溯源：在体验中形成数学眼光

【摘 要】溯源式数学体验教学是初中数学体验教学的模式之一，旨在较好地促进数学概念学习，帮助学生在体验中形成数学的眼光。基于对溯源式体验教学内涵和要义的理解，教师可以向“生活源”“历史源”和“学科源”进行追溯，在生活情境联系、文化历史联系、学科内外知识联系中开展初中数学概念教学，培养学生数学的眼光。

【关键词】初中数学；数学体验教学；溯源；教学模式；数学眼光

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2024）27-0012-05

【作者简介】1.诸士金，南京市鼓楼区教师发展中心（南京，210009）初中数学教研员，高级教师，南京市初中数学学科带头人；2.贾芸芸，南京师范大学附属中学行知分校（南京，210003）教师，高级教师；3.朱加佳，南京市第五十中学（南京，210003）教师，二级教师。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）明确指出，教师应该通过丰富的教学方式，让学生在实践、探究、体验、反思、合作、交流等学习过程中感悟基本思想、积累基本活动经验，发挥每一种教学方式的育人价值，促进学生核心素养发展。［1］86初中数学体验的教学实践需要重视学习者的具身体验，设计体现数学本质，符合学生认知规律的体验活动。因此，教师可以围绕数学基本思想“抽象、推理、模型”，进行初中数学体验教学模式研究。本文从数学概念的学习出发，探寻以“溯源”为体验意义的数学体验教学模式的框架构建和实施策略。

一、溯源的内涵和要义

1.溯源的内涵

溯源，意思是往上游寻找发源地，比喻探求本源。数学概念具有抽象性，概念学习需要学生利用已有知识对新知识的特征进行归纳概括、溯源求本，发现研究对象的主要特征和本质属性。从体验的意义出发，初中数学体验具有情境性、实践性、探究性、反思性、亲历性和情感性等特征。因此，初中数学体验教学中的“溯源”是指在初中数学概念学习中，教师通过具体的情境和具身的活动，引导学生在追溯数学对象的背景和源头的过程中，经历对数学对象的抽象、归纳、表征和辨析应用的过程，从中习得数学概念。

2.溯源的要义

溯源就是何成其源，侧重体验数学概念的产生和形成过程。溯源一方面表现为对数学文化、历史与生活背景追根溯源，经历概念的再发现过程，体验数学概念逐步形成、发展的演绎过程；另一方面可以理解为对数学学科知识之间以及数学与其他学科之间的联系进行追根溯源，了解研究对象的背景、源头和关系，从知识、方法的关联上认识数学概念所依存的结构网。因此，溯源的要义主要体现在生活源、历史源和学科源上，表现在概念学习的情境创设、活动体验、归纳定义、辨析重构等方面。

追溯生活源的概念教学旨在通过情境创设、活动体验，引导学生在生活实践中发现基本的数学研究对象，以及事物之间的联系与规律，了解数学对象研究的必要性及其现实背景，发展学生的抽象能力、几何直观和空间观念等核心素养。

追溯历史源的概念教学旨在通过让学生收集历史素材，经历数学概念的再发现和逐步完善的表征过程；通过文化体验培养学生像数学家一样思考数学概念，从而促进学生逐步养成从数学角度观察现实世界的意识与习惯。

追溯学科源的概念教学旨在通过追溯学科内部的知识源、方法源，以及与其他学科知识、方法的联系，让学生了解研究对象在数学内部与其他知识之间的关系，以及在不同学段、学科的定义与表征方式，促进学生在其他学科的背景中发现基本的数学研究对象，提出有意义的数学问题，进行数学探究，发展好奇心、想象力和创新意识。

情境创设是溯源式体验教学的起点，适合的情境有利于调动学生已有的知识和经验，帮助学生在已有知识（经验）与未知概念之间建立联系，并通过建立的概念联系对新数学概念进行定义、加工和修正。

体验活动是溯源式体验教学的要领，学生通过不断感知经验的活动过程，从碎片化的表象观察到本质属性的发现，从对本质属性的感知到数学对象的符号表征，逐步积累经验，慢慢形成从个别地看到重复地看，从想象地看到抽象地看，再到一般地看的数学眼光。

通过溯源式体验活动获得对数学对象的本质属性的初步认知后，如何形成数学概念，离不开归纳定义和辨析重构。归纳定义的过程一方面是逐步建构新知的过程，另一方面是在已有经验和认知基础上反复辨析、剥离表象，逐步获得对数学对象本质认识的过程。而辨析重构则是在初步获得数学概念的本质属性的基础上对其进行定义和表征的思辨活动，是深度体验学习的标志。概括起来就是在已有的数学概念的形成发展历史基础上，逐步认同这些数学对象的概念定义方式，并在深度体验的过程中，辨析区分一些非本质属性，从而获得更适合自己理解的概念结构和表征方式。然后，学生将这些概念的表征方式纳入到已有的知识体系中来，重构自己的数学知识体系，形成对这一数学对象的再认识和自我表征的方式。

