不能用“SSA”，而波波正是犯了这个错误。我们仿佛看到了捣蛋鬼“SSA”躲在角落里偷偷地笑：“哈哈，我挖的坑，终于有人跳进去了。”

那应该怎么解决这道题呢？

既然“SSA”不能用来判定两个三角形全等，那么只能通过转化，把∠ADC和∠AEB分别放到两个新构造的三角形中，证明这两个三角形全等即可。解法如下：

证明：如图2所示，因为∠BAC是钝角，所以过B、C两点分别作CA、BA延长线的垂线，垂足分别为F、G。

在△ABF与△ACG中，

[∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC，]

∴△ABF≌△ACG（AAS）。

∴BF=CG。

在Rt△BEF和Rt△CDG中，∠F=∠G=90°，

[BE=CD，BF=CG，]

∴Rt△BEF≌Rt△CDG（HL）。

∴∠ADC=∠AEB。

这样的解法是不是很酷？我们仿佛又看到捣蛋鬼“SSA”躲在角落里偷偷地哭：“呜呜，我挖的坑，被人填平了。”

捣蛋鬼“SSA”灵机一动，心生一计，又出了一道题：

如图3，点A、D、E在一条直线上，AB=AC，∠BDE=∠CDE＜90°，求证BD=CD。

小虎同学的证明过程如下：

证明：∵∠BDE=∠CDE，

∴∠ADB=∠ADC。 （第一步）

又∵AD=AD，AB=AC，

∴△ABD≌△ACD。 （第二步）

∴BD=CD。 （第三步）

（1）小虎在第 " " " " 步出现错误；

（2）请写出正确的证明过程。

同学们，赶紧试一试吧！

（作者单位：江苏省南京市鼓楼实验中学）