斜边上的中线与正方形“联手”应用

由矩形对角线互相平分且相等，可得出直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 这个定理常用来与一些图形“联手”求线段长.

例1 如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE = 7，F为DE的中点，△CEF的周长为32，求OF的长.

分析：由正方形的性质可知点O是BD的中点. 因为F为DE的中点，可知OF是" △DBE的中位线，要求OF的长，只需求BE的长. 由CE = 7，可知要求BE的长，需求正方形ABCD的边BC的长. 由F为DE的中点，想到直角三角形斜边上的中线的性质，可得CF = EF = [12]DE. 而求EF的长，可从△CEF的周长入手，进而可得DE的长. 至此，求正方形的边长，勾股定理就有了“用武之地”.

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴O为BD的中点，∠BCD = 90°，BC = CD.

∵F为DE的中点，∴CF = EF = [12]DE，即DE = 2CF.

∵△CEF的周长为32，即CF + EF + CE = 32，

∴2CF + CE = 32.

∵CE = 7，∴2CF = 25，∴DE = 25.

在Rt△DEC中，CD = [DE2-CE2] = [252-72] = 24，∴BC = 24.

∵CE = 7，∴BE = BC - CE = 24 - 7 = 17.

∵O为BD的中点，F为DE的中点，∴OF是△DBE的中位线，

∴OF = [12]BE = [172].

变式1：如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE = 7，F为DE的中点，若△CDF的周长比△CEF的周长大17，求OF的长. （答案为[172]）

变式2： 如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE = 7，F为DE上一点，FD = FC，若OF = [172]，求△CDF的周长. （答案为49）

例2 如图2，正方形ABCD和正方形CEFG中，D在CG上，BC = 1，CG = 3，H是AF的中点，求CH的长.

分析：连接AC，CF，如图3. 根据正方形对角线的性质，可证得AC⊥CF. 在Rt△ACF中，利用直角三角形斜边上的中线性质可得所求.

解：如图3，连接AC，CF.

由AC是正方形ABCD的对角线，CF是正方形CEFG的对角线，可得∠ACB = ∠ACD = ∠ECF = ∠GCF = 45°.

由勾股定理得AC = [2]BC，CF = [2]CE.

∵BC = 1，CE = 3，∴AC = [2]，CF = 3[2].

∵∠ACD = ∠GCF = 45°，∴∠ACF = 90°.

由勾股定理得AF = [AC2+CF2] = [（2）2+（32）2] = 2[5].

∵∠ACF = 90°， H是AF的中点，∴CH = [12]AF = [12] × 2[5] = [5].

[图2][图3] [G][F][H][A][C][E][B] [G][F][H][A][D][C][E][B][D]

反思：通过引两个正方形的对角线，构造出直角三角形，使所求线段成为直角三角形斜边上的中线，灵活运用了转化思想.

分层作业

难度系数：★★★ 解题时间：10分钟

1. 如图2，正方形ABCD和正方形CEFG中，D在CG上，BC = 1，H是AF的中点，CH = [5]，求EF的长. （答案见第33页）

2. 如图4，矩形ABCD和矩形CEFG中，D在CG上，AB = CE = 6，BC = 8，GD = 2，H是AF的中点，求CH的长 ." （答案见第33页）

（作者单位：天津市静海区沿庄镇中学）