二、溯源对形成数学眼光的意义

数学为人们提供了一种认识与探究现实世界的方式。通过数学的眼光，能够抽象出数学的研究对象及其属性，形成概念、关系与结构。对于具有系统性、严密性和抽象性的数学概念的学习，在初中阶段通过溯源式的体验活动学习可以获得更好的认知效果。这主要表现为溯源式的体验学习更适合初中学生的心理特点和认知规律，更有利于学生形成和发展数学的眼光。

在情境体验与现实联系中，溯源通过情境创设，引导学生观察和体验现实世界中的基本数量关系与空间形式，从而让学生在初步获得数学对象属性的过程中，建立起数学与现实世界的联系，形成直观理解现实的数学眼光。

在追溯历史与文化体验中，通过收集和学习与数学概念相关的历史发展素材，学生不仅能够理解数学概念的起源和演变，还能形成像数学家一样的研究思维，增强文化自信和民族自豪感，形成纵向联系文化历史的数学眼光。

在与其他学科的自觉联系中，溯源强调数学与其他学科之间的联系，促进学生在不同的学科中发现数学的应用点，提出有意义的数学问题，进行数学探究，形成横向联系其他学科的数学眼光。

在知识联系与多维体验中，溯源活动帮助学生从具体情境中抽象出数学概念，并通过归纳定义和辨析重构，逐步形成对数学对象的抽象理解。概念的形成过程中，需要学生能自觉联系相关数学知识，经历动静结合、由此及彼的多维体验，形成发现数学知识间逻辑关系的数学眼光。

可见，溯源式数学体验教学主要是通过追溯研究对象的生活源、历史源和学科源，让学生经历情境创设、对比理解、历史追溯、归纳定义和辨析重构等过程。过程中，教师引导学生观察现实世界中的基本数量关系与空间形式，使其在初步感知数学对象属性的基础上，对数学概念从源头到关系、从定义到表征进行系统认识，然后形成自我理解，建构出一个较为准确且具有动态生长特质的数学概念。

三、以“溯源”为体验意义的数学体验教学模式的框架

一个数学概念总是要经过很长时间的自然发展，数学家才会给予严格的定义。初中阶段的数学概念学习实质上是一种再发现、再创造过程，这种再发现和再创造既要经历概念的形成过程，又要经历概念结构的扩展过程。结合数学体验教学的一般模式，指向数学概念学习的“溯源式”初中数学体验教学模式的框架在实践中逐步形成（见图1）。

这个框架的构建是对“初步知识梳理—收集历史素材—形成自我理解的对比—形成新的理解”这一模式的具体表述。其中，更为关注数学对象的抽象获得，关注数学概念的历史追溯和从已有到更新的辨析重构过程。

四、以“溯源”为体验意义的数学体验教学的实施策略

构建初中数学体验教学模式是为了更好地帮助学生进行知识体系的建构，指向数学概念学习的溯源式体验教学模式能够更好地促进学生形成数学的眼光。结合初中数学体验教学模式的建构原则，在实施溯源式体验教学时需要着重体现以人为本、行思融合、悱愤冲突、顿悟跃迁、反思重构、适用实效等原则。

1.溯源式体验教学应培养能够直观理解现实背景的数学眼光

在初中阶段，数学眼光主要表现为抽象能力、几何直观、空间观念和创新意识。溯源式体验教学模式在情境创设中应以此为基础，设计贴近生活实际的现实背景，便于学生直观理解数学概念。

案例1：梯形概念的引入

问题：从以下实物中，你能抽象出哪些几何图形？

活动：画一个梯形，并结合已学的平面图形概念给梯形下一个定义。

【体验说明】学生经历从实物中抽象出图形的过程，能够看到熟悉的三角形、平行四边形和梯形。学生在画梯形的活动过程中，会自然联想到三角形和平行四边形的概念进而对梯形概念有初步感知。

溯源式体验教学在实施中应关注情境创设的必要性和适切性，要关注情境的类型和学生的认知基础，体现溯源的价值。

2.溯源式体验教学应培养纵向联系文化历史的数学眼光

新课标中指出，要“注重情境素材的育人功能，如体现中国数学家贡献的素材，帮助学生了解和领悟中华民族独特的数学智慧，增强文化自信和民族自豪感。注重情境的多样化，让学生感受数学在现实世界的广泛应用，体会数学的价值”［1］87。基于此，溯源式体验教学应培养学生纵向联系文化历史的数学眼光，逐步增强学生的文化自信。

案例2：通过圆周率的计算认识无理数

历史素材：古今中外很多数学家都寻求过计算圆周率π值的方法，刘徽（约225年—约295年）用简便、科学的方法求出了π ≈ [39271250]；祖冲之（429年—500年）将π精确到小数点后7位：3.1415926＜π＜3.1415927，这一数值精度直到约1000年后才被打破。

问题：如图3，圆的半径为1，正好“包住”它的正方形的周长为8。如图4，在圆内作内接正六边形，这个正六边形可以看作是由六个正三角形组成的，每一条边都等于圆的半径。求图4中正六边形的周长，并分别估计圆的周长范围和圆周率π的范围。

【体验说明】通过文献学习，了解刘徽、祖冲之等中国古代数学家对数学研究的伟大贡献。通过求解上述问题，体验“割圆术”的大致过程，认识到无理数的存在，从而对无理数的概念有了更深层的认识和更深刻的理解。这样具有文化元素的体验活动为数学概念学习提供了丰富的认知载体和价值引领。

3.溯源式体验教学应培养横向联系其他学科的数学眼光

溯源式体验教学的情境创设和体验活动还可以在与其他学科的联系中进行，可以通过类似案例3的体验活动设计来促进学生对数学概念的深入理解。

案例3：几何图形在艺术设计中的应用

活动：学校即将举办一次艺术节，全体学生需要参与设计艺术节的海报和舞台背景。

【体验说明】首先，让学生从艺术节的宣传材料中识别出各种几何图形，如圆形、三角形、矩形等。然后，再引导学生探讨这些几何图形如何在艺术设计中被运用，比如在构图、对称、图案设计等方面，并让学生尝试使用几何变换（平移、旋转、反射等）来创造新的图案或设计元素。在活动过程中，教师引导学生归纳几何图形的基本性质和它们在艺术设计中的作用，让学生尝试描述几何图形和几何变换的概念，以及数学中的几何概念与艺术设计之间的联系。教师引导学生反思在艺术创造过程中涉及了哪些已学的数学知识，发现了哪些新的数学研究对象，是否促进了对数学概念更深层次的理解。

通过这个案例，学生不仅能够获得数学学习新的视角，还能够认识到数学知识在其他学科领域的实际应用，从而培养他们横向联系其他学科的数学眼光。

4.溯源式体验教学应培养发现数学知识逻辑关系的数学眼光

斯托利亚尔在《数学教育学》中指出：“教学的结果，不仅应当掌握概念，而且还应当掌握每一个具体课题和整个数学课程的完整的概念体系。”［2］指向数学概念学习的溯源式体验教学应当突出这样的结构化设计，以帮助学生从数学发展史、数学内部知识关系的角度厘清数学概念的相关体系，达到概念的三度联系状态（见图5）。

案例4：分式概念教学

问题：你能对下面例子中出现的式子进行分类吗？

追问1：对于这类新的代数式，你还能举出类似的例子吗？

追问2：它们共同的特征是什么？

追问3：根据这些式子的特征，你能试着归纳出分式的概念吗？

【体验说明】案例4让学生从具体情境中获得不同的代数式，并结合对整式、分数的学习，在分类活动的体验中发现研究对象的本质属性，从而获得分式概念。这里从数学内部知识之间的关系进行溯源，上位概念是代数式，下位概念是分数，同位概念是整式。学生经历了从单一的代数式到多个代数式，从重复地看到抽象地看，再到一般地看的过程。在这个过程中，学生经历悱愤冲突和反思重构，逐步明确了分式的概念。

5.溯源式体验教学应在数学概念巩固应用中发展数学眼光

教师通过设置符合学生认知水平的巩固练习，可以帮助学生在概念获得的基础上，进一步辨析概念的内涵和外延，内化重构新的概念。在设计巩固应用练习时，教师需要多结合实例，引导学生在具体情境中运用概念，激发学生的应用兴趣，突出对概念本质属性的辨析，回避对具有争议性的表征方式的讨论；关注概念与其他概念关系的理解，回避概念定义的想当然和简单嫁接；重视概念学习路径的迁移创新和对方法经验的感悟，回避对概念碎片化的重复识记。

案例5：研究“筝形”

问题：如图6，根据风筝的形状抽象出一类平面多边形，把它叫作筝形：

（1）结合对特殊平行四边形的研究经验，给出筝形的一种定义；

（2）用图示的方式在图7中给筝形找一个位置，并作简要的文字说明。

【体验说明】这样的概念巩固和应用，有时候常以一种项目式学习方式进行，可以更好地体现数学体验教学做思共生的理念。

综上，在数学教育中，溯源式体验教学有助于学生更深入地理解数学概念，帮助学生在过往、当下和未来的数学学习中形成和发展数学的眼光。

【参考文献】

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］A.A.斯托利亚尔.数学教育学［M］.丁尔，译.北京：人民教育出版社，1984：145.